[習題]微分方程的解

範例 $y''=1+(y')^{2}$ 的解。

解答:令 $u=y'$ ，則 $u'=1+u^{2}$ 。兩邊同除 $1+u^{2}$ 可得

$\displaystyle\int\frac{du}{1+u^{2}}=\int dx$

兩邊同時積分可知 $\tan^{-1}u=x+C$ ，等價於 $u=\tan (x+C)$ 。由於 $y'=\tan(x+C)$ ，所以 $y=\displaystyle\int\tan(x+C)dx$ 。可知 $y=-\ln |\cos(x+C)|+D$ 。

$\tan x$ 的積分請點連結。

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