0417每日數題

雖然標題叫每日數題，但偶爾才會給大家幾道題做做(不一定會每天給)。

問題1.(高中程度)試證明存在無窮多個有理數 $r$ 使得 $\sqrt{r}$ 與 $\sqrt{r+1}$ 同時是有理數。

解答:假設 $k,n$ 為整數，令 $r=k^{2}/n^{2}.$ 那麼 $\sqrt{r}=k/n$ 為一有理數。計算 $r+1=(k^{2}+n^{2})/n^{2}.$ 我們發現如果 $k^{2}+n^{2}$ 是完全平方數時， $\sqrt{r+1}$ 會是有理數。取 $n=t^{2}-1,$ $k=2t$ 則 $k^{2}+n^{2}=(t^{2}+1)^{2}.$ 。所以我們一開始取 $r=(2t)^{2}/(t^{2}-1)^{2},$ 其中要求 $t$ 為整數並且 $t\neq 1$ 。那麼 $\sqrt{r}=2t/(t^{2}+1)$ 且 $\sqrt{r+1}=(t^{2}+1)/(t^{2}-1)$ 均為有理數。

問題2.(微積分)試計算下列重積分 $\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(x+iy)^{m}(x-iy)^{n}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy.$ 其中 $i=\sqrt{-1},$ 且 $n,m$ 是整數。