[高微]反函數定理的證明part I

定理:假設E是歐氏空間\mathbb{R}^{n}中的開集合,並且f:E\to\mathbb{R}^{n}C^{1}映射.令a\in E.如果A=Df(a):\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}為可逆的線性變換(invertible linear map).則存在a的開鄰域Uf(a)的開鄰域V使得

(1)f:U\to V為一個一對一且映成的函數(one-to-one and onto)

(2)g:V\to Uf:U\to V的反函數.則g也是C^{1}映射.

證明:

Part I我們證明存在開集合U,V使得f:U\to V是一對一且映成.

Part II我們要證明g:V\to UC^{1}映射.

由於A=Df(a)是可逆變換,所以A^{-1}存在.利用Df(x)的連續性.我們取\delta>0使得對任意的x滿足\|x-a\|<\delta,恆有

\displaystyle\|Df(x)-Df(a)\|=\|Df(x)-A\|<\frac{1}{2\|A^{-1}\|}.

我們取U=\mathbb{B}(a,\delta)V=f(U).我們來證明

(1)f:U\to V是一對一且映成

(2)V是開集合.

由於V=f(U)根據定義,f:U\to V為映成函數.我們只需要證明f:U\to V為一對一函數.為了證明V是開集合,我們必須證明V中的每個點都是內點.我們接著要同時來證明f:U\to V是一對一且V是開集合.

證明的想法:利用norm不等式的估計,證明f是一對一.利用壓縮映射的不動點定理證明V是開集合.

首先任取一點y_{0}\in V.要證明y_{0}是內點,我們希望找到一個半徑\delta''>0使得\mathbb{B}(y_{0},\delta'')\subseteq V.因為y_{0}\in V=f(U)所以y_{0}=f(x_{0}), 其中x_{0}\in U.因為U是開集合,我們可以取\delta'>0使得\mathbb{B}(x_{0},\delta')\subseteq U.接著我們令\delta''=\delta'/4\|A^{-1}\|.我們希望證明\mathbb{B}(y_{0},\delta'')\subseteq V.事實上我們可以證明\overline{\mathbb{B}(y_{0},\delta'')}(他的閉包closure)包含在V中.

我們可以來證明f:U\to V是一對一函數了.取y使得\|y-y_{0}\|\leq\delta''.我們定義函數

\varphi_{y}:U\to\mathbb{R}^{n}

\varphi_{y}(x)=x+A^{-1}(y-f(x)).\varphi_{y}C^{1}函數.而且

D\varphi_{y}(x)=I-A^{-1}Df(x)=A^{-1}(A-Df(x)).

由於\|x-x_{0}\|<\delta時,\|Df(x)-A\|<1/2\|A^{-1}\|,所以當\|x-x_{0}\|<\delta

\displaystyle\|D\varphi_{y}(x)\|\leq \|A^{-1}\|\|A-Df(x)\|<\|A^{-1}\|\frac{1}{2\|A^{-1}\|}=\frac{1}{2}.

由於U=\mathbb{B}(x_{0},\delta)是開凸集,利用平均值不等式我們可以推得:對所有的x_{1},x_{2}\in U時,恆有:

\displaystyle\|\varphi_{y}(x_{1})-\varphi_{y}(x_{2})\|\leq\frac{1}{2}\|x_{1}-x_{2}\|   (1)

(所以\varphi_{y}是壓縮映射)利用三角不等式:對x_{1},x_{2}\in U,

\|x_{1}-x_{2}\|\leq \|x_{1}-x_{2}+A^{-1}(f(x_{2})-f(x_{1}))\|+\|A^{-1}(f(x_{1})-f(x_{2}))\|  (2)

\varphi_{y}(x_{1})-\varphi_{y}(x_{2})=x_{1}-x_{2}+A^{-1}(f(x_{2})-f(x_{1})),

因此

\displaystyle\|x_{1}-x_{2}+A^{-1}(f(x_{2})-f(x_{1}))\|\leq\frac{1}{2}\|x_{1}-x_{2}\|. (3)

\|A^{-1}(f(x_{1})-f(x_{2}))\|\leq \|A^{-1}\|\|f(x_{1})-f(x_{2})\|,  (4)

利用(1),(2),(3),(4)可以推得

\displaystyle\frac{1}{2}\|x_{1}-x_{2}\|\leq \|A^{-1}\|\|f(x_{1})-f(x_{2})\|,

於是對任意的x_{1},x_{2}\in U恆有

\displaystyle\frac{1}{2\|A^{-1}\|}\|x_{1}-x_{2}\|\leq \|f(x_{1})-f(x_{2})\|.

這個不等式強迫f成為一對一函數(請思考).接著我們希望證明V是開集,我們希望取得的\overline{\mathbb{B}(y_{0},\delta'')}包含於V中.為此,我們必須使用到壓縮映射原理(不動點的存在性).

我們取B=\overline{\mathbb{B}(x_{0},r)}其中r=\delta'/2.B\mathbb{R}^{n}中的閉集,所以B完備.如果我們可以證明\varphi_{y}(B)\subseteq B,再利用\varphi_{y} 壓縮映射,可以證明\varphi_{y}:B\to B有不動點.如果x\varphi_{y}:B\to B的不動點,則

\varphi_{y}(x)=x+A^{-1}(y-f(x))=x

可以推得y=f(x).於是

y=f(x)\in f(B)\subset f(U)=V

其中我們使用到了B包含在U中.要證明\varphi_{y}(B)\subseteq B.取z\in\varphi_{y}(B).則z=\varphi_{y}(x'), 其中x'\in B.因為x'\in B所以\|x'-x_{0}\|\leq r.

\|z-x_{0}\|=\|\varphi_{y}(x')-x_{0}\|\leq \|\varphi_{y}(x')-\varphi_{y}(x_{0})\|+\|\varphi_{y}(x_{0})-x_{0}\|.

\displaystyle\|\varphi_{y}(x')-\varphi_{y}(x_{0})\|\leq\frac{1}{2}\|x'-x_{0}\|\leq\frac{r}{2}

且利用y_{0}=f(x_{0})可推得

\displaystyle\|\varphi_{y}(x_{0})-x_{0}\|=\|A^{-1}(y-f(x_{0})))\|\leq \|A^{-1}\|\|y-y_{0}\|\leq \|A^{-1}\|\delta''=\|A^{-1}\|\frac{\delta'}{4\|A^{-1}\|}=\frac{\delta'}{4}=\frac{r}{2}.

於是

\displaystyle\|z-x_{0}\|\leq\frac{r}{2}+\frac{r}{2}=r.

可推得z\in B於是\varphi_{y}(B)\subseteq B.所以我們完成了V是開集合的證明.

本篇文章用到了兩個重要的norm估計.

(1)如果A:\mathbb{ R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}是線性變換,則\|Av\|\leq \|A\|\|v\|.

(2)如果A,B:\mathbb{ R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}是線性變換,則\|AB\|\leq \|A\|\|B\|.

(3)平均值不等式.如果U\mathbb{R}^{n}中的開凸集,且f:U\to\mathbb{R}^{m}C^{1}函數.如果在U上恆有\|Df(x)\|\leq M,則

\|f(x)-f(y)\|\leq M\|x-y\|,

x,y\in U.

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