再談常係數二階線性微分方程

文章中,我們已經提過形如

\displaystyle ay''+by'+cy=0

的微分方程的解法,此處a,b,c均為實數,且a\neq 0。我們把上述微分方程類比於二次方程

\displaystyle a\lambda^{2}+b\lambda+c=0

利用此二次方程(二次多項式a\lambda^{2}+b\lambda+c稱為微分方程的特徵多項式)的根的特性得出微分方程的解。取D=b^{2}-4ac。當D>0時,我們將微分方程因式分解

\displaystyle\left(\frac{d}{dx}-\lambda_{1}\right)\left(\frac{d}{dx}-\lambda_{2}\right)y=0

其中\lambda_{1},\lambda_{2}是特徵方程的相異根,並取z=y'-\lambda_{1}y得出z的微分方程:

\displaystyle\frac{dz}{dx}-\lambda_{2}z=0.

解出z=ce^{\lambda_{2}}後,帶入z=y'-\lambda_{1}y中,得到

\displaystyle\frac{dy}{dx}-\lambda_{1}y=ce^{\lambda_{2}x}

再利用積分因子法,求出y=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}

D=0時,特徵多項式分解成(\lambda-r)^{2}的形式。換句話說,微分方程必定形如:

\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2r\frac{dy}{dx}+r^{2}y=0. (2)

在二次多項式的世界中,我們有配方法解的多項式的根。在二階常係數微分方程中,配方法是否存在呢?利用積分因子的想法,我們定義z=e^{-r}y,目的就是把y平移-r,在微分方程的世界中,平移對應於乘上積分因子e^{-rx}。如此一來,

\displaystyle\frac{d^{2}z}{dz^{2}}=e^{-rx}\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2r\frac{dy}{dx}+r^{2}y\right).

因此如果y是(2)的解,z''=0。而z''=0類比於u^{2}=0其中u=\lambda-r。舉例來說,試解:

\displaystyle\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2\frac{dy}{dx}+y=0.

z=e^{-x}y。則

z''=e^{-x}(y''-2y'+y)=0.

z''=0可推得z=C_{1}x+C_{2}。於是y=e^{rx}(C_{1}x+C_{2})

D<0時,我們知道特徵多項式兩個複數共軛根。記\lambda_{\pm}=\alpha\pm i\beta為特徵多項式的兩根且\beta>0,則\lambda_{+}+\lambda_{-}=2\alpha\lambda_{+}\lambda_{-}=\alpha^{2}\beta^{2},微分方程必定形如

\displaystyle \frac{dy^{2}}{dx^{2}}-2\alpha \frac{dy}{dx}+(\alpha^{2}+\beta^{2})y=0,.  (3)

且特徵多項式形如\lambda^{2}-2\alpha\lambda+(\alpha^{2}+\beta^{2})=0。在解此類多項式方程式時,我們主要使用配方法:

\lambda^{2}-2\alpha\alpha+\alpha^{2}=-\beta^{2}

推出(\lambda-\alpha)^{2}=-\beta^{2}。如果記u=\lambda-\alpha,則u^{2}=-\beta^{2}。因此只要我們解出u就能解出\alpha。配方法本身就是種平移法,回到微分方程本身,我們可以先把方程給平移,令z=e^{-\alpha x}y,利用前面的平移法,得出

z''+\beta^{2}z=e^{-\alpha x}(y''-2\alpha y'+\alpha^{2}y)+\beta^{2}e^{-\alpha}y=e^{-\alpha x}(y''-2\alpha y'+(\alpha^{2}+\beta^{2})y).

如果y是(3)的解,則

z''+\beta^{2}z=0. (3′)

將微分方程「配方」後,我們只需要處理(3′)即可。

接著我們來解(3′)。

如果我們令

f(x)=(z')^{2}+\beta^{2}z^{2}

利用(3′),可推得f'(x)=0。根據均值定理,f(x)=C為常數函數。因為(z')^{2}\geq 0\beta^{2}z^{2}\geq 0,可得f(x)\geq 0。如果f(x)=0,則z=0。假設C非零,則C>0。令C=a^{2}可得

\displaystyle \frac{\beta z'}{\sqrt{a^{2}-\beta^{2}z^{2}}}=\pm \beta.

不仿取

\displaystyle \frac{\beta z'}{\sqrt{a^{2}-\beta^{2}z^{2}}}=\beta

w=\beta z,則

\displaystyle\frac{dw}{\sqrt{a^{2}-w^{2}}}=\beta dx.

兩邊積分後,可得

\displaystyle\sin^{-1}\left(\frac{w}{a}\right)=\beta x+C

於是w=a\sin(\beta x+C).再利用w=\beta z和角公式,可以推出

z=C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin (\beta x)

其中C_{1},C_{2}是常數,最後推出

y=e^{\alpha x}(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin (\beta x)). (5)

當我們取

\displaystyle \frac{\beta z'}{\sqrt{a^{2}-\beta^{2}z^{2}}}=-\beta

我們也會得出形如(5)的解。

高階的常係數微分方程可以用類似的方法來解,在此就不細談。

 

 

 

 

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