比太空戰士更讓我投入的數學講義

本來想說晚上打個幾分鐘 FF，沒想到，我對編數學講義的愛，還是遠超過對 FF（太空戰士）的愛。

最近在讀一些新的論文，為了複習基本知識，又寫了一些 note。其實，我做研究很慢，有個很重要的原因就是：我常常會回到很基本的地方，把概念重新想清楚，同時寫一堆 note，想辦法釐清自己的理解。有些東西以前讀過，但一陣子沒碰，還是會生疏。

我的代數幾何主要是從 Griffiths and Harris 那本書學的，走的也是比較偏微分幾何的路線。以前很想把整本書沒寫清楚的細節仔細補上，後來發現，這樣實在太花時間，只能透過做研究，碰到哪裡，就補哪裡的 local 細節。

我開一些選修課，其實也是為了讓自己複習，重新整理書裡沒有仔細交代的部分。前前次教《初等分析》，教完 torus 上的 Fourier 級數後，我接著介紹 Sobolev space 和 Rellich–Kondrachov 緊嵌入定理。這部分原則上可以看成是取材自 GH 裡面證明 Hodge 分解定理所需的預備知識。

最近又開始複習 Kähler manifold，或許再過一陣子，我會開複流形或複幾何的課。

大學教書的樂趣就在這裡：同一個主題，可以有很深、很廣的內容。時間允許的話，就可以放進一些自己有興趣的題材，跟學生分享。我第一次教黎曼面，是大碩合開的選修課，最後幾堂課就在教橢圓曲線的模空間。

我從以前讀書時，就不太喜歡直接讀別人寫好的證明。到了讀論文的階段，也不怎麼喜歡只是坐著讀。我沒有那麼有耐心，可能跟自己的過動特質有關；比起一路讀下去，我比較喜歡自己動腦、自己試著證明。所以讀論文時，常常讀著讀著，就變成自己拿紙筆開始推導。

如果一件事情只是例行工作，不太需要動腦，我還是會做，只是覺得很無聊。但只要有問題可以想、有細節可以釐清，我就會一直做下去。

生輔組長這個位置其實也蠻有趣的，因為很多時候，都得動腦想怎麼解決問題。

學數學，需要經歷思考的掙扎

我會建議學生在學數學的時候，不要過度依賴AI解題。因為在思考解題的過程中，往往需要經歷一段掙扎。我們必須試著去發掘，自己到底是哪個地方沒想清楚、沒看清楚，或是對某個觀念還沒有真正理解。很多時候，問題就卡在一些看似不起眼的細節，而那些細節，往往正是連接不同觀念的地方。

我認為，判斷對錯也是學習數學很重要的能力。如果認為一個敘述是正確的，就應該能夠給出證明；如果認為它是錯誤的，就要能夠提出反例。這也是為什麼我很重視是非題，因為是非題其實很能鑑別學生是否真正理解所學的觀念。當然，重點不是猜對答案，而是能不能說明判斷的理由。

這麼一來，數學的學習自然需要耗費很多時間。有時候，我們花了很長的時間思考一道題目，最後只是發現自己原先有個地方沒想清楚。但這個過程並不是白費功夫，因為當我們真正看清楚問題所在，往往就能迎刃而解。

某種程度上來說，過度追求快速解題，的確有可能扼殺人的創造性。尤其當自己正在努力思考一個問題，答案卻突然被AI給解出來，這的確會讓人感到沮喪。問題不在於AI能不能解題，而是當我們還沒有充分思考，就已經取得答案時，可能也失去了訓練自己思考的機會。

在數學研究上，我們通常會透過閱讀前人或相關的研究，去理解別人的解題思路。不過，有時候讀了太多別人的想法，反而可能被別人的思路限制住。因此，閱讀別人的工作與自己獨立思考之間的分寸，其實需要好好拿捏。

通常研究卡關的時候，就會想去讀點別人的做法。有時候，讀到某個結果，覺得似乎跟自己正在研究的問題有些關聯，於是就試著去找出其中的聯繫。這個過程其實蠻掙扎，也很辛苦。有時候看似有關，仔細研究後才發現不是那麼一回事；有時候則是花了很長的時間，才終於弄清楚兩者之間的關係。而這些過程，往往也是產生新想法的地方。

如果只是為了節省時間，讓AI直接幫助我們思考、提供解題思路，可能就少了這種掙扎的訓練。當然，我並不是認為所有問題都必須從頭摸索，而是不能太早把原本應該由自己完成的思考交給AI。

星期四上課的時候，我跟學生說：「不用著急學很多東西，然後看答案。要把一個內容好好地想清楚，細節證明清楚，你就真的能弄懂它。」

所以，作為一個數學系的學生，我認為可以利用AI來查找文獻、參考資料，但不要過度把它當成解題工具。AI可以幫助學習的地方，例如遇到比較抽象的概念時，可以請它舉一些具體的例子。畢竟，抽象的概念還是需要透過例子來幫助理解。不過，即使是AI舉出的例子，也不能照單全收，還是要自己回到定義，驗證那個例子是不是真的符合條件。這本身也是一種很好的數學訓練。

我覺得，學數學時經歷思考上的掙扎，是再自然不過的事情。這不表示自己不夠聰明，也不代表沒有進步。有時候，真正的進步並不是多解了幾道題目，而是終於弄懂了一個原本不清楚的觀念。

我曾經跟兒子說：「為了解這一題，我已經掙扎了六、七年，進展實在是很緩慢。」

不過，我想，等到有一天終於把問題看清楚，真正解決的時候，那種成就感是難以言喻的。

這也是我一直覺得，解數學很有樂趣的地方。

AI世代為什麼數學反而重要？

我個人其實很看好數學系在 AI 世代的重要性。

數學系真正訓練的，不只是計算，更重要的是「邏輯」與「推理」。我們透過證明，去理解一件事情為什麼是對的，也學習怎麼一步一步判斷一個推論有沒有問題。

如果學數學只是把證明背起來，那其實沒有得到數學系真正要給你的訓練。證明不是要你記住一串步驟，而是要你知道，每一步為什麼可以這樣做。

計算當然也需要教。但我覺得真正要教的，不只是這一題怎麼算，而是這個計算怎麼來的，為什麼可以這樣算，以及算出來之後，它可以告訴你什麼。

其實數學訓練裡還有一件很重要的事情，就是對「條件」很敏感。一個定理成立，需要哪些假設？少了一個條件還會不會成立？有沒有反例？這些事情在學數學的過程中，一直都在訓練。

也因此，我反而覺得有了 AI 之後，這些能力會更重要。

AI 現在可以很快幫你算，也可以幫你寫證明、整理資料，甚至給你一個看起來很完整的答案。但問題是，它給你的東西不一定是對的。有時候錯得很明顯，有時候則是錯得很漂亮。

所以真正重要的是，你有沒有能力判斷它哪裡對、哪裡不對，它用了什麼假設，中間有沒有少掉什麼，以及最後的結論究竟在什麼條件下成立。

從這個角度來看，我覺得證明訓練其實就是在學一件事情：「我為什麼知道這個結論是對的？」

這件事情在 AI 世代反而會愈來愈重要。

另外，數學還有一個很重要的訓練，就是把一個複雜的問題整理清楚。有些問題真正困難的地方，不是算不出來，而是你還沒有把問題想清楚。哪些東西是重要的？哪些可以先忽略？彼此之間是什麼關係？怎麼把問題轉換成一個比較清楚的數學結構？

AI 當然也可以幫忙整理問題，甚至提出問題。但最後你仍然需要判斷，它整理出來的究竟是不是你真正想問的問題。

所以我不太認為 AI 會讓數學系變得不重要。相反地，當計算、查資料、產生答案都變得愈來愈容易之後，真正重要的能力反而會變成：你能不能提出好的問題、理解答案、判斷答案，知道它在什麼條件下成立，並且知道它為什麼是對的。

AI 可以幫你算，也可以幫你找答案。

但是最後，你還是要有能力問一句：

「這真的對嗎？」

我覺得這就是數學系很重要的訓練。