一位天才的驟逝—瑪麗安米扎哈尼與她的工作

2017年7月15日,首位女性費爾茲獎(註1)得主伊朗裔史丹佛大學教授瑪麗安米扎哈尼癌逝於美國,得年40歲。據媒體報導,伊朗總統哈山羅哈尼表示「米扎哈尼教授的逝世令人感到悲痛。」米扎哈尼教授與丈夫,捷克籍科學家凡德克育有一女。

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2014年,米扎哈尼教授在「黎曼面的模空間的幾何與動態系統」的傑出工作而獲得費爾茲獎。在此我們簡介一下米扎哈尼教授的的數學工作。

什麼是黎曼面呢?黎曼面的名字來自於德國數學家黎曼(B. Riemann),你可以把黎曼面想成是一些曲面,如球面,

sphere.jpg

或是想成甜甜圈

torus

「曲面」是一個二維的「幾何概念」,在「局部」的範圍內,看起來很像二維平面。我們可以用「非負整數」來刻畫這些(緊緻)黎曼面,這些整數稱為黎曼面的「虧格數」(genus),也就是黎曼面中「洞」的數量。球面的虧格數為0,甜甜圈的虧格數為1,

g2

以本圖來說,虧格數為2,

g3.png

上圖為虧格數3的黎曼面,以此類推。

在不同的曲面上,我們可以得到不同得幾何概念。在平坦的空間中,我們得到的是歐幾里德得幾何世界。當我們更動平行公設後,我們得到了更多更豐富的幾何學。

hyperbolic.jpg

在球面幾何中,也就是虧格數為0的黎曼面中,由測地線圍出來的三角形區域的三角形內角和>\pi,在平面區域,也就是虧格數為0的幾何學中,三角形內角和為\pi。在雙曲幾何中,也就是虧格數g\geq 2的幾何學中,三角形的內角和<\pi

在數學上,結構相同的黎曼面,稱為「同構的黎曼面」。

我們用[S]來表示所有與黎曼面S同構的黎曼面所成的集合。黎曼面的模空間是由形如[S]所構成的集合,簡言之,黎曼麵所構成的模空間中的點本身就是同構的「黎曼面」的等價類。

米扎哈尼教授研究了帶邊雙曲黎曼面的模空間的體積公式 (註2),由此,他得出了Witten-Kontsevich公式(註5)的另外一個證明,最重要的她證明了此體積公式滿足一遞迴關係,而此遞迴關係的證明最重要的關鍵在於一條簡單測地線長度的等式(註3)。

米扎哈尼教授在他人生最後的幾年依然勤奮地工作著,她最後的傑出工作是與艾斯金、穆罕默德關於李群SL(2,\mathbb{R})在模空間上作用的研究(註4),其成果於2015年發表在數學界最好的期刊數學年鑑(Annals of Math)上。

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我們對於失去這樣一位年輕數學家感到悲傷,但人們會永遠記得她所完成的美好工作。

註1:費爾茲獎:俗稱數學界的諾貝爾獎,每四年頒發一次,每次只頒發給二至四位且年齡須在40歲以下具有傑出貢獻的數學家。

註2. Mirzakhani, Maryam (2007). “Weil-Petersson volumes and intersection theory on the moduli space of curves" (PDF). Journal of the American Mathematical Society. 20: 1–23.

註3. Maryam Mirzakhani, Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces, Inventiones Mathematicae. Springer-Verlag. 167 (1): 179–222. or link

註4.  Eskin, Alex; Mirzakhani, Maryam; Mohammadi, Amir Isolation, equidistribution, and orbit closures for the SL(2,) action on moduli space. Ann. of Math. (2)182 (2015), no. 2, 673–721.

註5.Maxim Kontsevich, Intersection theory on the moduli spaces of curves and the matrix Airy function, Comm.Math.Phys. (1992) 147, 1-23

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