[微分方程]二次線性常係數微分方程

今天我想要跟大家談談

ay''+by'+cy=0     (*)

的解。首先,我們來複習一下,一次微分方程y'=ky的解。我們寫y'=dy/dx,利用(形式上)的分離變數法,我們可以推得dy/y=kdx。兩邊同時積分之後可以得到y=Ce^{kx}。我們可以考慮非齊次方程y'=ky+f(x)的解。而解決的方法可以利用積分因子法。將兩邊同乘e^{-kx}之後推得(e^{-kx}y)'=e^{-kx}f(x)兩邊同時積分之後可得

\displaystyle y=Ce^{kx}+e^{kx}\int^{x} e^{-kt}f(t)dt.

是否我們可以利用一階微分方程的解去解二階微分方程呢?我們來看以下的例子。

範例1:試解出y''-3y'+2y=0.

其實我們可以利用因式分解的方法來思考這問題。我們把D表示成一次微分d/dx,那麼

y''-3y'+2y=(D^{2}-3D+2)y

利用因式分解的方法,我們知道D^{2}-3D+2=(D-2)(D-1)。所以如果我們令z=(D-1)y,那麼我們可以推得(D-2)z=0,換句話說,z'=2z。因此z=C_{1}e^{2x}。利用(D-1)y=z可推得y'-y=C_{1}e^{2x}。再利用積分因子法,可知(e^{-x}y)'=C_{1}e^{x}。同時積分之後推得e^{-x}y=C_{2}+C_{1}e^{x}。換句話說,

y=c_{1}e^{2x}+C_{2}e^{x}

問題:因此我們便開始去思考,這樣的方法能不能推廣到一般的a,b,c上呢?

定義:我們令多項式\chi(\lambda)=a\lambda^{2}+b\lambda+c,稱為(*)的特徵多項式。

這特徵多項式的判別式為\Delta=b^{2}-4ac。為了方便起見,我們不仿假設a=1。所以我們來討論一下特徵多項式的解與微分方程的解的關係。

如果\Delta>0多項式有兩個實根。令r_{1},r_{2}表示為相異根。則原來的微分方程可以分解成

(D-r_{1})(D-r_{2})y=0.

利用上述類似的方法,令z=(D-r_{2})y,所以(D-r_{1})z=0。從此可以推得z=C_{1}e^{r_{1}x}。利用線性非齊次的方法,可以解得

y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}

接著我們來研究一下,當\Delta=0時候的情況。首先我們來看一個例子:

範例2.試解出y''-2y'+y=0

同理,我們知道(D^{2}-2D+1)=(D-1)^{2}。所以令z=(D-1)y(D-1)z=0。也就是說z'=z。解出來之後可知z=C_{1}e^{x}。在利用z=(D-1)y可推得y'-y=C_{1}e^{x}。同乘積分因子e^{-x}之後可推得(e^{-x}y)'=C_{1}。兩邊同時積分之後可得e^{-x}y=c_{1}x+C_{2}。同乘e^{x}可推得

y=(C_{1}x+C_{2})e^{x}

\Delta=0時,我們能否推廣這種方法呢? 可以的。假設r是特徵多項式的重根。那麼(D-r)^{2}y=0。令z=(D-r)y與上述的想法可以解出來,

y=(C_{1}x+C_{2})e^{rx}.

\Delta<0時,我們有共軛複數根。令r_{1}=a+ibr_{2}=a-ib微特徵多項式的共軛複數根。利用上述的想法,我們可以解得y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}。這時候我們希望把方程表成實數的形式。這時候要利用到歐拉恆等式:

\displaystyle e^{(a\pm ib)x}=e^{ax}(\cos bx\pm i\sin bx).

用此等式,我們可以把y中有\cos bx\sin bx的分別整理成一項得到:

\displaystyle y=e^{ax}(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx).

這就是當\Delta<0時候(*)的一般解。

範例3.試解出y''-y'+y=0.

解:特徵多項式為\lambda^{2}-\lambda+1=0解出來之後得到\displaystyle\lambda=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.所以a=1/2b=\sqrt{3}/2。如此一來,微分方程的一般解為

y=e^{x/2}(c_{1}\cos(\sqrt{3}x/2)+c_{2}\sin(\sqrt{3}x/2) ).

附註:這個方法只有在常係數的線性為分方程才可以這樣作。當係數不是常數的時候,有時候可以利用類似因式分解的方法解,但是並不是像常係數的那麼簡單。

更一般的:

如果a_{1},\cdots,a_{n}是實數(複數)且

y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_{n}y=0

那麼我們可以令\chi(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\lambda+a_{n}稱為上述微分方程的特徵多項式。

附註:如果,這特徵多項是分解成n個相異根r_{1},\cdots,r_{n}則此微分方程的解為y=c_{1}e^{r_{1}x}+\cdots+c_{n}e^{r_{n}x}。當有重根的時候,就必須面臨Jordan form (或rational canonical form)的分解方式,在此不詳談。

結論:

(1)當\Delta=b^{2}-4c>0時,微分方程的解為y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}, 其中r_{1},r_{2}是特徵多項式的兩相異根。

(2)當\Delta=b^{2}-4c=0時,微分方程的解為y=(c_{1}x+c_{2})e^{rx},其中r是特徵多項式的重根。

(3)當\Delta=b^{2}-4c<0時,微分方程的解為y=e^{ax}(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx)其中r_{\pm}=e^{ax}(\cos bx\pm i\sin bx)是特徵多項式的兩共軛複根。

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