常見錯誤:集合的聯集與減法與數的加法與減法

學生在學習集合論時容易產生一個錯誤的直覺.這個錯誤的直覺來自於我們對數運算.從小學時就學習過x+3=5x=5-3=2.也就是說,如果a+b=cc=b-a.或者是如果a=b-cc=b-a.今天如果我們把a,b,c換成一般的集合A,B,C,加法則換成聯集\bigcup.是否仍有這樣的運算規則?答案則否.所以我們列了幾個題目與範例.

Q1:如果C=A\cup B是否就有A=C\setminus B

否:A=\{1,2,3\}B=\{2,3,4\}.則C=A\cup B=\{1,2,3,4\}.而C\setminus B=\{1\}不等於A

Q2:如果A=B\setminus C是否有C=B\setminus A

否:B=\{1,2,3,4\}C=\{1,2,5,6\}.令A=B\setminus C=\{3,4\}.則B\setminus A=\{1,2\}不等於C

Q3:如果B=A\setminus C是否走A=B\cup C?

否:A=\{1,2,3\}B=\{2\}C=\{1,3,5\}.則A\setminus C=BB\cup C=\{1,2,3,5\}\neq A.

Q4:如果A\cup B=A\cup C是否有B=C?

否:A=\{1,2,3\}B=\{2\},C=\{2,3\}.則A\cup B=A\cup CB\neq C.

Q5:如果A\setminus B=A\setminus C可以推得B=C?

否:A=\{1,2,3\}B=\{3,4,5\}C=\{3,7\}.則B\neq CA\setminus B=A\setminus C=\{1,2\}.

所以同學在集合論的使用上千萬要小心.要使用或證明A=B相等時,千萬要使用定義驗證A\subset BB\subset A後才行.

一個數學學習的評論

很多學生雖然會用微積分基本定理算積分,但是什麼是微積分基本定理卻講不清楚.學生在學習數學定理時,如果只是靠背誦定理,而沒有去了解定理證明的精神不知道為什麼定理是對的,很有可能會記錯結論,甚至不知道這個定理是在幹麻.例如大家知道微積分Rolle’s定理用的時候是:反正看到f(a)=f(b),就可以找到c使得f'(c)=0.但可以使用函數f的條件是什麼?可微分?連續?還是?這個定理完整敘述是.

定理(Rolle’s Theorem) 如果f:[a,b]\to\mathbb{R}是函數.

(1)f[a,b]閉區間上連續

(2)f(a,b)開區間上可微分,並且

(3)f(a)=f(b)

則存在c(a,b)中使得f'(c)=0

這個定理少一個條件都不對.

範例1:如果只要求f(a,b)上可微分.我們定義函數f:[0,1]\to\mathbb{R}為:

x

0\leq x<1f(x)=x,

x=1f(1)=0.

這個函數在(a,b)區間上可微分.且滿足f(a)=f(b).但找不到c\in (a,b)使得f'(c)=0.

範例2:如果只要求連續.我們定義函數f:[-1,1]\to\mathbb{R}f(x)=|x|,.則f(-1)=f(1).但找不到c\in (-1,1)使得f'(c)=0.因為此函數在0不可微分.

abs

我們舉這兩個例子是要告訴大家學習數學時,定理條件的重要性.以上述例子來說,可微分性當然是要確保函數的微分存在,我們就可以談什麼是f'(c)=0.但為什麼需要函數在[a,b]有界閉區間上連續呢?原因如下.

如果函數是常數函數,則這個定理顯然成立,因為常數函數微分恆等於零.假設函數不是常數函數.利用連續函數在有界閉區間上有極值(Weierstrass extremum Theorem),我們假設可以在(a,b)上找到極值(極大或極小).(由於f(a)=f(b),如果f(a)=f(b)是極大值,那麼可以在(a,b)上找到極小值).如果極值點c發生在內部上.我們可以證明f'(c)=0.證明概述如下.

不仿假設c是最大值.則當x\in (c-h,c+h)時,恆有f(x)\leq f(c).於是

x\in (c,c+h)時,\displaystyle\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0

x\in (c-h,c)時,\displaystyle\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq 0

將上面兩個不等式取極限後(第一個不等式取右極限,第二個不等式取左極限),利用函數在c點可微分『左微分跟右微分相等且等於函數在該點的微分』,第一不等式可以推得f'(c)\leq 0第二不等式可推得f'(c)\geq 0.因此f'(c)=0

[國小數學?]一題熱門問題

一題[問卦] 有沒有國小題目難到算不出來的八卦?引發了熱烈討論,明明是計算平行四邊形面積的題目為何會引發那麼多熱烈的討論呢?理由就在於題目中的條件不足以唯一確定答案.其實網路上已經有許多的『正確解答』,原本筆者不打算寫任何評論,但看到鄉民推文後,覺得『孩子的數學教育不能等』最後還是決定來寫一篇文.(當然筆者也是資深鄉民)其實這問題是否為國小問題仰賴於問題的假設.

我們來複習一些基本的面積定義.假設給定一個矩形長為a寬為b,如圖所示

rect

則我們定義此矩形的面積為ab.利用這個定義,我們可以計算平行四邊形的面積.

paral

假設多邊形ABCD是平行四邊形,那麼我們對ADBC兩點決定的直線的垂足,分別交於E,F.利用幾何的公設,我們可以證明\Delta ABE全等於\Delta DCF.於是全等三角形的面積相等.我們用[\cdot]來表示多邊形的面積.則

[ABCD]=[ABE]+[AECD]=[DCF]+[AECD]=[AEFD].

換句話說,平行四邊形ABCD的面積等於矩形AEFD的面積.利用這個性質,我們推出了平行四邊形的面積.又利用全等\Delta ABE\cong \Delta DCF,我們推得

\overline{BC}=\overline{BE}+\overline{EC}=\overline{EC}+\overline{CF}=\overline{EF}.

於是平行四邊形面積為

\overline{EF}\times\overline{AE}=\overline{BC}\times\overline{AE}.

我們稱呼\overline{BC}為平行四邊形的底,\overline{AE}為平行四邊形的高.於是我們得出了平行四邊形的面積為其底乘上其高,這是大家耳熟能詳的公式.如果各位同學學完了三角函數,如果給定了角\angle ABE=\theta,利用三角函數的定義,我們可以利用\overline{AB}來表示平行四邊形的高:

\overline{AE}=\overline{AB}\sin\theta.

從一開始底乘高的公式來看,我們對於平行四邊形的面積與其兩邊夾角的關係並不甚清楚(甚至可以說是無感,或是不知道有何關聯).但學完三角函數後,我們把高用邊長與夾角的正弦値表示後得到了平行四邊形的面積公式為

[ABCD]=\overline{AB}\times\overline{BC}\sin\theta.

換句話說,當我們確定平行四邊形的四個邊長後,我們還必須了解相鄰邊夾角才有辦法計算出平行四邊形的面積.area1

在原本的問題中,我們要求出灰色部分的面積,我們只需求出矩形面積60\times 35=2100再減去白色部分面積.而白色部分由三個平行四邊形交疊而生.利用平行四邊形的面積公式來算,我們可求出I,II,III區域的面積.(我們暫時稱呼道路I,II, III)如圖所示:

area2

接著我們假設道路I,II平行.則道路I,II的面積均為8\cdot 35=280而道路III的面積為5\cdot 60=300.於是道路I,II,III的面積總和為

280+280+300=860.

然而白色區塊的面積並不等於道路I,II,III的面積總和.因為兩個交叉區域的面積重複計算到.所以我們必須扣掉重疊的平行四邊形部分.而重疊區域的兩個平行四邊形是全等.我們令X來表示道路IIII交疊出來的平行四邊形面積.於是白色區域的面積為860-2X..因此,原題目要求的灰色部分面積為

2100-(860-2X)=1240+2X.

於是我們只需要求出X就可以得到解答.我們將問題簡化為下圖

area3

我們分別用w,d來表示道路I, III與矩形交出來的長度.假設道路I與道路III的水平交角(與水平線的交角)分別為\alpha\beta.那麼道路I與道路III的寬度分別為w\sin\alphad\cos\beta.我們可以求出道路I的邊界在道路III的內部長度

\displaystyle\overline{OP}=\frac{d\cos\beta}{\sin(\alpha-\beta)}.

利用平行四邊形面積公式底乘高,可得

\displaystyle X=wd\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin(\alpha-\beta)}.

利用正弦函數的和角公式\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,我們求出

\displaystyle X=wd\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}

分子分母同除\sin\alpha,\cos\beta我們得到

\displaystyle X=wd\frac{1}{\displaystyle 1-\frac{\tan\beta}{\tan\alpha}}=wd\frac{\tan \alpha}{\tan\alpha-\tan\beta}.

w=8, d=5可知wd=40.所以

\displaystyle X=\frac{40\tan\alpha}{\tan\alpha-\tan\beta}.

所以灰色的區域面積為

\displaystyle 1240+80\cdot\frac{\tan\alpha}{\tan\alpha-\tan\beta}.

如果\displaystyle\alpha=\frac{\pi}{2},則不管\beta的角度為何X=80,此時灰色面積為1240+80=1320.如果\beta=0,則不管\alpha的角度為何X=80.此時的灰色面積為1320.也就是說,如果道路I,與道路III其中一條為垂直於矩形邊上的道路則黑色的面積部分永遠為1320

我們知道\tan\alpha\tan\beta事實上為這兩條道路的斜率.我們求出來的公式也的的確確的證明了灰色的區域面積需要兩條道路的斜率才有辦法確定.原問題中,如果能夠確定其中一條道路垂直於矩形邊,那麼我們也可以唯一的確定灰色部分的面積.

當然,這裏的計算使用了一個假設『道路I,II平行』,當道路I, II不平行時,假設道路II與水平線的交角為\gamma.那麼灰色部分面積為

\displaystyle 1240+40\left(\frac{\tan\alpha}{\tan\alpha-\tan\beta}+\frac{\tan\gamma}{\tan\gamma-\tan\beta}\right).

根據這個公式,如果\beta=0也就是說道路III為水平道路,則不管道路I, II有無平行,面積恆為1240+40+40=1320.

結論:如果題目沒給那些平行線的交角,這問題是沒有唯一答案.就算給了平行線的交角,也只有在橫向的那條水平線,或斜向的水平線垂直於矩形的邊時,這問題小學生才有辦法解決.如果所有的平行線非垂直於矩形的邊,這問題至少是中學以上的程度才有辦法做.

附註:原問題應該是為道路III垂直於矩形的邊.出題者必須要清楚,雖然平行四邊形得底跟高沒變,面積沒變,但是在改變道路的角度時,其交疊部分的面積會改變.

[微積分]曲線弧長的定義

平面的參數化曲線\gamma是由兩個定義在某個閉區間上的連續函數x=x(t)y=y(t)所定義.我們記\gamma(t)=(x(t),y(t)),其中t\in [a,b].我們稱呼x(t),y(t)為此參數化曲線的座標函數.

我們利用折線的方式逼近與定義(同時)此曲線的長度.

arc

假設我們取P=\{a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b\}為區間[a,b]上的一個分割.我們把t_{i}帶入\gamma(t)中,我們得到了曲線上的一些點.我們記

P_{i}=\gamma(t_{i}),\quad 0\leq i\leq n.

我們利用畢氏定理可以計算相鄰兩點的線段距離\overline{P_{i}P_{i-1}}.於是,我們定義了曲線對於分割P的逼近弧長:

\displaystyle s(\gamma,P)=\sum_{i=1}^{n}\overline{P_{i}P_{i-1}}.

從圖上來看,當分割越細微,s(\gamma,P)也就越大.我們定義曲線的弧長為s(\gamma,P)的最小上界:

l(\gamma)=\sup_{P}s(\gamma,P).

定義:如果l(\gamma)是一個有限值,我們說\gamma是可以求長的,若否,則稱為不可求長.

當然,並不是所有的曲線都可求長.在本篇文章中,暫時不舉例子.我們來看看當曲線\gamma是由函數y=f(x)決定時,該如何計算.

假設曲線\gamma是由函數y=f(x), a\leq x\leq b所確定.取[a,b]上的分割\{a=x_{0}<\cdots<x_{n}\}我們知道

P_{i}=(x_{i},f(x_{i})),\quad 0\leq i\leq n.

如此一來

\overline{P_{i}P_{i-1}}=\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(f(x_{i})-f(x_{i-1}))^{2}}.

如果y=f(x)是可微分函數,並且其導函數f'(x)為連續函數.利用均值定理,我們知道

f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1}),

其中c_{i}落在[x_{i-1},x_{i}]上.如此一來

\overline{P_{i}P_{i-1}}=\sqrt{1+(f'(c_{i}))^{2}}(x_{i}-x_{i-1}).

因此,逼近弧長就可以改寫成為函數\sqrt{1+(f'(x))^{2}}對於P的黎曼和

\displaystyle s(\gamma,P)=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1+(f'(c_{i}))^{2}}(x_{i}-x_{i-1}).

由於f'(x)是連續函數,\sqrt{1+(f'(x))^{2}}是定義在[a,b]上的連續函數,利用連續函數的可積性質,我們可以得出

\displaystyle\lim_{\|P\|\to 0}s(\gamma,P)=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^{2}}dx.

事實上,我們可以驗證\displaystyle l(\gamma)=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^{2}}dx.如果\gamma(t)的座標函數為x(t),y(t),且x'(t),y'(t)存在且連續,則

\displaystyle l(\gamma)=\int_{a}^{b}\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}dt.

我們來檢驗一下這個公式是否真的拿來當我們的弧長定義.令C_{r}表示x^{2}+y^{2}=r^{2}定義出來半徑為r的圓弧.此圓弧有一参數是

x=r\cos t,\ y=r\sin t,\ t\in [0,2\pi].

x'(t)=-r\sin ty'(t)=r\cos t.我們得到\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}=r.於是弧長公式告訴我們

\displaystyle l(C_{r})=\int_{0}^{2\pi}rdt=2\pi r

與我們熟知的圓周長相同.

關於這些公式的詳細證明,在此就不提供.

範例:計算曲線

\displaystyle y=\ln(\cos x),\quad 0\leq x\leq\frac{\pi}{3}

的弧長.

先求出f'(x)=-\tan x,

\displaystyle\sqrt{1+f'(x)^{2}}=\sqrt{1+\tan^{2}x}=\sqrt{\sec^{2}x}=\sec x,\quad 0\leq x\leq\frac{\pi}{3}

弧長為

\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|_{0}^{\pi/3}=\ln(2+\sqrt{3}).

桌子不穩的解決妙招:中間值定理(堪根定理)的證明

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定理:(連續函數的堪根定理)假設$f$是定義在實軸上某個區間I上的實質連續函數.假設a,b\in If(a)f(b)<0則存在a,b間的一數c使得f(c)=0. 其實證明的想法很簡單.不仿假設a<b.則我們來考慮區間I_{0}=[a,b].則函數在I_{0}端點異號.我們取此區間終點(a+b)/2將區間I_{0}等分為二.如果中點是函數的零根,我們就找到c=(a+b)/2.如果不是,則f((a+b)/2)>0f((a+b)/2)<0.於是我們將I_{0}切成兩個等份的區間[a,(a+b)/2][(a+b)/2,b].則函數只在其中一個區間的端點異號.也就是只滿足以下兩種情況的一種情況:情況(1)f(a)f((a+b)/2)<0或情況(2)f((a+b)/2)f(b)<0.令I_{1}=[a_{1},b_{1}]為其中一個區間,使得函數在I_{1}的端點異號. 我們就使用這種方法不斷地將區間切割得更細.如果在某次切割時,中點為函數的零根,我們也就得到我們要的結論.如果沒有,則我們找到了一連串的區間I_{n}=[a_{n},b_{n}]滿足以下性質 (1)I_{n}區間的長度為\displaystyle l(I_{n})=b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}. (2)f(a_{n})f(b_{n})<0. (3)I_{n+1}\subset I_{n}. 如圖: ivt 圖為f(x)=x^{3}-3x+1的函數在0\leq x\leq 2的函數圖形.我們取區間I_{0}=[0,1].我們發現f(0)>0f(1)<0.接著我們取c=1/2.則切割成[A,C][C,B]區間.發現在[C,B]區間內函數同號,為負.所以我們取I_{1}=[A,C]區間.接著我們取D[A,C]中點.發現函數在[A,D]為正.因此我們取I_{2}=[D,C].接著我們取E[D,C]中點.發現函數在[E,C]內為負.因此我們取I_{3}=[D,E]區間.如此我們不斷地切割區間,我們希望用這種方式來“切出”函數的零根.事實上,我們即將證明可以得到這個零根. 由於區間的端點(a_{n})(b_{n})為單調有句數列.因此均收斂.令極限分別為\alpha,\beta

\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=\alpha,\quad \lim_{n\to\infty}b_{n}=\beta.

因為

\displaystyle\lim_{n\to\infty}l([a_{n},b_{n}])=\lim_{n\to\infty}(b_{n}-a_{n})=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{2^{n}}=0.

利用極限的性質

\displaystyle 0=\lim_{n\to\infty}(b_{n}-a_{n})=\beta-\alpha.

推得\alpha=\beta令為c.因為f(a_{n})f(b_{n})<0,利用連續函數的性質

\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(a_{n})f(b_{n})=f(\lim_{n\to\infty}a_{n})f(\lim_{n\to\infty}b_{n})=f(c)^{2}\leq 0.

推得f(c)=0.

推論:(連續函數的中間值性質)如果f:I\to\mathbb{R}為連續函數a,b\in I,且f(a)\neq f(b),則對任意介於f(a),f(b)中間的數y,恆有介於a,b之間的數c使得y=f(c)

證明:考慮g(x)=f(x)-y.利用堪根定理可以得証.

[拓樸]定向流形中的具向交點數

假設M是一個n維光滑流形.如果存在M上的一個地圖集\{(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})\}使得

\det (\varphi_{\alpha}\circ\varphi_{\beta}^{-1}(x))>0,\quad x\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}

則我們稱M是一個可定向流形.如果M是一個可定向流形,很自然的,任給一點x其切空間T_{x}Mn維可定向向量空間.且\displaystyle\left\{\frac{\partial}{\partial x^{i}}(x):1\leq i\leq n\right\}是一組正向基底.

假設A,B分別是光滑流形M(此處定義不需要假設M是可定向)中的kn-k維子流形.假設p\in A\cap B是一孤立點,且

T_{p}M=T_{p}A\oplus T_{p}B.

我們說A,Bp點橫斷相交.如果A,BA\cap B上的每個點都橫斷相交,我們稱A,B橫斷相交.

假設M,A,B同上,且M,A,B可定向.假設A\cap B是有限集合,且A,B橫斷相交.取p\in A\cap B,我們定義ABp點的具向指標\iota_{p}(A,B)如下:取\{v_{1},\cdots,v_{k}\}T_{p}A的一組正向基底,\{w_{1},\cdots,w_{n-k}\}T_{p}B的一組正向基底.如果\{v_{1},\cdots,v_{k}\}\cup\{w_{1},\cdots,w_{n-k}\}T_{p}M的一組正向基底,我們指定\iota_{p}(A,B)=+1如果\{v_{1},\cdots,v_{k}\}\cup\{w_{1},\cdots,w_{n-k}\}T_{p}M的一組負向基底,我們指定\iota_{p}(A,B)=-1.我們定義A,B的具向交點數為

\displaystyle\#(A,B)=\sum_{p\in A\cap B}\iota_{p}(A,B).

則我們可以驗證

\displaystyle\#(B,A)=(-1)^{k(n-k)}\#(A,B).

任給N是緊致可定向的連通n維光滑流形.我們可以證明H_{n}(N,\mathbb{Z})\mathbb{Z}同構.我們可以指定其生成元維[N]稱為N的基本類(fundamental class).指定的方法如下.由於N可定向,存在一個恆不為零n\mu\in \Gamma(N,\Lambda^{n}N)使得局部上可表示為\mu=f(x)dx^{1}\wedge\cdots\wedge dx^{n}.我們稱\mu為體積元.我們可以選擇\mu使得

\displaystyle\int_{N}\mu=1.

由於我們可以把\int\mu視為H_{n}(N,\mathbb{Z})上的群同態:

\displaystyle\int\mu:H_{n}(N,\mathbb{Z})\to\mathbb{Z},\quad [c]\mapsto \int_{c}\mu.

我們取此時的[\mu]H_{dR}^{n}(N)中的生成元(或稱為基底),其對偶基底就記為[M]

所以H_{n}(M,\mathbb{Z})H_{k}(A,\mathbb{Z})H_{n-k}(B,\mathbb{Z})分別由[M],[A],[B]所生成.又j^{A}:A\to M包含映射誘導出群同態j_{*}^{A}:H_{k}(A,\mathbb{Z})\to H_{k}(M,\mathbb{Z})同理j^{B}:B\to M誘導出j_{*}^{B}:H_{n-k}(B,\mathbb{Z})\to H_{n-k}(M,\mathbb{Z}).我們將j^{A}_{*}[A]簡單記為[A]j_{*}^{B}[B]簡單記為[B].於是我們將[A][B]分別視為H_{k}(M,\mathbb{Z})H_{n-k}(B,\mathbb{Z})中的成員.於是我們可以定義

([A],[B])=\#(A,B).

稱為[A][B]的交點乘積(intersection product, 其實個人不喜歡這翻譯,但暫時以此名字).事實上,這個交點乘積可以擴充到以下的雙線性映射

\left(\cdot,\cdot\right):H_{k}(M,\mathbb{R})\times H_{n-k}(M,\mathbb{R})\to \mathbb{R}.

指定一個[B]\in H_{n-k}(M)=H_{n-k}(M,\mathbb{R})我們可以把(\cdot,[B])視為H_{k}(M)上的線性泛函.利用對偶性H_{k}(M,\mathbb{R})^{*}\cong H_{dR}^{k}(M,\mathbb{R}),我們可以找到一個k閉型(closed form)\eta_{B}使得

\displaystyle \int_{[A]}\eta_{B}=([A],[B]).

同理,任給[A]\in H_{k}(M)我們也可以找到n-k閉型\eta_{A}使得

\displaystyle\int_{[B]}\eta_{A}=([A],[B]).

所以\eta_{A}\wedge\eta_{B}指定了一個n型(n-form),事實上,

\displaystyle\int_{M}\eta_{A}\wedge\eta_{B}=([A],[B])

換言之,具向交點數可以用微分型來計算.而這套拓樸學的方法不只可以用來研究微分流形,還可以用來研究複代數幾何.原因是因為,複流形都是可定向流形,光滑的複影射代數簇都是一些緊緻光滑複流形.於是我們就可以把它拿來研究影射代數簇的交點數.詳情我們之後再來談.

應用:令T=S^{1}\times S^{1}表示二維輪胎面.則同調群H_{1}(T,\mathbb{Z})同構于\mathbb{Z}^{2}torus.with.axes

如圖所示.在T上我們劃出兩個圓u,v我們決定好u,v的方向性後(u逆時針旋轉與v順時針旋轉)根據切向量的方向\#(u,v)=+1.同時\{[u],[v]\}決定了H_{1}(T,\mathbb{Z})的一組基底.

類似的如果S是一個緊緻可定向的連通曲面.我們可以在H_{1}(S,\mathbb{Z})上選擇一組基底\{a_{i},b_{j}:1\leq i,j\leq g\}使得\#(a_{i},a_{j})=\#(b_{i},b_{j})=0\#(a_{i},b_{j})=\delta_{ij}.我們可以沿著a_{i},b_{j}切開後,將S表示成一個多邊形.如圖所示.

genus2-hires

(拓樸)曲線具向交點數

假設我們用C_{1}:F(x,y)=0C_{2}:G(x,y)=0來表示\mathbb{R}^{2}上的兩條光滑曲線.例如F(x,y)=yG(x,y)=y-f(x).我們希望研究曲線C_{1},C_{2}的交點數.求交點數,等同於計算聯立方程組

\left\{\begin{matrix} F(x,y) & =0\\ G(x,y)&=0\end{matrix}\right.

的解的個數.然而,如果我們讓方程組連續變化,解的個數有可能會改變.我們令F(x,y)=yG(x,y,t)=y-x^2-t+1/2.t=0時,y=x^{2}-1/2y=0有兩個交點.當t=1/2時,y=x^{2}y=0有一個交點,而t=1時,y=x^{2}+1/2y=0無任何交點.(如圖所示)inter

 這種情況,我們會說,交點數並非同倫不變(not a homotopy invariant).同倫是一個拓樸名詞,他指的是“連續變形”(continuous deformation).所以同倫不變(homotopy invariant)指的是在連續變形的過程中不會改變的東西.但,我們可以引入一種新的量讓這個量成為同倫不變.這個量我們稱為具向交點數(oriented intersection number).在\mathbb{R}^{2}中,我們以右手定則為正向.換句話說,我們以逆時針方向為正向,順時針方向為負向.我們假設方程組的交點都是離散且有限個(我們不考慮那種相交出來還是一條曲線的例子),我們再假設在交點上兩條曲線的切向量是線性獨立的(也就是說構成\mathbb{R}^{2}的一組基底).我們同時賦予F(x,y)=0G(x,y)=0方向性.例如我們可以假想有兩個粒子分別在曲線y=0y=x^{3}-3x-1上運動.是往x軸的正無窮大方向運動.假設p是兩條曲線的交點,我們令v_{p},w_{p}分別為F(x,y)=0G(x,y)=0的兩個切向量.如圖所示:

inter2

如果v_{p}w_{p}的方向為逆時針,我們在交點上指定+1,如果為順時針,我們指定為-1.這個值我們記為\iota_{p}(C_{1},C_{2})稱為C_{1},C_{2}p點的具向交點數.我們記

\displaystyle\#(C_{1},C_{2})=\sum_{p\in C_{1}\cap C_{2}}\iota_{p}(C_{1},C_{2})

稱為C_{1},C_{2}的具向交點數.以上圖的例子來說,y=0y=x^{3}-3x-1的具向交點數為

\#(C_{1},C_{2})=1-1+1=1.

而我們發現,如果我們把曲線向上平移4,得到的具向交點數也是1.如圖

inter3

定理:假設C_{1},C_{2}\mathbb{R}^{2}平面上具向的光滑曲線.假設C_{1}\cap C_{2}是有限集合.並且再每個p\in C_{1}\cap C_{2}上曲線的切向量為線性獨立.如果曲線族C_{t}, a\leq t\leq b是曲線C_{2}(或C_{1})的連續變形,則

\displaystyle\#(C_{1},C_{t})=\#(C_{1},C_{2}),\quad a\leq t\leq b.

注意,如果我們改變我們的視野,我們是看C_{2}C_{1}的具向交點數,方向性將改變.以上圖為例,我們如果以藍色的向量為起點,紅色的向量為終點,從藍色到紅色的向量為順時針方向,所以

\iota_{p}(C_{2},C_{1})=-\iota_{p}(C_{1},C_{2}).

所以在平面曲線的例子,\#(C_{2},C_{1})=-\#(C_{1},C_{2}).而這個定理告訴我們,具向交點數是同倫不變的.

習題一:賦予曲線y=0y=x^{2}-1/2,方向.計算y=0y=x^{2}-1/2的具向交點數.驗證y=0y=x^{2}-1/2+t, t\in\mathbb{R}的具向交點數為定值.

習題二:計算下圖的具向交點數.

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具向交點數可以推廣到一般緊緻可定向的微分流形上甚至拿來研究複影射代數簇的"交點數",之後有空再跟大家介紹.