愛情的愛與不愛:愛戀的數學模型

『如果一個人宣稱他懂愛情,唯一可以肯定的是他一點也不懂愛情.』

愛是什麼?莎士比亞說:『愛是一朵生長在懸崖邊緣的花,要想採摘它必須要有勇氣.』愛是美麗又危險的東西,要擁有它需要勇氣.他又說:『愛情不過是一種瘋.』愛是一種精神狀態,讓人無法控制的精神狀態.『愛和炭相同,燒起來得設法叫它冷卻.』%e8%8e%8e%e5%a3%ab%e6%af%94%e4%ba%9e

詩人泰戈爾曾說:『愛是亙谷長明的燈塔,他定睛望著風暴卻兀不為動.愛就是充實的生命,正如盛滿了酒杯.』我們的生命如同酒杯,而愛如同美酒充實了我們的生命.

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『愛情』讓人迷戀又迷惑,許多人一生中不斷的在追尋著愛情,想要得到它想要擁有它更想要佔有它.然而每個人對於『愛情』的理解不完全相同.即使是相戀的兩人對於『愛情』也未必擁有共識.莎士比亞說了:『愛情不是花蔭下的甜言,更不是桃花源中的密語,不是輕綿的眼淚,更不是死硬的強迫,愛情是建立在共同語言的基礎上.』是的,愛情是建立在共同語言的基礎上,但什麼是共同的語言呢?為何需要共同的語言呢?

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語言就是一種溝通用的『工具』,讓彼此都能夠對『同一件人事物』有『共同的認知』.如果語言不相同,兩人可能無法溝通.無法溝通的兩人就比較難讓彼此『理解對方』.泰戈爾也說:『愛情是理解和體貼的別名.』愛是需要『理解』和『體貼』的.各位讀者多少應該有過『兩個人對同一詞理解不同』的經驗.舉例來說,父母親希望孩子把『房間打掃乾淨』,孩子把書桌上雜亂的書籍整理好後就認為自己已經『整理好房間了』於是又開始上網或是看書或是做自己的事.等到父母親進房一看,破口大罵『我不是叫你整理房間,你為什麼還在做自己的事?快去打掃.』於是你可能會反駁說:『我整理好了,你看,書桌上的書已經擺得整整齊齊的.』於是父母親可能就說:『我要你整理房間,不只是整理書房,還要打掃,吸地板,擦桌子,把棉被摺好.….』.接著父母親與孩子便產生爭執.這些狀況並不單純的發生在親子關係,在伴侶間,在同事間,在各式各樣的人際關係中都可能產生類似的問題.雙方對同一件事情的理解未必相同,對同一件事情的理解不同最差的結果是導致衝突.『溝通』能夠盡可能地讓彼此『減少衝突的機會』.溝通的目的是為了讓『彼此在同一件事情上產生共同的認知』.『共同的認知』或『共同的語言』在數學中指的就是『定義』.

在教育部國語辭典裡愛的定義是『親密的情緒或親密的情感.』愛所代表的是一種關係一種情緒.我們能否用一種客觀的方式來描述這種關係?1988年,Steven Strogatz教授在論文[1]中提出了一個愛戀關係的簡單模型來研究兩人之間的愛戀.也就是說,我們有可能以一種較為客觀的方式來描述兩個人(或兩人以上)的愛戀關係.但這樣的愛戀模型真的代表了真實世界的愛戀關係嗎?首先我們先來介紹何謂數學模型.

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所謂的數學模型指的是以數學的方法來描述與呈現真實世界發生的現象.我們透過對真實世界的觀察,建立起一套數學的語言來描述此現象,目的是為了『預測』未來此現象可能導致的『結果』.

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舉例來說,牛頓第二運動定律簡單描述了淨力物體質量與物體加速度之間的關係:

f=ma.

此處f為所受的淨力,m是物體質量,a是此物體的加速度.如果知道物體的初始位置與初始速度,那麼我們可以把第二運動定律改寫為以下的微分方程:

mx''(t)=f,\quad x(0)=x_{0},\quad x'(0)=v_{0}.

透過此這個微分方程的解,我們可以預測時間t物體的位置為何.1798年,馬爾薩斯在論文[2]中提出了人口模型:(在沒有什麼限制條件下)世界的人口成長比率與人口數成正比.如果以P(t)表示為時間t的世界人口數,那麼人口模型可以寫成

\displaystyle\frac{dP}{dt}=CP(t),\quad P(0)=P_{0}.

其中P(0)表示某個開始計算的時間點的人口數.馬爾薩斯認為食物呈線性成長而人口呈指數成長.(此微分方程的解為P(t)=P_{0}e^{Ct}.

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馬爾薩斯提出人口論的目的是為了『預測』未來人口成長的方式.依據人口論[2],人類勢必面臨食物上的短缺,而控制人口的成長變成必要考量的重點.然而數學模型一定是正確的嗎?1845年,比利時數學家V. P. Franscois在論文[3]提出了人口模型的修正版本.他認為由於環境的限制,有限的資源和人為的因素,人口的成長將減慢下來.所以Franscois提供了一個修正版本的人口模型:

\displaystyle\frac{dP}{dt}=rP(t)\left(1-\frac{P(t)}{K}\right),

其中r, K為常數.如果我們令x(t)=P(t)/K,則此方程的解為

\displaystyle x(t)=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x_{0}}-1\right)e^{rt}}.

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透過上述的例子我們可以知道幾件事情:數學模型存在的目的是為了預測,而數學模型非絕對的正確.為了讓我們的預測能夠更加的準確,我們必須對模型不斷的修正.建構數學模型有幾個重要的原則必須要知道的:

  1. 我們必須清楚的知道我們希望研究的現象是什麼.(找出建構模型的要素)
  2. 列出我們希望尋找的資訊.
  3. 目前已經知道了哪些訊息.
  4. 假設與前提.
  5. 以何種方式來看模型.
  6. 系統可以預測出什麼.
  7. 這些預測是否準確.

我們用以下的流程圖來概述建構數學模型的過程.

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如果要建立愛戀關係的數學模型,套用上述的建構原則:

  • 我們希望研究的是:愛戀關係
  • 我們希望知道的是:兩人未來的發展
  • 假設與前提是:?
  • 如何來看待此模型:?
  • 系統可以預測什麼:?
  • 這些預測是否準確:?

因此在研究愛戀關係時,我們必須要做一些假設.模型的解是一種量化的方式來呈現物體在(概念)世界中的相貌,如果我們要將愛戀關係給數學化勢必會面臨一個問題:

『愛能否被數量化?』

舉例來說,筆者曾經在網路上見過一個論述『我認為愛可以用金錢來衡量』.金錢是一種數量,如果愛可以用金錢來衡量,那麼我們以金錢作為愛情的單位,金錢就成為愛的一種數量化的方式.我們也常聽見以下的論述『我愛/恨你很深』,『我愛你比你愛我更多』.雖然此處的『深』『多與少』都是抽象的感受,而深可以用長度來衡量,多與少可以用數量來衡量,似乎這幾種說詞都暗示著『愛(情)可以被數量化的』?巫啟賢有一首歌『愛那麼重.其中有一句歌詞是『愛那麼重,愛那麼痛,給我再多勇氣也沒有用.』『重』可以被數量化(如公斤),痛呢?事實上痛也是可以被數量化的:

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模仿這個量表,筆者製作了以下的愛/恨數量化表.

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我們的確找到了一些把愛數量化的『可能』方式.至於恨?我們就定義為負值的愛.

愛與恨就在本文暫時稱為一個人的情感.『情感日誌』是一個人時間與情感的紀錄.依情感日誌,情感就成為了時間的函數,我們把此函數稱為『情感函數』.一個人的情感『應該』是隨著時間『連續』的變化.我們在此模型中至少假設情感函數為時間的『連續函數』.

愛戀模型假設一『情感函數(至少)為時間的連續函數』

如果E(t)是某A在時間t時對某B得情感.當在時間t時,如果E(t)>0時,我們稱AB,當E(t)<0,我們稱AB.當E(t)=0,我們稱為A不愛B

北宋著名文學家歐陽修的作品浪淘沙『把酒祝東風,且共從容,垂楊紫陌洛城東。總是當時攜手處,游遍芳叢.聚散苦匆匆,此恨無窮。今年花勝去年紅。可惜明年花更好,知與誰同?』中提到了『恨無窮』雖然本文談的不是愛戀關係,是歐陽修感覺到與朋友相處的時光飛逝的感慨,這種感慨讓我們不禁想問自己一個問題:『一個人的愛恨有可能是無窮大嗎?』

在情感函數是連續的假設下,這件事是不可能存在的.依據分析學的威爾史特拉斯極值定理(Weierstrass extremum value Theorem),任何連續函數在有界的閉區間上是有界的且最大與最小值均存在.一個人的生命是有限的,所以根據極值定理,一個人的情感也是有限的.有些人相信『輪迴轉世』的存在,這一輩子愛不夠,下一輩子繼續愛.所以在電影中常出現類似的情節,有些人選擇相信他對另外一個人的愛是可以(無窮)延續下去的.的確,如果一個人的愛是可以無止盡的存在,『愛恨無窮』變為可能.如果時間有起點有終點,情感無窮延續就不可能發生.然而這類的想法應屬於『信仰』問題,『愛恨無窮』就暫時討論到此.

情感函數的初始條件(定義):初始條件指的是t=0時情感的初始狀態,也就是E(0)得值.我們必須選擇何時為我們對某人的情感函數的時間起點.例如:

  1. 兩人認識的那一剎那.
  2. 告白得那一刻.
  3. 兩人交往的那一刻.
  4. 等等.

有了初始條件後,我們便可以建立感情日誌.如下圖所示:

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有了情感日誌後,我們便可以開始理解我們自己(或AB)的情感變化.

定義:在時間[t,t+\Delta t]時,我們定義情感的平均變化為:

\displaystyle\frac{\Delta E}{\Delta t}=\frac{E(t+\Delta t)-E(t)}{\Delta t}.

舉例來說:

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我們便定義感情函數在時間t時的瞬時變化為

\displaystyle\dot{E}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta E}{\Delta t}.

有了這些定義,我們便可以開始來談Strogatz教授在[1]提出的簡單愛戀模型,他把此方程稱為羅密歐與茱麗葉方程:

\displaystyle\left\{\begin{matrix}\dot{R}&=aR+bJ\\ \dot{J}&=cR+dJ\end{matrix}\right.

其中R(t)是羅密歐在時間t時,對茱麗葉的情感.而J(t)是茱麗葉在時間t時對羅密歐的情感.而a,b,c,d是常數,稱為此系統的浪漫風格(Romatic Style).我們如何的來看這個系統方程呢?

\displaystyle \dot{R}=aR+bJ

所代表的意思是羅密歐的情感變化為他自己的感受還有茱麗葉帶給他的感受所確定.一般來說,a,b不太可能是常數,應該隨著時間而變化.我們為了把問題簡化,我們先考慮當a,b,c,d是常數函數的狀況(我們當然也可以考慮非常數函數的狀況).關於羅密歐的浪漫風格,Strogatz教授與他的學生提供了以下的建議(分類):

  • 拼命三郎(Eager Beaver): a>0b>0.羅密歐對他自己和茱麗葉給他的感情同時有正面的感受.
  • 自戀(Narcissistic nerd):a>0b<0.羅密歐對自己的感情有正面的感受,但對於茱麗葉給他的感情有負面的感受.
  • 謹慎的愛(Cautious lover):a<0,b>0,羅密歐對自己有著負面的感受但對著茱麗葉的感情有著正面的感受.
  • 隱士 (Hermit):a<0,b<0.羅密歐對他自己與茱麗葉給他的感情同時有負面的感受.

給了初始條件R(0)J(0)後,根據微分方程的唯一且存在性定理可知,這個愛戀方程的解『存在』且『唯一』.關於二階線性常微分方程的解可參考『連結』.

為了能夠圖像化微分方程的解,我們引入了相圖(phase portrait)的概念.相圖是以參數化曲線在平面上呈現微分方程解的一種方式,用來幫助我們理解/預測微分方程的解的行為.如果記\det A=ad-bc, \mbox{Tr}(A)=a+d.那麼我們可以把相圖畫在\det-\mbox{Tr}平面上:(下圖稱為龐加萊圖)

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所以根據龐加萊圖可知,儘管是兩人的愛戀簡單模型,愛戀關係也是相當的難以分析.(更何況非簡單模型呢?)研究這類的方程與解的行為的領域稱為『動態系統』(Dynamical system)

『如果愛戀關係出現了第三者呢?』

系統將變更為複雜.在動態系統理論中,三維以上的微分方程的穩定性理論比二維系統更加的複雜,三維以上的系統微分方程又稱為『多體問題』(Many body Problem).在三維以上的系統的穩定性理論還出現二維系統所沒有的混屯效應(chaos).混屯效應指的是系統對初始條件的變化是相當敏感的,意思是初始條件只作些微的改變,方程的解卻改變的相當的大,有些人又稱此為蝴蝶效應.

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所以三人以上的愛戀問題賦予了數學/物理上的『多體問題』一個新的意義.

了解了愛戀簡單模型後,我們可以再看幾個其他的愛戀模型.在[4]中,J.C. Sprott 研究了以下的非線性羅密歐與茱麗葉方程:

\displaystyle\left\{\begin{matrix}\dot{R}&=aR+bJ(1-|J|)\\ \dot{J}&=cR(1-|R|)+dJ\end{matrix}\right.

此篇論文中他還研究了三角戀情,並研究了蝴蝶效應發生的可能狀況,詳見[4].在[5],還有一個愛戀模型: Laura-Petrarch model

\displaystyle\left\{\begin{matrix}\dot{P}&=a_{L}L(t)+R_{L}(P(t))+b_{L}A_{r}\\ \dot{L}&=a_{P}L(t)+R_{P}(L(t))+b_{r}A_{L}\end{matrix}\right.

        在概念世界中,愛戀的數學模型告訴我們.兩人的簡單愛戀模型(的解的分類)已經相當的複雜,真實世界的愛情肯定比概念世界的愛戀模型又更加的複雜.如果有人宣稱他懂『愛情』,那麼可以肯定的是他一點也不懂『愛情』,每個人至多只能理解屬於自己的那一份『愛情』.泰戈爾說了:『相信愛情,即使它給你悲哀也要相信愛情.』或許我們不一定懂愛情,但我們卻可以相信愛情。

本文內容主要出自於成大通識課『存在,愛戀,也瘋狂』的課堂講義.

[1] Strogatz Steven H: Love affairs and differential equations. Math. Mag 61 (1988), no. 1. 35.

[2] T.R. Malthus: An Essay on the Principle of population (1798)

[3] V. P. Franscois: Recherches mathematiques sur la loi d;accroissement de la population, Nouvex Memoires de l’Academie Royale des Science et Belles-Lettres de Bruxelles. 18: 1-42 (1845)

[4] J.C. Sprott,: Dynamicas of love, Nonlinear dynamics, Psychology and Life sciences, Vol 8. No. 3 (2004)

[5] F. Breitenecker, F. Judex, N. Popper, K. Breitenecker, A. Mathe and A. Mathe: Love Emotions between Laura and Petrarch: an approach by Mathematics and System Dynamics, Journal of Computing and Information Technology. C.I.T. 16 (2008) 4, 255-269

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