0417每日數題

雖然標題叫每日數題,但偶爾才會給大家幾道題做做(不一定會每天給)。

問題1.(高中程度)試證明存在無窮多個有理數r使得\sqrt{r}\sqrt{r+1}同時是有理數。

解答:假設k,n為整數,令r=k^{2}/n^{2}.那麼\sqrt{r}=k/n為一有理數。計算r+1=(k^{2}+n^{2})/n^{2}.我們發現如果k^{2}+n^{2}是完全平方數時,\sqrt{r+1}會是有理數。取n=t^{2}-1, k=2tk^{2}+n^{2}=(t^{2}+1)^{2}.。所以我們一開始取r=(2t)^{2}/(t^{2}-1)^{2},其中要求t為整數並且t\neq 1。那麼\sqrt{r}=2t/(t^{2}+1)\sqrt{r+1}=(t^{2}+1)/(t^{2}-1)均為有理數。

問題2.(微積分)試計算下列重積分\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(x+iy)^{m}(x-iy)^{n}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy.其中i=\sqrt{-1},n,m是整數。

答:令z=x+iy=re^{i\theta}.dxdy=rdrd\theta.原積分可以改寫為

\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(m-n)\theta}d\theta\int_{0}^{\infty}r^{n+m}e^{-r^{2}}2rdr.

利用函數e^{in\theta}S^{1}上的直交性可知積分只有在n=m時才不為零。所以我們假設m=n那麼原積分等於

\displaystyle\int_{0}^{\infty}r^{2n}e^{-r^{2}}2rdr.

 令u=r^{2}.那麼du=2rdr。所以原積分等於

\displaystyle\int_{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}du=\Gamma(n+1)=n!.

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