從一道題目談論我認為的好中學數學問題

說明:本文主要不是在談中學數學教學,談的是筆者認為的好的『思考』問題。至於好的『試題』並不是本篇文章討論要素。

前幾天筆者在臉書上讀到了一則貼文,這則貼文是關於一道中學的數學題目,如下表示。

題目A:如右圖,梯形ABCD中,已知道兩底\overline{AD}\overline{BC}分別為7公分與20公分,兩腰\overline{AB}\overline{CD}之長分別為5公分與12公分,則梯形ABCD的面積為___平方公分。

p1

原作者主要是透過那道題評論『考試害人不淺』。筆者並非要去評論該作者的內文,主要是想透過這道題來談筆者心中所謂的好的中學數學問題。對於中學學習,筆者僅作以下簡評:

在中學時期,許多學生會面臨到『每個科目的學習都要盡可能的盡善盡美』而要學習的科目卻又非常的多。因此,許多學生在中學時期必須以『記憶』的方式來學習所有的科目,因為『直接背起來』而不用思考對學習來說最省力。要學習數學這種需要大量思考的科目,不見得人人都願意花時間做思考的練習。如果有『捷徑』或是『巧解』,對學生的學習來說會更加省時(?)。可能這樣的下場就導致了學生解題喜歡找捷徑與找巧解,補習班或許也大行其道,失去了思考訓練的精神。因為大家不是為了『增強自身的知識與學習能力』做準備,而是為了『考試』—為了能在考試中得到好成績做準備,這就是『考試領導教學』。事實上,要增強自身的『思考力』是需要經過許多的『思考訓練』,而思考訓練需要很多的時間。

回到筆者想談的,對筆者而言,何謂好的中學數學問題呢?『可以有各種不同解法的數學題目。』一道題有『不同的解法』代表著那道題可以提供學生『不同的思考角度』。筆者看到題目A的第一個反應是覺得此題還挺有趣的,以下提供幾個做法讓讀者去理解為何筆者會覺得此題有趣。

思考:本題目要求的是梯形面積。依據梯形的面積公式可知:梯形的面積是(上底加下底)乘高除2。上底是7下底是20,只要知道高便可求出此梯形的面積。所以本題在考的其實是要求出此梯形的高。要求出此梯形的高可以有以下的幾種策略,而這些策略是仰賴於我們對梯形的理解。因為ABCD是梯形,所以\overline{AD}平行於\overline{BC}。我們可以做輔助線,來幫助我們解題。我們假設此梯形的高為h

作法一:在 \overline{BC}上取一點E使得\overline{DE}平行於\overline{AB}。則四邊形ABED為平行四邊形(利用\overline{AD}平行\overline{BC}),可知\overline{DE}=5\overline{BE}=7(如圖所示)。

p2

因為\overline{BC}=20\overline{BE}=7可以推得\overline{CE}=13。觀察13^{2}=5^{2}+12^{2}可知\Delta CDE是直角三角形且\angle CDE=90^{\circ}。利用三角形的面積公式可知,\Delta CDE的面積為

\displaystyle[\Delta ABC]=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot h

可求出h

做法二:做法二跟作法一的想法是雷同的。只是我們取\overline{BC}上一點E使得\overline{AE}平行於\overline{CD}。如圖所示

p3

利用類似的討論,我們可以得出h

做法三:延長\overline{AD}至一點E使得ABCE構成一平行四邊形。利用平行四邊形的性質,我們可以求出\overline{DE}=13\overline{CE}=5。如圖所示:

p4

接著利用同樣的做法可以求出h

做法四:做法四有別於前面使用圖形的幾何性質作解答,使用了代數做法。做\overline{AE}垂直\overline{BC}E\overline{DF}垂直\overline{BC}F。如圖所示:

p5.png

根據梯形的性質可知四邊形AEFD為矩形。於是\overline{EF}=\overline{AD}=7\overline{AE}=\overline{DE}\angle BEA=\angle CFD=90^{\circ}。由畢氏定理可推得

\displaystyle 5^{2}-x^{2}=\overline{AE}^{2}=\overline{DF}^{2}=12^{2}-(13-x)^{2}

根據此式可以求出x,求出x後再利用畢氏定理可以求出此梯形的高。

原則上來說上述的這些方法真正只有兩種不同做法,因為做法一到三均是利用雷同的想法:對於梯形的理解,使用到了『逆畢氏定理』,做法四是直接使用代數方法與畢氏定理,兩者有不同的思考路徑。雖然做法一到三想法雷同,但讓學生可以有各種做輔助線的方法(不唯一)來得到同樣的結果,因此筆者認為本題是不錯的題目。

有一次在課堂上,學生曾告訴筆者:『老師,這些方法很簡單,但我們想不到的。』其實不是學生想不到,而是學生沒有習慣於做『用各種可能的方法解決同一個問題』的訓練。如同筆者前面說的,不同的做法代表的是不同的思考方式,不同的思考方式讓我們透過不同的角度來對同一件事情產生理解。透過『各種思考路徑來解題』有助於我們『把所學習到的(不同的)知識之間做鏈結』,大腦中思考的鏈結越多,就越有可能讓我們有不同的策略來解決問題(或產生創造力)。『思考的訓練』需要大量的時間,在『考試領導教學』環境中或許讓學生有『大量時間思考』有著很大的困難吧?

東華大學應用數學系魏澤人教授補充道:『作法四那樣畫,然後觀察左右兩個三角形的底長度固定,然後拚再一起.。另一個角度是問,為什麼這個題目可以問?也就是為什麼知道四個邊長就能知道面積? 除了面積是否還能確定形狀?從這裡出發也能有很多思路,還原問題的本質。』

補充:(做法五)詹孟樺網友提供了第五種做法:

p6.png

\overline{AB}\overline{CD}延長後交於E點。則我們得到兩個相似三角形\Delta EAD\sim \Delta EBC。假設\overline{AE}=x\overline{DE}=y,利用相似三角形的性質,我們可以求出

\displaystyle\frac{x}{x+5}=\frac{y}{y+12}=\frac{7}{20}

則我們可以分別解出x,y。有了三角形的三邊長後,我們可以求出三角形的面積。於是梯形面積為

[ABCD]=[\Delta EBC]-[\Delta EAD]

此處我們使用了[\cdot]來表示多邊形的面積。而這裡的做法與前述做法一到做法四均不相同。主要使用的概念是『相似形』與『多邊形區域面積的性質』與『三角形三邊長決定三角形面積』這三種概念。做法五為本問題的第三種做法。

附錄:畢氏定理的逆定理。假設\Delta ABC三邊長分別為a,b,c且滿足c^{2}=a^{2}+b^{2},則\Delta ABC為直角三角形。

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