多變數函數的泰勒展開式

假設U\mathbb{R}^{2}的一個開集合且P(x_{0},y_{0})U中的一個點.由於U是開集合,我們可以找到\delta>0使得開球

\mathbb{B}(P,\delta)=\{Q\in\mathbb{R}^{2}:d(P,Q)<\delta\}

包含在U中.如果f:U\to\mathbb{R}是定義在U上的實值函數.我們想要分析函數fP點附近的行為於是我們便假設f是定義在開球\mathbb{B}(P,\delta)上的實值函數,也就是說,我們一開始就取U=\mathbb{B}(P,\delta).

假設fU上的所有一階偏導存在且連續.且Q(x,y)\in\mathbb{B}(P,\delta).我們令h=x-x_{0}k=y-y_{0}.h^{2}+k^{2}<\delta^{2}.我們定義一新的函數

F:[-1,1]\to\mathbb{R}F(t)=f(x_{0}+th,y_{0}+tk).

利用單變數函數的均值定理,我們可以找到c\in [0,1]使得

F(1)-F(0)=F'(c).          (1)

利用微分連鎖律,我們可以求出

F'(t)=f_{x}(x_{0}+th,y_{0}+tk)h+f_{y}(x_{0}+th,y_{0}+tk)k.

利用(1)我們可以推得

f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(x_{0}+ch,y_{0}+ck)h+f_{y}(x_{0}+ch,y_{0}+ck)k

如果函數f的所有的k階偏導在U上均存在且連續.利用單變數的高階均值定理,我們可以找到c\in [0,1]使得

\displaystyle F(1)=F(0)+\frac{F'(0)}{1!}+\cdots+\frac{F^{(k)}(c)}{k!}

我們可以利用數學歸納法來證明

\displaystyle F^{(n)}(t)=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{i}\partial y^{n-i}}(x_{0}+th,y_{0}+tk)h^{i}k^{n-i}.

 

我們令H_{0}(f)(P)(h,k)=f(P)

\displaystyle H_{n}(f)(P)(h,k)=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{i}\partial y^{n-i}}(P)h^{i}k^{n-i},

H_{n}(f)(P)(h,k)h,kn次齊次多項式.

舉例來說,n=1,2,3的例子分別是:

H_{1}(f)(P)(h,k)=f_{x}(P)h+f_{y}(P)k,

H_{2}(f)(P)(h,k)=f_{xx}(P)h^{2}+2f_{xy}(P)hk+f_{yy}(P)k^{2},

H_{3}(f)(P)(h,k)=f_{x^{3}}(P)h^{3}+3f_{x^{2}y}(P)h^{2}k+3f_{xy^{2}}(P)hk^{2}+f_{y^{3}}(P)k^{3}.

範例:令f(x,y)=e^{x}\sin y, P=(0,0).F(t)=f(th,tk)=e^{th}\sin (tk). 所以

F'(t)=he^{th}\sin (tk)+ke^{th}\cos (tk),

F''(t)=h^{2}e^{th}\sin(tk)+2hke^{tk}\cos (tk)-k^{2}e^{th}\sin(tk).

F^{(3)}(t)=h^{3}e^{th}\sin(tk)+3h^{2}ke^{th}\cos(tk)-3hk^{2}e^{th}\sin(tk)+k^{3}e^{th}\cos(tk)

計算後發現F'(0)=k, F''(0)=2hk, F'''(0)=3h^{2}k+k^{3}所以

H_{1}(f)(0,0)(h,k)=k,

H_{2}(f)(0,0)(h,k)=2hk,

H_{3}(f)(0,0)(h,k)=3h^{2}k+k^{3}.

所以由這邊也可以立刻推得

f_{x}(0,0)=0, f_{y}(0,0)=1,

f_{xx}(0,0)=f_{yy}(0,0)=0f_{xy}(0,0)=1,

f_{x^{3}}(0,0)=f_{xy^{2}}(0,0)=0,f_{x^{2}y}(0,0)=f_{y^{3}}(0,0)=1.

回到原本的討論.利用單變數函數的均值定理,我們得到了兩個變數的實值函數的均值定理:

\displaystyle f(x,y)=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{i!}H_{i}(f)(P)(h,k)+\frac{1}{k!}H_{k}(f)(x_{0}+ch,y_{0}+ck)(h,k).

 

n\geq 0,我們記

\displaystyle T_{n}(f)(P)(h,k)=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}H_{i}(f)(P)(h,k)

fP點的第n階泰勒多項式.

定義:如果存在R>0使得

\displaystyle f(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}H_{n}(f)(P)(h,k)

h^{2}+k^{2}<R^{2}橫成立,我們說fP點有泰勒展開.

範例:考慮f(x,y)=1/(1-x-y)P(0,0)的泰勒展開.

我們先利用前述方法做一次:令h=x-0,k=y-0.定義

\displaystyle F(t)=f(0+th,0+tk)=\frac{1}{1-t(h+k)}.

F'(t)=(h+k)/((1-t(h+k))^{2}),利用歸納法可以推得

\displaystyle F^{(n)}(t)=\frac{k!(h+k)^{n}}{(1-t(h+k))^{n+1}}.

t=0帶入後我們得到F^{(n)}(0)=n!(h+k)^{n}於是

\displaystyle F(1)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{F^{(n)}(0)}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}(h+k)^{n}.

在此我們當然知道|h+k|<1.

我們當然可以使用等比級數來看:將1/(1-t(h+k))視為等比級數:公比為t(h+k).則利用等比級數和公式

\displaystyle \frac{1}{1-t(h+k)}=\sum_{n=0}^{\infty}(h+k)^{n}t^{n},

此時若|t(h+k)|<1,此級數和收斂.因此帶t=1我們得到

\displaystyle f(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}(x+y)^{n},

其中|x+y|<1.此時的齊次多項式為H_{n}(f)(0,0)(h,k)=n!(h+k)^{n}.

事實上,如果我們知道函數的泰勒展開式存在且已經得出函數的泰勒展開式,也可以用泰勒展開式求出函數所有的偏導.以上述例子來說

\displaystyle n!(h+k)^{n}=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}f_{x^{i}y^{n-i}}(0,0)h^{i}k^{n-i}.

如果我們希望找出f_{x^{99}y}(0,0).那麼我們需要看的是h^{99}k的係數.根據二項式定理與上式:h^{99}k的係數為

\displaystyle (100)!{100\choose 99}={100\choose 99}f_{x^{99}y}(0,0).

比較兩邊之後可以發現f_{x^{99}y}(0,0)=100!.

範例:試求出f(x,y)=e^{2x+3y}(0,0)的泰勒展開式.

答:\displaystyle f(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x+3y)^{n}}{n!}.

範例:試求出f(x,y)=\log(1+x+y)(1,2)的第三階泰勒多項式.

答:令F(t)=f(1+th,2+tk)=\log(4+t(h+k)).

\displaystyle F'(t)=\frac{h+k}{4+t(h+k)},

\displaystyle F''(t)=-\frac{(h+k)^{2}}{(4+t(h+k))^{2}}.

\displaystyle F'''(t)=2\frac{(h+k)^{3}}{(4+t(h+k))^{3}}

所以我們可以得到F(0)=\log 4,

F'(0)=(h+k)/4,

F''(0)=-(h+k)^{2}/4^{2},

F'''(0)=2(h+k)^{3}/4^{3}.

所以

\displaystyle T_{3}(f)(1,1)(h,k)=\log 4+\frac{1}{1!}\cdot\frac{h+k}{4}+\frac{1}{2!}\cdot\frac{-(h+k)^{2}}{4^{2}}+\frac{1}{3!}\cdot\frac{2(h+k)^{3}}{4^{3}}.

或是直接利用\log(1+t)的單變數泰勒展開求出

\displaystyle f(x,y)=\log(4+h+k)=\log 4+\log(1+\frac{h+k}{4})=\log 4+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(\frac{h+k}{4}\right)^{n}.

類似練習:

f(x,y)=\tan^{-1}(x^{2}+y^{2})試求出f_{x^{6}y^{2}}(0,0).

事實上,這個方法可以用來求/定義多變數函數的泰勒展開式.假設p\mathbb{R}^{N}中的一點,且f:\mathbb{B}(p,R)\to\mathbb{R}k階偏導均存在且連續的函數.我們定義函數

F:[-1,1]\to\mathbb{R}F(t)=f(p+t\mathbf{h})

其中\|\mathbf{h}\|<R.利用單變數函數的高階均值定理,我們可以求出

\displaystyle F(1)=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{F^{(i)}(0)}{i!}+F^{(k)}(c),

其中c\in [0,1].利用歸納法,我們可以得到

\displaystyle F^{(n)}(0)=\sum_{\alpha}{n\choose \alpha}D^{\alpha}f(p)\mathbf{x}^{\alpha},

其中\alpha=(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{N})是多變數指標且\displaystyle{n\choose \alpha}=\frac{n!}{\alpha_{1}!\cdots\alpha_{N}!}\displaystyle D^{\alpha}f(p)=\frac{\partial^{\alpha}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots \partial x_{N}^{\alpha_{N}}}.則我們得到了多變數函數的高階均值定理:

\displaystyle f(\mathbf{x})=f(p)+\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{i!}\sum_{|\alpha|=i}{i\choose \alpha}D^{\alpha}f(p)\mathbf{x}^{\alpha}+\frac{1}{k!}\sum_{|\alpha|=k}{k\choose \alpha}D^{\alpha}f(p+t\mathbf{h})\mathbf{x}^{\alpha}

其中\mathbf{x}=p+\mathbf{h},|\alpha|=\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{N}.

同理,我們可以定義多變數函數的解析函數.其定義方式跟雙變數函數雷同,就留給讀者自行去定義.而實際上,我們在計算多變數的泰勒展開時,我們並不都是從函數的偏導著手,而是利用單變數函數的泰勒展開開始.就如同我們前面看到的,e^{2x+3y}的泰勒展開可以由e^{t}的泰勒展開得到.

範例:試計算e^{x}\sin y(0,0)的泰勒展開.

利用\displaystyle e^{x}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}\displaystyle\sin y=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^{j}}{(2j+1)!}y^{2j+1}.我們可知

\displaystyle e^{x}\sin y=\sum_{i,j}\frac{(-1)^{j}}{(2j+1)!}x^{i}y^{2j+1}.

所以

\displaystyle H_{n}(f)(0,0)(h,k)=\sum_{i+2j+1=n}\frac{(-1)^{j}n!}{(2j+1)!}x^{i}y^{2j+1}.

範例:求\displaystyle f(x,y,z)=\frac{1}{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}(x,y,z)=(0,0,0)的泰勒展開.

利用等比級數公式可知,當x^{2}+y^{2}+z^{2}<1時,

\displaystyle f(x,y,z)=\sum_{i=0}^{\infty}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{i}.

所以

H_{2n+1}(f)(0,0,0)(h,k,l)=0,

H_{2n}(f)(0,0,0)(h,k,l)=(2n)!(h^{2}+k^{2}+l^{2})^{n}.

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