[微積分]極限的一個概念

問題ㄧ:計算\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-1)}{(x-2)}

問題二:函數\displaystyle\frac{(x-2)(x-1)}{(x-2)}的定義域為何?

這個問題是來自於PTT數學版,而他的問題也是許多人的問題,我想我就簡短的回答。

多項式與有理函數只有在指定其定義域與對應域(或值域)時才能被稱為函數。問題ㄧ能被問的前提是:你已經指定了(x-2)(x-1)/(x-2)x\neq 2時有定義(在x=2時不需要有定義)。換句話說,你已經對抽象的表示f(x)=(x-2)(x-1)/(x-2)指定了一個定義域D:0<|x-2|<d。使f(x)變成一個函數。在定義域D上,我們知道

\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)(x-1)}{(x-2)}=x-1.

這與你極限的概念無關。

兩個不同的多項式可能在指定定義域後變成相等的多項式函數。舉例來說兩實多項式f(x)=x^2+x+1g(x)=x^2+1是相異的。如果我指定D=\{0\}為此兩個多項式函數的定義域,則fgD上定義出相等的多項式函數。

原因:f(0)=1=g(0)。所以對所有的a\in D, f(a)=g(a)。於是由定義可知:在Df=g

附註:如果A,B是集合f,g:A\to B是函數。如果\forall a\in A,恆有f(a)=g(a),我們稱在Af=g

(同理,我們可以將這樣的概念擴充到有理函數上)而即使是相同的多項式,在指定不同的定義域後,我們把他們視為相異的函數。

有人說:我們把x=2帶入,發現他是0/0型的極限,這樣的說法是相當詭異的。\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)的定義與函數y=f(x),其中x\in D是否在x=2有定義無關。

很多學生在讀極限的概念時這些地方都沒想清楚,知道你處理的函數主要都以連續函數為主,所以要算極限,直接取值就是了。其實參考書會出問題ㄧ就是因為他想要問你,你知不知道極限只需要函數在x\neq 2的附近有定義就可以了,而非要考你所謂的"挖洞法"還是"消去法"。

所以問題二的答案是:有理函數(x-2)(x-1)/(x-2)只是一種表示法,他不是真的函數他是屬於\mathbb{R}(x)的成員。如果你學過高等代數,你知道這個有理函數在\mathbb{R}(x)中等於x-1。而只要你有辦法說明你指定D\subset\mathbb{R}使得c\mapsto (c-2)(c-1)/(c-2)是有意義的,那麼你的有理函數f(x)就成為一個定義在D上的實值函數y=f(x),其中x\in D

問題ㄧ的答案是:利用(x-2)(x-1)/(x-2)0<|x-2|<d上等於x-1,我們知道

\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-1)}{(x-2)}=\lim_{x\to 2}(x-1)=1.

附註:\mathbb{R}(x)=\{f(x)/g(x):f(x),g(x)\in\mathbb{R}[x],g(x)\neq 0\}為有理函數域(field of rational functions on \mathbb{R})。而\mathbb{R}[x]是實多項式所構成的整環(integral domain)。\mathbb{R}(x)\mathbb{R}[x]的分式域(field of fraction)。

不熟悉代數語言的讀者可以忽略附註,最重要的是你要知道多項式指是ㄧ些形如

a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}

的東西,而多項式函數是多項式在指定定義域之後所成的函數,多項式函數跟多項式是不同的東西。

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