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[微積分]tan x, sec x的積分

In 常見積分 on 12/01/2009 at 7:05 上午

本題主要想解\displaystyle\int \tan xdx,\int\sec xdx

解:我們知道\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},所以如果令u=\cos x,則du=-\sin xdx,因此原積分等於

\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{du}{u}=-\ln |u|+C=-\ln |\cos x|+C

請觀察

(1)d\sec x=\sec x\tan x dx

(2)d\tan x=\sec^{2}xdx

(1)與(2)相加之後可以得到:

d(\sec x+\tan x)=\sec x(\sec x+\tan x)dx

如果我們令u=\sec x+\tan x,則

\displaystyle\frac{du}{u}=\sec xdx

如此一來

\displaystyle\int \sec xdx=\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\sec x+\tan x|+C

利用類似的想法,可以求出\displaystyle\int \cot xdx\displaystyle\int\csc xdx.

附註:如果y=f(x)是定義在實軸上某個區間內的可微分函數。我們記\displaystyle dy=f'(x)dx來表示\displaystyle\frac{dy}{dx}=f'(x)

其他做法:

\displaystyle\int \sec xdx=\int\frac{dx}{\cos x}.

利用

\displaystyle\frac{1}{\cos x}=\frac{\cos x}{\cos^{2}x}=\frac{\cos x}{1-\sin^{2}x}

所以可推得

\displaystyle\frac{dx}{\cos x}=\frac{\cos xdx}{1-\sin^{2}x}.

利用u=\sin x可知du=\cos xdx。於是

\displaystyle\frac{dx}{\cos x}=\frac{du}{1-u^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right)du

所以

\displaystyle\int\sec xdx=\frac{1}{2}\left(\int\frac{du}{1-u}+\int\frac{du}{1+u}\right).

利用

\displaystyle\int\frac{du}{1+u}=\ln|1+u|+C, \displaystyle\int\frac{du}{1-u}=-\ln|1-u|+C.

可以推得

\displaystyle\int\sec xdx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C.

利用

\displaystyle\frac{1+\sin x}{1-\sin x}=\frac{(1+\sin x)^{2}}{1-\sin^{2}x}=\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)^{2}.

(與\ln a^{n}=n\ln a)可推得

\displaystyle\int \sec xdx=\ln\left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|+C.

我們知道

\displaystyle\frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}=\sec x+\tan x.

因此我們依然推得同樣的答案。

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  1. 受用、感謝

  2. 附注第一,四,七条公式中的cos 应该改成 sin

  3. 請問一下在一開始解tan x,令u=cos x那裡 能夠改成令u=sin x來解嗎?

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