雖然標題叫每日數題,但偶爾才會給大家幾道題做做(不一定會每天給)。
問題1.(高中程度)試證明存在無窮多個有理數使得
與
同時是有理數。
解答:假設為整數,令
那麼
為一有理數。計算
我們發現如果
是完全平方數時,
會是有理數。取
則
。所以我們一開始取
其中要求
為整數並且
。那麼
且
均為有理數。
問題2.(微積分)試計算下列重積分其中
且
是整數。
答:令則
原積分可以改寫為
利用函數在
上的直交性可知積分只有在
時才不為零。所以我們假設
那麼原積分等於
令那麼
。所以原積分等於