微分幾何 – 尼斯的靈魂

[拓樸]定向流形中的具向交點數

假設 $M$ 是一個 $n$ 維光滑流形．如果存在 $M$ 上的一個地圖集 $\{(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})\}$ 使得

$\det (\varphi_{\alpha}\circ\varphi_{\beta}^{-1}(x))>0,\quad x\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}$

則我們稱 $M$ 是一個可定向流形．如果 $M$ 是一個可定向流形，很自然的，任給一點 $x$ 其切空間 $T_{x}M$ 為 $n$ 維可定向向量空間．且 $\displaystyle\left\{\frac{\partial}{\partial x^{i}}(x):1\leq i\leq n\right\}$ 是一組正向基底．

假設 $A,B$ 分別是光滑流形 $M$ (此處定義不需要假設 $M$ 是可定向)中的 $k$ 與 $n-k$ 維子流形．假設 $p\in A\cap B$ 是一孤立點，且

$T_{p}M=T_{p}A\oplus T_{p}B.$

我們說 $A,B$ 在 $p$ 點橫斷相交．如果 $A,B$ 在 $A\cap B$ 上的每個點都橫斷相交，我們稱 $A,B$ 橫斷相交．

假設 $M,A,B$ 同上，且 $M,A,B$ 可定向．假設 $A\cap B$ 是有限集合，且 $A,B$ 橫斷相交．取 $p\in A\cap B$ ，我們定義 $A$ 與 $B$ 在 $p$ 點的具向指標 $\iota_{p}(A,B)$ 如下：取 $\{v_{1},\cdots,v_{k}\}$ 是 $T_{p}A$ 的一組正向基底， $\{w_{1},\cdots,w_{n-k}\}$ 是 $T_{p}B$ 的一組正向基底．如果 $\{v_{1},\cdots,v_{k}\}\cup\{w_{1},\cdots,w_{n-k}\}$ 是 $T_{p}M$ 的一組正向基底，我們指定 $\iota_{p}(A,B)=+1$ 如果 $\{v_{1},\cdots,v_{k}\}\cup\{w_{1},\cdots,w_{n-k}\}$ 是 $T_{p}M$ 的一組負向基底，我們指定 $\iota_{p}(A,B)=-1$ ．我們定義 $A,B$ 的具向交點數為

$\displaystyle\#(A,B)=\sum_{p\in A\cap B}\iota_{p}(A,B).$

則我們可以驗證

$\displaystyle\#(B,A)=(-1)^{k(n-k)}\#(A,B).$

任給 $N$ 是緊致可定向的連通 $n$ 維光滑流形．我們可以證明 $H_{n}(N,\mathbb{Z})$ 與 $\mathbb{Z}$ 同構．我們可以指定其生成元維 $[N]$ 稱為 $N$ 的基本類(fundamental class)．指定的方法如下．由於 $N$ 可定向，存在一個恆不為零 $n$ 型 $\mu\in \Gamma(N,\Lambda^{n}N)$ 使得局部上可表示為 $\mu=f(x)dx^{1}\wedge\cdots\wedge dx^{n}$ ．我們稱 $\mu$ 為體積元．我們可以選擇 $\mu$ 使得

$\displaystyle\int_{N}\mu=1.$

由於我們可以把 $\int\mu$ 視為 $H_{n}(N,\mathbb{Z})$ 上的群同態：

$\displaystyle\int\mu:H_{n}(N,\mathbb{Z})\to\mathbb{Z},\quad [c]\mapsto \int_{c}\mu.$

我們取此時的 $[\mu]$ 為 $H_{dR}^{n}(N)$ 中的生成元（或稱為基底），其對偶基底就記為 $[M]$ ．

所以 $H_{n}(M,\mathbb{Z})$ 與 $H_{k}(A,\mathbb{Z})$ 與 $H_{n-k}(B,\mathbb{Z})$ 分別由 $[M],[A],[B]$ 所生成．又 $j^{A}:A\to M$ 包含映射誘導出群同態 $j_{*}^{A}:H_{k}(A,\mathbb{Z})\to H_{k}(M,\mathbb{Z})$ 同理 $j^{B}:B\to M$ 誘導出 $j_{*}^{B}:H_{n-k}(B,\mathbb{Z})\to H_{n-k}(M,\mathbb{Z})$ ．我們將 $j^{A}_{*}[A]$ 簡單記為 $[A]$ 將 $j_{*}^{B}[B]$ 簡單記為 $[B]$ ．於是我們將 $[A]$ 與 $[B]$ 分別視為 $H_{k}(M,\mathbb{Z})$ 與 $H_{n-k}(B,\mathbb{Z})$ 中的成員．於是我們可以定義

$([A],[B])=\#(A,B).$

稱為 $[A]$ 與 $[B]$ 的交點乘積(intersection product, 其實個人不喜歡這翻譯，但暫時以此名字)．事實上，這個交點乘積可以擴充到以下的雙線性映射

$\left(\cdot,\cdot\right):H_{k}(M,\mathbb{R})\times H_{n-k}(M,\mathbb{R})\to \mathbb{R}.$

指定一個 $[B]\in H_{n-k}(M)=H_{n-k}(M,\mathbb{R})$ 我們可以把 $(\cdot,[B])$ 視為 $H_{k}(M)$ 上的線性泛函．利用對偶性 $H_{k}(M,\mathbb{R})^{*}\cong H_{dR}^{k}(M,\mathbb{R})$ ，我們可以找到一個 $k$ 閉型(closed form) $\eta_{B}$ 使得

$\displaystyle \int_{[A]}\eta_{B}=([A],[B]).$

同理，任給 $[A]\in H_{k}(M)$ 我們也可以找到 $n-k$ 閉型 $\eta_{A}$ 使得

$\displaystyle\int_{[B]}\eta_{A}=([A],[B]).$

所以 $\eta_{A}\wedge\eta_{B}$ 指定了一個 $n$ 型( $n$ -form)，事實上，

$\displaystyle\int_{M}\eta_{A}\wedge\eta_{B}=([A],[B])$

換言之，具向交點數可以用微分型來計算．而這套拓樸學的方法不只可以用來研究微分流形，還可以用來研究複代數幾何．原因是因為，複流形都是可定向流形，光滑的複影射代數簇都是一些緊緻光滑複流形．於是我們就可以把它拿來研究影射代數簇的交點數．詳情我們之後再來談．

應用：令 $T=S^{1}\times S^{1}$ 表示二維輪胎面．則同調群 $H_{1}(T,\mathbb{Z})$ 同構于 $\mathbb{Z}^{2}$ ． torus.with.axes

如圖所示．在 $T$ 上我們劃出兩個圓 $u,v$ 我們決定好 $u,v$ 的方向性後( $u$ 逆時針旋轉與 $v$ 順時針旋轉)根據切向量的方向 $\#(u,v)=+1$ ．同時 $\{[u],[v]\}$ 決定了 $H_{1}(T,\mathbb{Z})$ 的一組基底．

類似的如果 $S$ 是一個緊緻可定向的連通曲面．我們可以在 $H_{1}(S,\mathbb{Z})$ 上選擇一組基底 $\{a_{i},b_{j}:1\leq i,j\leq g\}$ 使得 $\#(a_{i},a_{j})=\#(b_{i},b_{j})=0$ 且 $\#(a_{i},b_{j})=\delta_{ij}$ ．我們可以沿著 $a_{i},b_{j}$ 切開後，將 $S$ 表示成一個多邊形．如圖所示．

[幾何]Kahler manifold

假設 $X$ 是 $n$ 維複流形．任給一點 $x\in X$ 我們考慮其上的切空間 $T_{x}(X).$ 由於 $X$ 是複流形，我們可以考慮複化的切空間：

$\displaystyle T_{\mathbb{C},x}(X)=T_{x}(X)\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}.$

此複向量空間可以分解成兩個部分：

$T_{\mathbb{C},x}(X)=T_{x}'(X)\oplus T_{x}''(X).$

$T_{x}^{'}(X)$ 與 $T_{x}''(X)$ 分別稱為 $X$ 在 $x$ 點的全純切向量空間(holomorphic tangent space)與反全純切空間(anti-holomorphic tangent space)．如果 $(z^{1},\cdots,z^{n})$ 是 $x$ 點附近的局部座標，則 $T_{x}'(X)$ 與 $T_{x}''(X)$ 分別由 $\{\partial/\partial z^{i}(x):1\leq i\leq n\}$ 與 $\{\partial/\bar{\partial}z^{j}(x):1\leq j\leq n\}$ 所生成．於是我們就生成了 $X$ 上的光滑複向量叢 $T=\bigcup_{x\in X}T_{x}'(X)$ 稱為 $X$ 上的全純向量叢(holomorphic tangent bundle)．同理我們可以定義 $T^{*}$ 全純餘切向量叢(holomorphic cotangent bundle)

Hermitian度量是 $T^{*}\otimes\bar{T}^{*}$ 上的光滑截面．局部形如 (其中 $(z,U)$ 是 $X$ 上的局部座標)

$\displaystyle ds^{2}=h_{i\bar{j}}dz^{i}\otimes d\bar{z}^{j}$

並滿足：

(1) $z\mapsto h_{i\bar{j}}(z)$ 是 $U$ 上的光滑函數.

(2)矩陣 $H(z)=(h_{i\bar{j}}(z))$ 是Hermitian正定矩陣．

給定一個Hermitian度量 $ds^{2}$ ，我們可以指定一個 $(1,1)$ 形：

$\displaystyle \omega=\sqrt{-1}h_{i\bar{j}}dz^{i}\wedge d\bar{z}^{j}.$

定義：如果 $d\omega=0,$ 我們稱 $ds^{2}$ 是 $X$ 上的一個Kahler度量．此時， $\omega$ 稱為Kahler形．任何俱有Kahler度量的複流形稱為Kahler流形．

定理： $n$ 維複影射空間 $\mathbb{P}^{n}$ 為Kahler流形．

在 $\mathbb{P}^{n}$ 上，我們定義：

$\displaystyle ds^{2}=\left(\frac{(1+\sum_{i=1}^{n}|z^{i}|^{2})\delta_{i\bar{j}}-\bar{z}^{i}z^{j}}{(1+\sum_{i=1}^{n}|z^{i}|^{2})^{2}}\right)dz^{i}\otimes d\bar{z}^{j}$

則 $ds^{2}$ 是 $\mathbb{P}^{n}$ 上的Hermitian 度量．令

$\displaystyle\omega=\sqrt{-1}\left(\frac{(1+\sum_{i=1}^{n}|z^{i}|^{2})\delta_{i\bar{j}}-\bar{z}^{i}z^{j}}{(1+\sum_{i=1}^{n}|z^{i}|^{2})^{2}}\right)dz^{i}\wedge d\bar{z}^{j}.$

為其定義出來的 $(1,1)$ 形．我們定義

$\displaystyle K=\log\left(1+\sum_{i=1}^{n}|z^{i}|^{2}\right).$

不難驗證（利用定義）

$\displaystyle\bar{\partial}K=(1+\sum_{i=1}^{n}|z^{i}|^{2})^{-1}\cdot \sum_{i}z^{j}d\bar{z}^{j}.$

且

$\displaystyle\partial\bar{\partial} K=-(1+\sum_{i=1}^{n}|z^{i}|^{2})^{-2}\sum_{i}\bar{z}^{i}dz^{i}\wedge (\sum_{i}z^{j}d\bar{z}^{j})+(1+\sum_{i=1}^{n}|z^{i}|^{2})^{-1}\delta_{i\bar{j}}dz^{i}\wedge d\bar{z}^{j}.$

整理一下發現：

$\omega=\partial\bar{\partial}K.$

利用 $d=\partial+\bar{\partial}$ 與 $\partial^{2}=0,$ $\bar{\partial}^{2}=0,$ 且 $\partial\bar{\partial}=-\bar{\partial}\partial,$ 我們可以驗證 $d\omega=0.$ 換句話說，我們考慮的 $ds^{2}$ 是一個Kahler度量．於是我們驗證了 $\mathbb{P}^{n}$ 是一個Kahler流形．

定理：所有Kahler流形的子流形還是Kahler流形．

證明：假設 $ds_{X}^{2}$ 是複流形 $X$ 的Kahler度量．令 $Y$ 表示 $X$ 的複子流形．令 $j:Y\to X$ 表示嵌入映射．則 $j$ 是全純映射．於是 $ds_{Y}^{2}=j^{*}ds_{X}^{2}$ 定義出 $Y$ 上的一個Hermitian度量．如果我們分別令 $\omega_{X},$ $\omega_{Y}$ 表示 $ds_{X}^{2}$ 與 $ds_{Y}^{2}$ 定義出來的 $(1,1)$ -形，則 $\omega_{Y}=j^{*}\omega_{X}.$ 利用 $d\omega_{X}=0$ 推得：

$d\omega_{Y}=j^{*}d\omega_{X}=0.$

因此 $Y$ 也是Kahler流形．

推論：所有的代數流形都是Kahler流形．

證明：所有的代數流形是由某個 $\mathbb{P}^{n}$ 中的光滑代數簇（smoth projective algebraic variety）定義出來的複子流形．由於 $\mathbb{P}^{n}$ 是Kahler流形，利用上述定理，我們推論出代數流形也是Kahler流形．

$\mathbb{P}^{1}.$

我們來看例子 $\mathbb{P}^{1}$ 的情況．令 $(\zeta_{0}:\zeta_{1})$ 表示 $\mathbb{P}^{1}$ 上的齊性座標．令 $U=\{(\zeta_{0}:\zeta_{1}):\zeta_{0}\neq o\}$ 且 $V=\{(\zeta_{0}:\zeta_{1}):\zeta_{1}\neq 0\}$ ．在 $U$ 與 $V$ 上我們定義座標

$\displaystyle z(\zeta_{0}:\zeta_{1})=\frac{\zeta_{1}}{\zeta_{0}},\quad w(\zeta_{0}:\zeta_{1})=\frac{\zeta_{0}}{\zeta_{1}}.$

因此 $U\cap V$ 上， $w=1/z$ ．我們令 $K_{U}$ 與 $K_{V}$ 分別定義在 $U,V$ 上：

$K_{U}=\log(1+|z|^{2})$ 且 $K_{V}=\log(1+|w|^{2}).$

我們計算發現得到

$K_{U}(\zeta_{0}:\zeta_{1})=\log(|\zeta_{0}|^{2}+|\zeta_{1}|^{2})-\log|\zeta_{0}|^{2}$

$K_{V}(\zeta_{0}:\zeta_{1})=\log(|\zeta_{0}|^{2}+|\zeta_{1}|^{2})-\log|\zeta_{1}|^{2}.$

於是在 $U\cap V$ 上：

$K_{U}(\zeta_{0}:\zeta_{1})-K_{V}(\zeta_{0}:\zeta_{1})=\log\left|\frac{\zeta_{1}}{\zeta_{0}}\right|^{2}=\log|z|^{2}.$

也就是說：在 $U\cap V$ 上，

$K_{U}-K_{V}=\log|z|^{2}.$

利用 $|z|^{2}=z\bar{z},$ 我們知道

$\displaystyle\bar{\partial}\log |z|^{2}=\frac{z}{z\bar{z}}d\bar{z}=\frac{d\bar{z}}{\bar{z}}.$

於是

$\partial\bar{\partial}(K_{U}-K_{V})=0$ .

可知 $\partial\bar{\partial}K_{U}=\partial\bar{\partial}K_{V}$ ．於是我們得到了一個定義在整個 $\mathbb{P}^{1}$ 上的 $(1,1)$ 形：

$\omega=\begin{cases}\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}K_{U}&\mbox{on U}\\ \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}K_{V}&\mbox{on V}\end{cases}.$

當然這個 $(1,1)$ -form滿足 $d\omega=0$ 他是下列Hermitian度量對應的 $(1,1)$ -form:

$\displaystyle ds^{2}=\begin{cases}\frac{1}{(1+|z|^{2})^{2}}dz\otimes d\bar{z}&\mbox{on U}\\ \frac{1}{(1+|w|^{2})^{2}}dw\otimes d\bar{w}&\mbox{on V}\end{cases}.$

讓我們來驗證這個度量 $ds^{2}$ 的確是定義在整個 $\mathbb{P}^{1}$ 上的．因為 $w=1/z$ 所以在 $U\cap V$ 上

$\displaystyle dw\otimes d\bar{w}=\frac{dz}{z^{2}}\otimes\frac{d\bar{z}}{\bar{z}^{2}}=\frac{1}{|z|^{4}}dz\otimes d\bar{z}.$

且

$\displaystyle\frac{1}{(1+|w|^{2})^{2}}=\frac{1}{(1+|1/z|^{2})^{2}}=\frac{|z|^{4}}{(1+|z|^{2})^{2}}.$

所以在 $U\cap V$ 上我們得到了

$\displaystyle\frac{1}{(1+|w|^{2})^{2}}dw\otimes d\bar{w}=\frac{|z|^{4}}{(1+|z|^{2})^{2}}\frac{dz\otimes d\bar{z}}{|z|^{4}}=\frac{1}{(1+|z|^{2})^{2}}dz\otimes d\bar{z}.$

[微分幾何]dx是甚麼?歐氏空間的切叢，餘切叢

在微積分中，我們常常會遇到以下的符號:

$dy=f'(x)dx,$

其中 $y=f(x)$ 是定義在實軸上某個開區間的實值可微分函數。初學時，我們一定常常覺得很納悶，為何可以單獨得把 $dx$ 給寫出來。事實上，我們並不是真的把 $dx$ 給寫出來。我們只是為了把以下的變數變換法簡寫成第一式而已:對任何黎曼可積分函數 $z=H(y)$ 恆有

$\displaystyle\int H(y)dy=\int H(f(x))f'(x)dx.$

所以在微積分中第一式只是第二式的簡化寫法。在微分幾何中，我們的確可以賦予 $dy=f'(x)dx$ 的實質意義。在此之前，我們介紹一下歐式空間的切叢。(我們雖然在流形導論中提過，)

歐式空間的切叢，餘切叢

令 $p=(p_{1},\cdots,p_{n}),v=(v_{1},\cdots,v_{n})\in\mathbb{R}^{n},$ 我們定義

$(v)_{p}=(p_{1}+v_{1},\cdots,p_{n}+v_{n}).$

稱為以 $v$ 為方向在 $p$ 點的切向量。如果 $w\in\mathbb{R}^{n}$ 是另外一個向量，我們定義

$(v)_{p}+(w)_{p}=(v+w)_{p}$

稱為在 $p$ 點的切向量的和。如果 $a$ 是實數，我們定義

$a\cdot (v)_{p}=(av)_{p}.$

我們可以證明 $\{(v)_{p}:v\in\mathbb{R}^{n}\}$ 構成一個 $n$ 維向量空間，我們把它記為 $T_{p}\mathbb{R}^{n}$ 。如果我們令 $\{e_{1},\cdots,e_{n}\}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的標準基底，則 $\{(e_{1})_{p},\cdots,(e_{n})_{p}\}$ 構成 $T_{p}\mathbb{R}^{n}$ 的一組基底。我們定義 $T_{p}^{*}\mathbb{R}^{n}$ 是 $T_{p}\mathbb{R}^{n}$ 的對偶向量空間。

定義:我們稱 $T\mathbb{R}^{n}=\coprod_{p\in\mathbb{R}^{n}}T_{p}\mathbb{R}^{n}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的切叢(tangent bundle)。我們稱呼 $T^{*}\mathbb{R}^{n}=\coprod_{p\in\mathbb{R}^{n}}T_{p}^{*}\mathbb{R}^{n}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的餘切叢(cotangent bundle)。

假設 $U$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 上的開集合，並且 $f:U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ 是光滑函數。取 $p\in U,$ $v\in\mathbb{R}^{n}$ 。假設 $\delta>0$ 使得對任何 $|t|<\delta$ 恆有 $p+tv\in U$ 。我們定義

$\displaystyle (v)_{p}[f]=\left.\frac{d}{dt}f(p+tv)\right|_{t=0.}$

我們定義 $df_{p}(v)_{p}=v_{p}[f].$ 則我們可以驗證 $df_{p}\in T_{p}^{*}\mathbb{R}^{n}.$ 也就是說， $df_{p}$ 是 $T_{p}\mathbb{R}^{n}$ 上的線性泛函。

假設 $(x^{1},\cdots,x^{n})$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 上的座標函數。也就是說，如果 $p=(p^{1},\cdots,p^{n})$ ，則對 $1\leq i\leq n,$ 恆有 $x^{i}(p)=p^{i}$ 。

命題:如果 $w=(w_{1},\cdots,w_{n})$ 。則

$dx_{p}^{i}(w)_{p}=w_{i},$ $1\leq i\leq n.$

換句話說 $dx_{p}^{i}$ 是座標投影。

證明:使用定義。

推論: $\{dx_{p}^{1},\cdots,dx_{p}^{n}\}$ 是 $T_{p}^{*}\mathbb{R}^{n}$ 上的一組基底(標準基底)。

範例:在 $\mathbb{R}^{2}$ 上，我們取座標函數 $(x,y)$ 。換句話說，如果 $p=(p_{1},p_{2})$ 則 $x(p)=p_{1}$ 且 $y(p)=p_{2}$ 。假設 $v=(v_{1},v_{2})$ ，則 $x(p+tv)=p_{1}+tv_{1}$ 。於是

$\displaystyle dx_{p}(v)=\left.\frac{d}{dt}x(p+tv)\right|_{t=0}=v_{1}.$

同理可以推得 $dy_{p}(v)=v_{2}$ 。

利用微積分的基本性質，我們可以驗證

$\displaystyle df_{p}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}(p)dx_{p}^{i}.$

換句話說， $df_{p}$ 在基底 $\{dx_{p}^{1},\cdots,dx_{p}^{n}\}$ 表示下就是梯度向量:

$\displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x^{1}}(p),\cdots,\frac{\partial f}{\partial x^{n}}(p)\right).$

符號上我們記為

$\displaystyle df=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}dx^{i}.$

定義:我們令 $\pi:T^{*}\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ 為 $\pi(v)_{p}=p.$ 如果 $U\subset\mathbb{R}^{n}$ 是開集合，且 $s:U\subset\mathbb{R}^{n}\to T^{*}\mathbb{R}^{n}$ 是光滑映射使得 $\pi\circ s=1_{U}.$ 我們稱 $s$ 是 $T^{*}\mathbb{R}^{n}$ 在 $U$ 上的截面(section)。所有 $T^{*}\mathbb{R}^{n}$ 在 $U$ 上的截面所構成的集合記為 $\Gamma(U,T^{*}\mathbb{R}^{n})$ 。當 $U=\mathbb{R}^{n}$ 時，我們簡寫 $\Gamma(U,T^{*}\mathbb{R}^{n})$ 為 $\Gamma(T^{*}\mathbb{R}^{n})$ 。

如果 $f:U\to\mathbb{R}$ 是 $U$ 上的光滑函數，我們知道 $df$ 是 $T^{*}\mathbb{R}^{n}$ 在 $U$ 上的截面。

命題:如果 $U\subset\mathbb{R}^{n}$ 是開集合。則 $\Gamma(U,T^{*}\mathbb{R}^{n})$ 是秩為 $n$ 的 $C^{\infty}(U)$ 自由模: $\{dx^{1},\cdots,dx^{n}\}$ 是它的一組基底(forms a basis for $\Gamma(U,T^{*}\mathbb{R}^{n})$ as a free $C^{\infty}(U)$ -module)。

證明:所有的截面 $s\in \Gamma(U,T^{*}\mathbb{R}^{n})$ 可以寫為 $s=P_{1}dx^{1}+\cdots+P_{n}dx^{n}$ 其中 $P_{1},\cdots,P_{n}\in C^{\infty}(U)$ 。所以 $\Gamma(U,T^{*}\mathbb{R}^{n})$ 是由 $\{dx^{1},\cdots,dx^{n}\}$ 所生成。但不難驗證 $\{dx^{1},\cdots,dx^{n}\}$ 是 $C^{\infty}(U)$ -線性獨立集合，因此 $\{dx^{1},\cdots,dx^{n}\}$ 構成 $\Gamma(U,T^{*}\mathbb{R}^{n})$ 的一組基底。

定義: $\Gamma(U,T^{*}\mathbb{R}^{n})$ 中的成員稱為differential one-forms。換句話說 $U$ 上的differential one-forms指的是餘切叢 $T^{*}\mathbb{R}^{n}$ 在 $U$ 上的截面。

$n=1$ 的情況

當 $n=1$ 時，座標函數為 $x$ 。如果 $y=f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的一個光滑函數。取 $p\in\mathbb{R},$ 我們得到

$\displaystyle dy_{p}=\frac{df}{dx}(p)dx_{p}$

換句話說 $\displaystyle dy=\frac{df}{dx}dx$ 。如此一來 $dy\in\Gamma(T^{*}\mathbb{R})$ 。而

$\displaystyle dy=\frac{df}{dx}dx$

的意義是: $dy$ 在基底 $\{dx\}$ 下的座標表示。如果你改變了座標函數，你同時改變了基底。於是座標變換所決定的基底改變的意義就是連鎖律(chain rule):

假設 $x=h(t)$ 是一個座標變換。我們希望把 $dy$ 用新的基底 $dt$ 來表示。因為

$\displaystyle dx=\frac{dh}{dt}dt$

帶入 $dy=(df/dx)dx$ 後我們推得

$\displaystyle dy=\frac{df}{dx}\cdot\frac{dh}{dt}dt.$

這與我們使用微分連鎖律

$\displaystyle\frac{dy}{dt}=\frac{df}{dx}\cdot\frac{dh}{dt}$

所得到的是相同的。換句話說，我們在初微時所使用的微分連鎖律跟我們在處理微分型在不同的座標變換的基底表示是同一件事。

$n=2$ 的情況。

令 $z=f(x,y)$ 是定義在 $\mathbb{R}^{2}$ 上的光滑函數(或某個開集合上的光滑函數)。我們可以證明

$\displaystyle dz_{p}=\frac{\partial f}{\partial x}(p)dx_{p}+\frac{\partial f}{\partial y}(p)dy_{p}.$

所以 $dz$ 以 $\{dx,dy\}$ 表示為

$\displaystyle dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy.$

如果 $x=x(u,v)$ 與 $y=y(u,v)$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 上的座標變換。我們可以驗證

$\displaystyle dx=\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv,$ $\displaystyle dy=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv.$

帶入 $dz$ 後，我們得到了

$\displaystyle dz=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\right)du+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\right)dv$

所以如果我們令 $z=F(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))$ ，則結合

$\displaystyle dz=\frac{\partial F}{\partial u}du+\frac{\partial F}{\partial v}dv,$

我們得到了以下的連鎖律公式:

$\displaystyle\frac{\partial F}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u},$ $\displaystyle\frac{\partial F}{\partial v}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.$

一般的情況

令 $(x^{1},\cdots,x^{n})$ 與 $(u^{1},\cdots,u^{n})$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 上的兩個座標系。假設 $y=f(x)$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 上的光滑函數，我們記 $x=\phi(u)$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 上的$座標變換且 $y=F(u)=f(\phi(u))$ 。則使用 $x$ 座標，我們得到

$\displaystyle df=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}dx^{i}.$

使用 $u$ 座標，我們得到

$\displaystyle dF=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial u^{j}}du^{j}.$

由於座標變換滿足以下關係:

$\displaystyle dx^{i}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{j}}du^{j}.$

所以帶入 $df$ 中，我們得到 $df=dF$ 等價於以下的微分連鎖律:

$\displaystyle\frac{\partial F}{\partial u^{j}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{i}}\frac{\partial x^{i}}{\partial u^{j}}.$

換句話說，我們希望我們 $dy$ 的概念不仰賴於座標系(也就是說，不管怎麼取座標，得到的是相同的東西)，我們必須要有微分連鎖律，而微分連鎖律就來自於函數的光滑性。因此，如果給一個 $\mathbb{R}^{n}$ 上的光滑函數 $f$ ，我們可以利用任何座標來計算 $df$ 。雖然在不同的座標下， $df$ 有不同的表示法，但不同得表示法所得到的 $df$ 是相同的。於是我們就完成了 $df$ 是良定(well-defined)的證明。