1+2+3+…=-1/12?

最近很流行的一個話題,就是關於

\displaystyle 1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}

這個違反微積分常識的等式.如連結.這個式子在弦論中也是相當重要的,如圖,string

 

(本圖為Polchinski 弦論書第一冊內頁)

解釋如下.我們在做數的求和計算時,我們只能做有限步驟的求和.例如,給定n個數a_{1},\cdots,a_{n},我們可以計算a_{1}+\cdots+a_{n}.定義如下:

a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}+a_{n}=(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1})+a_{n}.

換言之,我們是利用歸納的方式來定義有限和:記s_{1}=a_{1},利用歸納法定義

s_{n}=s_{n-1}+a_{n},\quad n\geq 1

至於什麼是無窮和?給定一個數列\{a_{n}\},我們可以定義s_{n}如上,並稱呼s_{n}為數列的第n項部分和.則數列的部分和構成了一個新的數列\{s_{n}\}.在微積分中, 在引入極限的概念後,我們定義數列\{a_{n}\}的無窮級數和為

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}s_{n}

於是我們利用極限,定義了什麼叫無窮級數和.這是最自然定義無窮級數和的方式BUT!(但是)有誰規定這是唯一定義和的方式呢?如果利用這個定義,我們知道

\displaystyle 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

於是利用極限的定義我們馬上知道

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{2}=\infty

所以無窮級數\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n發散.那網路上盛傳的\sum_{n=1}^{\infty}n=-1/12究竟是怎麼一回事呢?我們定義黎曼zeta函數如下:令s>1,我們定義

\displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}.

根據微積分的p測試法,我們知道當s>1時,無窮級數和收斂.黎曼在他著名的文章中(請參閱連結)證明了此函數可以解析延拓到所有s\neq 1的複數上.也就是說,我們可以讓函數\zeta(s)s是複數時是有意義的,且在s\neq 1時,這個函數在複變函數論的意義下是解析函數.同時,此函數在負整數的情況下,值為

\displaystyle \zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1},

其中B_{n}為第n個Bernoulli數.利用zeta函數最原始的定義,再利用上面解析延拓的性質,我們馬上可以給出\sum_{n=1}^{\infty}n的另外一個定義.我們定義:

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n=\zeta(-1).

由於B_{2}=1/6,所以\zeta(-1)=-1/12.因此,利用新的定義,我們得到了

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n=-\frac{1}{12}.

但在此的\sum_{n=1}^{\infty}n已經不是原本微積分中利用部分和極限定義出來的量.網路上利用奇奇怪怪的方法(非複變函數論的方法)來解釋這個等號都當做是茶餘飯後的娛樂即可,不需要花太多時間鑽研.

關於\zeta(s)延拓的證明可參閱本站:zeta函數.或是zeta與Gamma函數的解析延拓.

 

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