反函數定理證明part II

接著要來證明反函數定理的第二部分:反函數的可微分性.在前一篇文章我們已經證明了.如果f:E\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}C^{1}函數,且A=Df(a)可逆,則可以找到a的開鄰域Uf(a)的開鄰域V使得f:U\to V1-1且映成函數.接著我們要證明f:U\to V的反函數g:V\to UC^{1}函數.如果我們可以證明,對任意的y\in V恆有

Dg(y)=(Df(g(y)))^{-1}

那麼g就是C^{1}函數.原因就在以下.令

GL_{n}(\mathbb{R})=\{A\in M_{n}(\mathbb{R}):\det A\neq 0\}

所有n\times n的時可逆矩陣所構成的集合(群).映射

GL_{n}(\mathbb{R})\to GL_{n}(\mathbb{R}), A\to A^{-1}

為連續的映射.

我們只需證明gV上可微分即可.如同上一篇文章,我們取\delta>0使得當\|x-a\|<\delta時,\|Df(x)-A\|<(2\|A^{-1}\|)^{-1}.U=\mathbb{B}(a,\delta)V=f(U). 如此一來,對任意的x_{1},x_{2}\in U恆有(請見前一篇文章)

\displaystyle\frac{1}{2\|A^{-1}\|}\|x_{1}-x_{2}\|\leq \|f(x_{1})-f(x_{2})\|

任取y_{0}\in Vy_{0}=f(x_{0}), x_{0}\in U.取\delta'>0使得\mathbb{B}(x_{0},\delta')\subseteq U\delta''=\delta'/4\|A^{-1}\|..則我們前一篇論文證明了\mathbb{B}(y_{0},\delta'')\subseteq V.

任取k滿足\|k\|<\delta''T=(Df(x_{0}))^{-1}.我們記h=g(y_{0}+k)-g(y_{0}).k=f(x_{0}+h)-f(x_{0}).利用前述估計

\displaystyle\|h\|=\|x_{0}+h-x_{0}\|\leq 2\|A^{-1}\|\|f(x_{0}+h)-f(x_{0})\|=2\|A^{-1}\|\|k\|.

接著觀察

g(y_{0}+k)-g(y_{0})-T(k)=h-T(k)=-T(f(x_{0}+h)-f(x_{0}-Df(x_{0}))(h)).

利用norm不等式

\| g(y_{0}+k)-g(y_{0})-T(k)\|\leq \|T\|\|f(x_{0}+h)-f(x_{0}-Df(x_{0})(h)\|

所以我們得到

\displaystyle\frac{\|g(y_{0}+k)-g(y_{0})-T(k)\|}{\|k\|}\leq 2\|T\|\|A^{-1}\|\frac{\|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Df(x_{0})(h)\|}{\|h\|}

利用f的可微分性,上式兩邊同時取k\to 0我們就得到答案了:

\displaystyle\lim_{\|k\|\to 0}\frac{\|g(y_{0}+k)-g(y_{0})-T(k)\|}{\|k\|}=0.

於是gy_{0}可微分,且Dg(y_{0})=T.

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