『小二題目你會嗎?』一文評論

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本文以『數學題目想要成功解開,邏輯相當重要,…』當開場談論一道小學二年級的數學問題。題目如下

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記者以邏輯開頭來評論網友的看法,筆者認為這題該討論的地方不在於『邏輯』,而在於『題目本身』:出題者應該更謹慎地使用更精確且簡要的文字出題。

首先,筆者針對『意思相同』這四個字來做分析。根據教育部重編國語辭典修訂本中的解釋,此處的『意思』指的是『意旨』、『意義』。如果再進一步的去查詢『意旨』與『意義』這兩詞,我們得到的是:

(1)意義:意旨、理趣。《三國志.卷二八.魏書.王凌傳》:「旌先賢之後,求未賢之士,各有教條,意義甚美。」

(2)意旨:意向旨趣。《史記.卷九七.陸賈傳》:「令比諸侯,皆如意旨。」《初刻拍案驚奇.卷六》:「慧澄替他宣揚意旨,祝讚已畢,叫一個小尼領了丫鬟別處玩耍。」

詞典使用了更抽象的詞彙來解釋這兩個詞,我們無法從此處了解『意思相同』所代表的是什麼。所以我們暫時使用以下的解讀:

『XXX』和下面哪個選項的意思相同?=『XXX』可以使用下面哪個選項的符號來表示?

阿拉伯數字本身是一種符號表示,一般而言,我們使用1,2,3,4…來表示出『數量』。『表示』指的是『呈現』:如何使用符號來完成表達『XXX』這個目的。

接著我們必須要理解一件事『5個9』語意本身並不包含『運算』。『5個9』指的是

9,9,9,9,9

如果此處x代表個數,我們可以使用5x 來代表5個。如5個人可以使用5x人來表示,5個a可以用5xa來表示5個9可以用5×9來表示,答案應該是(1)。

如果此處x代表乘法,那麼本題題目應該從『5個9』改成『5個9相加』。這時候,就看老師在課堂上如何與學生約定『5個9相加』怎麼記。這個部分我在其他文章有提過,這個符號使用沒有全球性的規定,不同國家有不同的記法,台灣是使用『9x 5』來表示,也就是本文中的正確答案(3)。

然而從選項的內容來看,本題考的應該是數字乘法運算的概念(小二這個時期應該就是在教乘法)而不是考記個數的方式。本題的問題點其實是出在『5個9』應該改成『5個9相加』,而非記者所說的『邏輯』。

筆者認為,『語言能力』會限制小學生的讀題能力。老師出題時應該要使用更精確且更簡單的文字避免學生造成誤解(不需要從文字上做調整讓學生做文字上的腦筋急轉彎)。筆者建議本題應該更改為:

『5個9相加』可以用下列哪個選項來表示:

(1) 5×9 (2) 5+9 (3) 9x 5

這樣題目會更清楚一點。

從一道題目談論我認為的好中學數學問題

說明:本文主要不是在談中學數學教學,談的是筆者認為的好的『思考』問題。至於好的『試題』並不是本篇文章討論要素。

前幾天筆者在臉書上讀到了一則貼文,這則貼文是關於一道中學的數學題目,如下表示。

題目A:如右圖,梯形ABCD中,已知道兩底\overline{AD}\overline{BC}分別為7公分與20公分,兩腰\overline{AB}\overline{CD}之長分別為5公分與12公分,則梯形ABCD的面積為___平方公分。

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原作者主要是透過那道題評論『考試害人不淺』。筆者並非要去評論該作者的內文,主要是想透過這道題來談筆者心中所謂的好的中學數學問題。對於中學學習,筆者僅作以下簡評:

在中學時期,許多學生會面臨到『每個科目的學習都要盡可能的盡善盡美』而要學習的科目卻又非常的多。因此,許多學生在中學時期必須以『記憶』的方式來學習所有的科目,因為『直接背起來』而不用思考對學習來說最省力。要學習數學這種需要大量思考的科目,不見得人人都願意花時間做思考的練習。如果有『捷徑』或是『巧解』,對學生的學習來說會更加省時(?)。可能這樣的下場就導致了學生解題喜歡找捷徑與找巧解,補習班或許也大行其道,失去了思考訓練的精神。因為大家不是為了『增強自身的知識與學習能力』做準備,而是為了『考試』—為了能在考試中得到好成績做準備,這就是『考試領導教學』。事實上,要增強自身的『思考力』是需要經過許多的『思考訓練』,而思考訓練需要很多的時間。

回到筆者想談的,對筆者而言,何謂好的中學數學問題呢?『可以有各種不同解法的數學題目。』一道題有『不同的解法』代表著那道題可以提供學生『不同的思考角度』。筆者看到題目A的第一個反應是覺得此題還挺有趣的,以下提供幾個做法讓讀者去理解為何筆者會覺得此題有趣。

思考:本題目要求的是梯形面積。依據梯形的面積公式可知:梯形的面積是(上底加下底)乘高除2。上底是7下底是20,只要知道高便可求出此梯形的面積。所以本題在考的其實是要求出此梯形的高。要求出此梯形的高可以有以下的幾種策略,而這些策略是仰賴於我們對梯形的理解。因為ABCD是梯形,所以\overline{AD}平行於\overline{BC}。我們可以做輔助線,來幫助我們解題。我們假設此梯形的高為h

作法一:在 \overline{BC}上取一點E使得\overline{DE}平行於\overline{AB}。則四邊形ABED為平行四邊形(利用\overline{AD}平行\overline{BC}),可知\overline{DE}=5\overline{BE}=7(如圖所示)。

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因為\overline{BC}=20\overline{BE}=7可以推得\overline{CE}=13。觀察13^{2}=5^{2}+12^{2}可知\Delta CDE是直角三角形且\angle CDE=90^{\circ}。利用三角形的面積公式可知,\Delta CDE的面積為

\displaystyle[\Delta ABC]=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot h

可求出h

做法二:做法二跟作法一的想法是雷同的。只是我們取\overline{BC}上一點E使得\overline{AE}平行於\overline{CD}。如圖所示

p3

利用類似的討論,我們可以得出h

做法三:延長\overline{AD}至一點E使得ABCE構成一平行四邊形。利用平行四邊形的性質,我們可以求出\overline{DE}=13\overline{CE}=5。如圖所示:

p4

接著利用同樣的做法可以求出h

做法四:做法四有別於前面使用圖形的幾何性質作解答,使用了代數做法。做\overline{AE}垂直\overline{BC}E\overline{DF}垂直\overline{BC}F。如圖所示:

p5.png

根據梯形的性質可知四邊形AEFD為矩形。於是\overline{EF}=\overline{AD}=7\overline{AE}=\overline{DE}\angle BEA=\angle CFD=90^{\circ}。由畢氏定理可推得

\displaystyle 5^{2}-x^{2}=\overline{AE}^{2}=\overline{DF}^{2}=12^{2}-(13-x)^{2}

根據此式可以求出x,求出x後再利用畢氏定理可以求出此梯形的高。

原則上來說上述的這些方法真正只有兩種不同做法,因為做法一到三均是利用雷同的想法:對於梯形的理解,使用到了『逆畢氏定理』,做法四是直接使用代數方法與畢氏定理,兩者有不同的思考路徑。雖然做法一到三想法雷同,但讓學生可以有各種做輔助線的方法(不唯一)來得到同樣的結果,因此筆者認為本題是不錯的題目。

有一次在課堂上,學生曾告訴筆者:『老師,這些方法很簡單,但我們想不到的。』其實不是學生想不到,而是學生沒有習慣於做『用各種可能的方法解決同一個問題』的訓練。如同筆者前面說的,不同的做法代表的是不同的思考方式,不同的思考方式讓我們透過不同的角度來對同一件事情產生理解。透過『各種思考路徑來解題』有助於我們『把所學習到的(不同的)知識之間做鏈結』,大腦中思考的鏈結越多,就越有可能讓我們有不同的策略來解決問題(或產生創造力)。『思考的訓練』需要大量的時間,在『考試領導教學』環境中或許讓學生有『大量時間思考』有著很大的困難吧?

東華大學應用數學系魏澤人教授補充道:『作法四那樣畫,然後觀察左右兩個三角形的底長度固定,然後拚再一起.。另一個角度是問,為什麼這個題目可以問?也就是為什麼知道四個邊長就能知道面積? 除了面積是否還能確定形狀?從這裡出發也能有很多思路,還原問題的本質。』

補充:(做法五)詹孟樺網友提供了第五種做法:

p6.png

\overline{AB}\overline{CD}延長後交於E點。則我們得到兩個相似三角形\Delta EAD\sim \Delta EBC。假設\overline{AE}=x\overline{DE}=y,利用相似三角形的性質,我們可以求出

\displaystyle\frac{x}{x+5}=\frac{y}{y+12}=\frac{7}{20}

則我們可以分別解出x,y。有了三角形的三邊長後,我們可以求出三角形的面積。於是梯形面積為

[ABCD]=[\Delta EBC]-[\Delta EAD]

此處我們使用了[\cdot]來表示多邊形的面積。而這裡的做法與前述做法一到做法四均不相同。主要使用的概念是『相似形』與『多邊形區域面積的性質』與『三角形三邊長決定三角形面積』這三種概念。做法五為本問題的第三種做法。

附錄:畢氏定理的逆定理。假設\Delta ABC三邊長分別為a,b,c且滿足c^{2}=a^{2}+b^{2},則\Delta ABC為直角三角形。

[轉貼書評]數學建模的評估與指導

本文作者為成功大學數學系舒宇宸教授,書評原文連結

原文:

這本書的英文版本可以從 http://www.comap.com/Free/GAIMME/ 下載得到喔!中文版本應該不久後也會出現喔!

  本書給了台灣教師較少涉略的領域-數學建模。就是如何將數學應用到現實生活的歷程。非常值得台灣教師在課堂時間引入以加強學生學習數學的動機。因為數學建模的概念在教師培養的過程中,或是在加速的數學教學中是常被忽略的,最後在教學現場只剩標準而乏味的數學問題。而本書配合不同的學習階段,國小到國中,高中,及大學,各給了如何將原本教學問題改成建模問題的例子。並配合學生的數學能力,給對應的生活情境。如國小的加減問題轉化為旅遊野餐的食物準備;高中斜率問題轉換為打工薪資比較問題;到了大學則以微積分差商來評估無人機飛行安全問題。每一個都是由原始的數學問題出發,透過添加意義與解釋來轉變成建模問題。這幾個例子給老師一個起點,一個將教學現場的問題,連結現實生活的問題的方式。
  數學建模歷程通常是反向的,也就是將現實生活問題透過數學來解決。就像書中提到的,該去哪個加油站加油的問題一樣。雖然在繁瑣的塵世中,這有一種為賦新詞強說愁的感覺。但是學生甚至老師都會有這樣的感覺:「這根本是未定義完全的數學問題嘛!」但生活中,哪有事情是完美的呢?不完美的故事才有遺憾,才能引人深思不是嗎?學生為了解決這種現實生活的問題,就得自己找尋這故事中不足的片段,一步一步將這個故事拼完。這不就是教育想要培養學生自我思考,動手做的能力嗎?這些數學建模的例子就留給讀者自行從書中閱讀,體會並思考了。在這裡我們強調的數學建模,絕對不是用以取代整體的數學課程;而是在原始的抽象訓練之外,提供與現實生活的連結,以增強學生應用數學的能力。
  本書在三個不同的學習階段,國小到國中、高中以及大學都獨立一章節給予了更多數學建模的例子,並依據學生的數學及心理成熟度來建議教師在整個過程中該扮演的角色及指導原則。數學建模是一個需要時間培養的能力。它不像一般數學問題有一個完全正確的答案,更顯少會漂亮地有一個快速的解法!所以在過程中,教師的陪伴是非常重要的。除了清理學生的挫折,指引學生方向,更必須多一雙發現學生數學以外優點的慧眼。就如同畢業後去工作一樣,專業能力固然重要,缺了內部溝通、公關展示,也不過像是自己開了一部超強挖土機暴走一樣,怎麼也蓋不出一棟大樓一樣。教師在教學現場的教學究竟要帶給學生什麼?又想要學生在他們的餘生中記得什麼?教師必須打開學生心中定義『你的數學很棒』的另一扇門!
  本書也對數學建模的歷程給了一個評價方式。如果讀者已全然了解數學建模的精神,就會發現那也其實也一種建模。是給一個簡易的方式來評價學生的歷程。但教師必須了解到,這絕對不是要分個高下,是提醒學生還有哪裡可以做得更好。硬要給出分數加起來,難道是為了讓大家排成一條線容易給獎嗎?容易升學嗎?難道就為了如此要大家拿貝多芬跟莫內來比較嗎?所以,本書的最後提醒了讀者,數學建模是一種藝術,是一種品味。其實,每個人可以對它有不同的認識。對我來說,它可以是一種生活奢侈品、收藏品。有了它,數學精彩了!有了它,生命豐富了!數學課不再是關在紙與筆牢籠中的數字競賽;它讓你即便聽見下雨的聲音,仍能將心靈澄淨,過濾出一杯數學的美感來。

愛情的愛與不愛:愛戀的數學模型

『如果一個人宣稱他懂愛情,唯一可以肯定的是他一點也不懂愛情.』

愛是什麼?莎士比亞說:『愛是一朵生長在懸崖邊緣的花,要想採摘它必須要有勇氣.』愛是美麗又危險的東西,要擁有它需要勇氣.他又說:『愛情不過是一種瘋.』愛是一種精神狀態,讓人無法控制的精神狀態.『愛和炭相同,燒起來得設法叫它冷卻.』%e8%8e%8e%e5%a3%ab%e6%af%94%e4%ba%9e

詩人泰戈爾曾說:『愛是亙谷長明的燈塔,他定睛望著風暴卻兀不為動.愛就是充實的生命,正如盛滿了酒杯.』我們的生命如同酒杯,而愛如同美酒充實了我們的生命.

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『愛情』讓人迷戀又迷惑,許多人一生中不斷的在追尋著愛情,想要得到它想要擁有它更想要佔有它.然而每個人對於『愛情』的理解不完全相同.即使是相戀的兩人對於『愛情』也未必擁有共識.莎士比亞說了:『愛情不是花蔭下的甜言,更不是桃花源中的密語,不是輕綿的眼淚,更不是死硬的強迫,愛情是建立在共同語言的基礎上.』是的,愛情是建立在共同語言的基礎上,但什麼是共同的語言呢?為何需要共同的語言呢?

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語言就是一種溝通用的『工具』,讓彼此都能夠對『同一件人事物』有『共同的認知』.如果語言不相同,兩人可能無法溝通.無法溝通的兩人就比較難讓彼此『理解對方』.泰戈爾也說:『愛情是理解和體貼的別名.』愛是需要『理解』和『體貼』的.各位讀者多少應該有過『兩個人對同一詞理解不同』的經驗.舉例來說,父母親希望孩子把『房間打掃乾淨』,孩子把書桌上雜亂的書籍整理好後就認為自己已經『整理好房間了』於是又開始上網或是看書或是做自己的事.等到父母親進房一看,破口大罵『我不是叫你整理房間,你為什麼還在做自己的事?快去打掃.』於是你可能會反駁說:『我整理好了,你看,書桌上的書已經擺得整整齊齊的.』於是父母親可能就說:『我要你整理房間,不只是整理書房,還要打掃,吸地板,擦桌子,把棉被摺好.….』.接著父母親與孩子便產生爭執.這些狀況並不單純的發生在親子關係,在伴侶間,在同事間,在各式各樣的人際關係中都可能產生類似的問題.雙方對同一件事情的理解未必相同,對同一件事情的理解不同最差的結果是導致衝突.『溝通』能夠盡可能地讓彼此『減少衝突的機會』.溝通的目的是為了讓『彼此在同一件事情上產生共同的認知』.『共同的認知』或『共同的語言』在數學中指的就是『定義』.

在教育部國語辭典裡愛的定義是『親密的情緒或親密的情感.』愛所代表的是一種關係一種情緒.我們能否用一種客觀的方式來描述這種關係?1988年,Steven Strogatz教授在論文[1]中提出了一個愛戀關係的簡單模型來研究兩人之間的愛戀.也就是說,我們有可能以一種較為客觀的方式來描述兩個人(或兩人以上)的愛戀關係.但這樣的愛戀模型真的代表了真實世界的愛戀關係嗎?首先我們先來介紹何謂數學模型.

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所謂的數學模型指的是以數學的方法來描述與呈現真實世界發生的現象.我們透過對真實世界的觀察,建立起一套數學的語言來描述此現象,目的是為了『預測』未來此現象可能導致的『結果』.

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舉例來說,牛頓第二運動定律簡單描述了淨力物體質量與物體加速度之間的關係:

f=ma.

此處f為所受的淨力,m是物體質量,a是此物體的加速度.如果知道物體的初始位置與初始速度,那麼我們可以把第二運動定律改寫為以下的微分方程:

mx''(t)=f,\quad x(0)=x_{0},\quad x'(0)=v_{0}.

透過此這個微分方程的解,我們可以預測時間t物體的位置為何.1798年,馬爾薩斯在論文[2]中提出了人口模型:(在沒有什麼限制條件下)世界的人口成長比率與人口數成正比.如果以P(t)表示為時間t的世界人口數,那麼人口模型可以寫成

\displaystyle\frac{dP}{dt}=CP(t),\quad P(0)=P_{0}.

其中P(0)表示某個開始計算的時間點的人口數.馬爾薩斯認為食物呈線性成長而人口呈指數成長.(此微分方程的解為P(t)=P_{0}e^{Ct}.

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馬爾薩斯提出人口論的目的是為了『預測』未來人口成長的方式.依據人口論[2],人類勢必面臨食物上的短缺,而控制人口的成長變成必要考量的重點.然而數學模型一定是正確的嗎?1845年,比利時數學家V. P. Franscois在論文[3]提出了人口模型的修正版本.他認為由於環境的限制,有限的資源和人為的因素,人口的成長將減慢下來.所以Franscois提供了一個修正版本的人口模型:

\displaystyle\frac{dP}{dt}=rP(t)\left(1-\frac{P(t)}{K}\right),

其中r, K為常數.如果我們令x(t)=P(t)/K,則此方程的解為

\displaystyle x(t)=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x_{0}}-1\right)e^{rt}}.

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透過上述的例子我們可以知道幾件事情:數學模型存在的目的是為了預測,而數學模型非絕對的正確.為了讓我們的預測能夠更加的準確,我們必須對模型不斷的修正.建構數學模型有幾個重要的原則必須要知道的:

  1. 我們必須清楚的知道我們希望研究的現象是什麼.(找出建構模型的要素)
  2. 列出我們希望尋找的資訊.
  3. 目前已經知道了哪些訊息.
  4. 假設與前提.
  5. 以何種方式來看模型.
  6. 系統可以預測出什麼.
  7. 這些預測是否準確.

我們用以下的流程圖來概述建構數學模型的過程.

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如果要建立愛戀關係的數學模型,套用上述的建構原則:

  • 我們希望研究的是:愛戀關係
  • 我們希望知道的是:兩人未來的發展
  • 假設與前提是:?
  • 如何來看待此模型:?
  • 系統可以預測什麼:?
  • 這些預測是否準確:?

因此在研究愛戀關係時,我們必須要做一些假設.模型的解是一種量化的方式來呈現物體在(概念)世界中的相貌,如果我們要將愛戀關係給數學化勢必會面臨一個問題:

『愛能否被數量化?』

舉例來說,筆者曾經在網路上見過一個論述『我認為愛可以用金錢來衡量』.金錢是一種數量,如果愛可以用金錢來衡量,那麼我們以金錢作為愛情的單位,金錢就成為愛的一種數量化的方式.我們也常聽見以下的論述『我愛/恨你很深』,『我愛你比你愛我更多』.雖然此處的『深』『多與少』都是抽象的感受,而深可以用長度來衡量,多與少可以用數量來衡量,似乎這幾種說詞都暗示著『愛(情)可以被數量化的』?巫啟賢有一首歌『愛那麼重.其中有一句歌詞是『愛那麼重,愛那麼痛,給我再多勇氣也沒有用.』『重』可以被數量化(如公斤),痛呢?事實上痛也是可以被數量化的:

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模仿這個量表,筆者製作了以下的愛/恨數量化表.

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我們的確找到了一些把愛數量化的『可能』方式.至於恨?我們就定義為負值的愛.

愛與恨就在本文暫時稱為一個人的情感.『情感日誌』是一個人時間與情感的紀錄.依情感日誌,情感就成為了時間的函數,我們把此函數稱為『情感函數』.一個人的情感『應該』是隨著時間『連續』的變化.我們在此模型中至少假設情感函數為時間的『連續函數』.

愛戀模型假設一『情感函數(至少)為時間的連續函數』

如果E(t)是某A在時間t時對某B得情感.當在時間t時,如果E(t)>0時,我們稱AB,當E(t)<0,我們稱AB.當E(t)=0,我們稱為A不愛B

北宋著名文學家歐陽修的作品浪淘沙『把酒祝東風,且共從容,垂楊紫陌洛城東。總是當時攜手處,游遍芳叢.聚散苦匆匆,此恨無窮。今年花勝去年紅。可惜明年花更好,知與誰同?』中提到了『恨無窮』雖然本文談的不是愛戀關係,是歐陽修感覺到與朋友相處的時光飛逝的感慨,這種感慨讓我們不禁想問自己一個問題:『一個人的愛恨有可能是無窮大嗎?』

在情感函數是連續的假設下,這件事是不可能存在的.依據分析學的威爾史特拉斯極值定理(Weierstrass extremum value Theorem),任何連續函數在有界的閉區間上是有界的且最大與最小值均存在.一個人的生命是有限的,所以根據極值定理,一個人的情感也是有限的.有些人相信『輪迴轉世』的存在,這一輩子愛不夠,下一輩子繼續愛.所以在電影中常出現類似的情節,有些人選擇相信他對另外一個人的愛是可以(無窮)延續下去的.的確,如果一個人的愛是可以無止盡的存在,『愛恨無窮』變為可能.如果時間有起點有終點,情感無窮延續就不可能發生.然而這類的想法應屬於『信仰』問題,『愛恨無窮』就暫時討論到此.

情感函數的初始條件(定義):初始條件指的是t=0時情感的初始狀態,也就是E(0)得值.我們必須選擇何時為我們對某人的情感函數的時間起點.例如:

  1. 兩人認識的那一剎那.
  2. 告白得那一刻.
  3. 兩人交往的那一刻.
  4. 等等.

有了初始條件後,我們便可以建立感情日誌.如下圖所示:

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有了情感日誌後,我們便可以開始理解我們自己(或AB)的情感變化.

定義:在時間[t,t+\Delta t]時,我們定義情感的平均變化為:

\displaystyle\frac{\Delta E}{\Delta t}=\frac{E(t+\Delta t)-E(t)}{\Delta t}.

舉例來說:

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我們便定義感情函數在時間t時的瞬時變化為

\displaystyle\dot{E}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta E}{\Delta t}.

有了這些定義,我們便可以開始來談Strogatz教授在[1]提出的簡單愛戀模型,他把此方程稱為羅密歐與茱麗葉方程:

\displaystyle\left\{\begin{matrix}\dot{R}&=aR+bJ\\ \dot{J}&=cR+dJ\end{matrix}\right.

其中R(t)是羅密歐在時間t時,對茱麗葉的情感.而J(t)是茱麗葉在時間t時對羅密歐的情感.而a,b,c,d是常數,稱為此系統的浪漫風格(Romatic Style).我們如何的來看這個系統方程呢?

\displaystyle \dot{R}=aR+bJ

所代表的意思是羅密歐的情感變化為他自己的感受還有茱麗葉帶給他的感受所確定.一般來說,a,b不太可能是常數,應該隨著時間而變化.我們為了把問題簡化,我們先考慮當a,b,c,d是常數函數的狀況(我們當然也可以考慮非常數函數的狀況).關於羅密歐的浪漫風格,Strogatz教授與他的學生提供了以下的建議(分類):

  • 拼命三郎(Eager Beaver): a>0b>0.羅密歐對他自己和茱麗葉給他的感情同時有正面的感受.
  • 自戀(Narcissistic nerd):a>0b<0.羅密歐對自己的感情有正面的感受,但對於茱麗葉給他的感情有負面的感受.
  • 謹慎的愛(Cautious lover):a<0,b>0,羅密歐對自己有著負面的感受但對著茱麗葉的感情有著正面的感受.
  • 隱士 (Hermit):a<0,b<0.羅密歐對他自己與茱麗葉給他的感情同時有負面的感受.

給了初始條件R(0)J(0)後,根據微分方程的唯一且存在性定理可知,這個愛戀方程的解『存在』且『唯一』.關於二階線性常微分方程的解可參考『連結』.

為了能夠圖像化微分方程的解,我們引入了相圖(phase portrait)的概念.相圖是以參數化曲線在平面上呈現微分方程解的一種方式,用來幫助我們理解/預測微分方程的解的行為.如果記\det A=ad-bc, \mbox{Tr}(A)=a+d.那麼我們可以把相圖畫在\det-\mbox{Tr}平面上:(下圖稱為龐加萊圖)

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所以根據龐加萊圖可知,儘管是兩人的愛戀簡單模型,愛戀關係也是相當的難以分析.(更何況非簡單模型呢?)研究這類的方程與解的行為的領域稱為『動態系統』(Dynamical system)

『如果愛戀關係出現了第三者呢?』

系統將變更為複雜.在動態系統理論中,三維以上的微分方程的穩定性理論比二維系統更加的複雜,三維以上的系統微分方程又稱為『多體問題』(Many body Problem).在三維以上的系統的穩定性理論還出現二維系統所沒有的混屯效應(chaos).混屯效應指的是系統對初始條件的變化是相當敏感的,意思是初始條件只作些微的改變,方程的解卻改變的相當的大,有些人又稱此為蝴蝶效應.

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所以三人以上的愛戀問題賦予了數學/物理上的『多體問題』一個新的意義.

了解了愛戀簡單模型後,我們可以再看幾個其他的愛戀模型.在[4]中,J.C. Sprott 研究了以下的非線性羅密歐與茱麗葉方程:

\displaystyle\left\{\begin{matrix}\dot{R}&=aR+bJ(1-|J|)\\ \dot{J}&=cR(1-|R|)+dJ\end{matrix}\right.

此篇論文中他還研究了三角戀情,並研究了蝴蝶效應發生的可能狀況,詳見[4].在[5],還有一個愛戀模型: Laura-Petrarch model

\displaystyle\left\{\begin{matrix}\dot{P}&=a_{L}L(t)+R_{L}(P(t))+b_{L}A_{r}\\ \dot{L}&=a_{P}L(t)+R_{P}(L(t))+b_{r}A_{L}\end{matrix}\right.

        在概念世界中,愛戀的數學模型告訴我們.兩人的簡單愛戀模型(的解的分類)已經相當的複雜,真實世界的愛情肯定比概念世界的愛戀模型又更加的複雜.如果有人宣稱他懂『愛情』,那麼可以肯定的是他一點也不懂『愛情』,每個人至多只能理解屬於自己的那一份『愛情』.泰戈爾說了:『相信愛情,即使它給你悲哀也要相信愛情.』或許我們不一定懂愛情,但我們卻可以相信愛情。

本文內容主要出自於成大通識課『存在,愛戀,也瘋狂』的課堂講義.

[1] Strogatz Steven H: Love affairs and differential equations. Math. Mag 61 (1988), no. 1. 35.

[2] T.R. Malthus: An Essay on the Principle of population (1798)

[3] V. P. Franscois: Recherches mathematiques sur la loi d;accroissement de la population, Nouvex Memoires de l’Academie Royale des Science et Belles-Lettres de Bruxelles. 18: 1-42 (1845)

[4] J.C. Sprott,: Dynamicas of love, Nonlinear dynamics, Psychology and Life sciences, Vol 8. No. 3 (2004)

[5] F. Breitenecker, F. Judex, N. Popper, K. Breitenecker, A. Mathe and A. Mathe: Love Emotions between Laura and Petrarch: an approach by Mathematics and System Dynamics, Journal of Computing and Information Technology. C.I.T. 16 (2008) 4, 255-269

反函數定理證明part II

接著要來證明反函數定理的第二部分:反函數的可微分性.在前一篇文章我們已經證明了.如果f:E\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}C^{1}函數,且A=Df(a)可逆,則可以找到a的開鄰域Uf(a)的開鄰域V使得f:U\to V1-1且映成函數.接著我們要證明f:U\to V的反函數g:V\to UC^{1}函數.如果我們可以證明,對任意的y\in V恆有

Dg(y)=(Df(g(y)))^{-1}

那麼g就是C^{1}函數.原因就在以下.令

GL_{n}(\mathbb{R})=\{A\in M_{n}(\mathbb{R}):\det A\neq 0\}

所有n\times n的時可逆矩陣所構成的集合(群).映射

GL_{n}(\mathbb{R})\to GL_{n}(\mathbb{R}), A\to A^{-1}

為連續的映射.

我們只需證明gV上可微分即可.如同上一篇文章,我們取\delta>0使得當\|x-a\|<\delta時,\|Df(x)-A\|<(2\|A^{-1}\|)^{-1}.U=\mathbb{B}(a,\delta)V=f(U). 如此一來,對任意的x_{1},x_{2}\in U恆有(請見前一篇文章)

\displaystyle\frac{1}{2\|A^{-1}\|}\|x_{1}-x_{2}\|\leq \|f(x_{1})-f(x_{2})\|

任取y_{0}\in Vy_{0}=f(x_{0}), x_{0}\in U.取\delta'>0使得\mathbb{B}(x_{0},\delta')\subseteq U\delta''=\delta'/4\|A^{-1}\|..則我們前一篇論文證明了\mathbb{B}(y_{0},\delta'')\subseteq V.

任取k滿足\|k\|<\delta''T=(Df(x_{0}))^{-1}.我們記h=g(y_{0}+k)-g(y_{0}).k=f(x_{0}+h)-f(x_{0}).利用前述估計

\displaystyle\|h\|=\|x_{0}+h-x_{0}\|\leq 2\|A^{-1}\|\|f(x_{0}+h)-f(x_{0})\|=2\|A^{-1}\|\|k\|.

接著觀察

g(y_{0}+k)-g(y_{0})-T(k)=h-T(k)=-T(f(x_{0}+h)-f(x_{0}-Df(x_{0}))(h)).

利用norm不等式

\| g(y_{0}+k)-g(y_{0})-T(k)\|\leq \|T\|\|f(x_{0}+h)-f(x_{0}-Df(x_{0})(h)\|

所以我們得到

\displaystyle\frac{\|g(y_{0}+k)-g(y_{0})-T(k)\|}{\|k\|}\leq 2\|T\|\|A^{-1}\|\frac{\|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Df(x_{0})(h)\|}{\|h\|}

利用f的可微分性,上式兩邊同時取k\to 0我們就得到答案了:

\displaystyle\lim_{\|k\|\to 0}\frac{\|g(y_{0}+k)-g(y_{0})-T(k)\|}{\|k\|}=0.

於是gy_{0}可微分,且Dg(y_{0})=T.

[高微]反函數定理的證明part I

定理:假設E是歐氏空間\mathbb{R}^{n}中的開集合,並且f:E\to\mathbb{R}^{n}C^{1}映射.令a\in E.如果A=Df(a):\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}為可逆的線性變換(invertible linear map).則存在a的開鄰域Uf(a)的開鄰域V使得

(1)f:U\to V為一個一對一且映成的函數(one-to-one and onto)

(2)g:V\to Uf:U\to V的反函數.則g也是C^{1}映射.

證明:

Part I我們證明存在開集合U,V使得f:U\to V是一對一且映成.

Part II我們要證明g:V\to UC^{1}映射.

由於A=Df(a)是可逆變換,所以A^{-1}存在.利用Df(x)的連續性.我們取\delta>0使得對任意的x滿足\|x-a\|<\delta,恆有

\displaystyle\|Df(x)-Df(a)\|=\|Df(x)-A\|<\frac{1}{2\|A^{-1}\|}.

我們取U=\mathbb{B}(a,\delta)V=f(U).我們來證明

(1)f:U\to V是一對一且映成

(2)V是開集合.

由於V=f(U)根據定義,f:U\to V為映成函數.我們只需要證明f:U\to V為一對一函數.為了證明V是開集合,我們必須證明V中的每個點都是內點.我們接著要同時來證明f:U\to V是一對一且V是開集合.

證明的想法:利用norm不等式的估計,證明f是一對一.利用壓縮映射的不動點定理證明V是開集合.

首先任取一點y_{0}\in V.要證明y_{0}是內點,我們希望找到一個半徑\delta''>0使得\mathbb{B}(y_{0},\delta'')\subseteq V.因為y_{0}\in V=f(U)所以y_{0}=f(x_{0}), 其中x_{0}\in U.因為U是開集合,我們可以取\delta'>0使得\mathbb{B}(x_{0},\delta')\subseteq U.接著我們令\delta''=\delta'/4\|A^{-1}\|.我們希望證明\mathbb{B}(y_{0},\delta'')\subseteq V.事實上我們可以證明\overline{\mathbb{B}(y_{0},\delta'')}(他的閉包closure)包含在V中.

我們可以來證明f:U\to V是一對一函數了.取y使得\|y-y_{0}\|\leq\delta''.我們定義函數

\varphi_{y}:U\to\mathbb{R}^{n}

\varphi_{y}(x)=x+A^{-1}(y-f(x)).\varphi_{y}C^{1}函數.而且

D\varphi_{y}(x)=I-A^{-1}Df(x)=A^{-1}(A-Df(x)).

由於\|x-x_{0}\|<\delta時,\|Df(x)-A\|<1/2\|A^{-1}\|,所以當\|x-x_{0}\|<\delta

\displaystyle\|D\varphi_{y}(x)\|\leq \|A^{-1}\|\|A-Df(x)\|<\|A^{-1}\|\frac{1}{2\|A^{-1}\|}=\frac{1}{2}.

由於U=\mathbb{B}(x_{0},\delta)是開凸集,利用平均值不等式我們可以推得:對所有的x_{1},x_{2}\in U時,恆有:

\displaystyle\|\varphi_{y}(x_{1})-\varphi_{y}(x_{2})\|\leq\frac{1}{2}\|x_{1}-x_{2}\|   (1)

(所以\varphi_{y}是壓縮映射)利用三角不等式:對x_{1},x_{2}\in U,

\|x_{1}-x_{2}\|\leq \|x_{1}-x_{2}+A^{-1}(f(x_{2})-f(x_{1}))\|+\|A^{-1}(f(x_{1})-f(x_{2}))\|  (2)

\varphi_{y}(x_{1})-\varphi_{y}(x_{2})=x_{1}-x_{2}+A^{-1}(f(x_{2})-f(x_{1})),

因此

\displaystyle\|x_{1}-x_{2}+A^{-1}(f(x_{2})-f(x_{1}))\|\leq\frac{1}{2}\|x_{1}-x_{2}\|. (3)

\|A^{-1}(f(x_{1})-f(x_{2}))\|\leq \|A^{-1}\|\|f(x_{1})-f(x_{2})\|,  (4)

利用(1),(2),(3),(4)可以推得

\displaystyle\frac{1}{2}\|x_{1}-x_{2}\|\leq \|A^{-1}\|\|f(x_{1})-f(x_{2})\|,

於是對任意的x_{1},x_{2}\in U恆有

\displaystyle\frac{1}{2\|A^{-1}\|}\|x_{1}-x_{2}\|\leq \|f(x_{1})-f(x_{2})\|.

這個不等式強迫f成為一對一函數(請思考).接著我們希望證明V是開集,我們希望取得的\overline{\mathbb{B}(y_{0},\delta'')}包含於V中.為此,我們必須使用到壓縮映射原理(不動點的存在性).

我們取B=\overline{\mathbb{B}(x_{0},r)}其中r=\delta'/2.B\mathbb{R}^{n}中的閉集,所以B完備.如果我們可以證明\varphi_{y}(B)\subseteq B,再利用\varphi_{y} 壓縮映射,可以證明\varphi_{y}:B\to B有不動點.如果x\varphi_{y}:B\to B的不動點,則

\varphi_{y}(x)=x+A^{-1}(y-f(x))=x

可以推得y=f(x).於是

y=f(x)\in f(B)\subset f(U)=V

其中我們使用到了B包含在U中.要證明\varphi_{y}(B)\subseteq B.取z\in\varphi_{y}(B).則z=\varphi_{y}(x'), 其中x'\in B.因為x'\in B所以\|x'-x_{0}\|\leq r.

\|z-x_{0}\|=\|\varphi_{y}(x')-x_{0}\|\leq \|\varphi_{y}(x')-\varphi_{y}(x_{0})\|+\|\varphi_{y}(x_{0})-x_{0}\|.

\displaystyle\|\varphi_{y}(x')-\varphi_{y}(x_{0})\|\leq\frac{1}{2}\|x'-x_{0}\|\leq\frac{r}{2}

且利用y_{0}=f(x_{0})可推得

\displaystyle\|\varphi_{y}(x_{0})-x_{0}\|=\|A^{-1}(y-f(x_{0})))\|\leq \|A^{-1}\|\|y-y_{0}\|\leq \|A^{-1}\|\delta''=\|A^{-1}\|\frac{\delta'}{4\|A^{-1}\|}=\frac{\delta'}{4}=\frac{r}{2}.

於是

\displaystyle\|z-x_{0}\|\leq\frac{r}{2}+\frac{r}{2}=r.

可推得z\in B於是\varphi_{y}(B)\subseteq B.所以我們完成了V是開集合的證明.

本篇文章用到了兩個重要的norm估計.

(1)如果A:\mathbb{ R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}是線性變換,則\|Av\|\leq \|A\|\|v\|.

(2)如果A,B:\mathbb{ R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}是線性變換,則\|AB\|\leq \|A\|\|B\|.

(3)平均值不等式.如果U\mathbb{R}^{n}中的開凸集,且f:U\to\mathbb{R}^{m}C^{1}函數.如果在U上恆有\|Df(x)\|\leq M,則

\|f(x)-f(y)\|\leq M\|x-y\|,

x,y\in U.

多變數函數的泰勒展開式

假設U\mathbb{R}^{2}的一個開集合且P(x_{0},y_{0})U中的一個點.由於U是開集合,我們可以找到\delta>0使得開球

\mathbb{B}(P,\delta)=\{Q\in\mathbb{R}^{2}:d(P,Q)<\delta\}

包含在U中.如果f:U\to\mathbb{R}是定義在U上的實值函數.我們想要分析函數fP點附近的行為於是我們便假設f是定義在開球\mathbb{B}(P,\delta)上的實值函數,也就是說,我們一開始就取U=\mathbb{B}(P,\delta).

假設fU上的所有一階偏導存在且連續.且Q(x,y)\in\mathbb{B}(P,\delta).我們令h=x-x_{0}k=y-y_{0}.h^{2}+k^{2}<\delta^{2}.我們定義一新的函數

F:[-1,1]\to\mathbb{R}F(t)=f(x_{0}+th,y_{0}+tk).

利用單變數函數的均值定理,我們可以找到c\in [0,1]使得

F(1)-F(0)=F'(c).          (1)

利用微分連鎖律,我們可以求出

F'(t)=f_{x}(x_{0}+th,y_{0}+tk)h+f_{y}(x_{0}+th,y_{0}+tk)k.

利用(1)我們可以推得

f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(x_{0}+ch,y_{0}+ck)h+f_{y}(x_{0}+ch,y_{0}+ck)k

如果函數f的所有的k階偏導在U上均存在且連續.利用單變數的高階均值定理,我們可以找到c\in [0,1]使得

\displaystyle F(1)=F(0)+\frac{F'(0)}{1!}+\cdots+\frac{F^{(k)}(c)}{k!}

我們可以利用數學歸納法來證明

\displaystyle F^{(n)}(t)=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{i}\partial y^{n-i}}(x_{0}+th,y_{0}+tk)h^{i}k^{n-i}.

 

我們令H_{0}(f)(P)(h,k)=f(P)

\displaystyle H_{n}(f)(P)(h,k)=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}\frac{\partial^{n}f}{\partial x^{i}\partial y^{n-i}}(P)h^{i}k^{n-i},

H_{n}(f)(P)(h,k)h,kn次齊次多項式.

舉例來說,n=1,2,3的例子分別是:

H_{1}(f)(P)(h,k)=f_{x}(P)h+f_{y}(P)k,

H_{2}(f)(P)(h,k)=f_{xx}(P)h^{2}+2f_{xy}(P)hk+f_{yy}(P)k^{2},

H_{3}(f)(P)(h,k)=f_{x^{3}}(P)h^{3}+3f_{x^{2}y}(P)h^{2}k+3f_{xy^{2}}(P)hk^{2}+f_{y^{3}}(P)k^{3}.

範例:令f(x,y)=e^{x}\sin y, P=(0,0).F(t)=f(th,tk)=e^{th}\sin (tk). 所以

F'(t)=he^{th}\sin (tk)+ke^{th}\cos (tk),

F''(t)=h^{2}e^{th}\sin(tk)+2hke^{tk}\cos (tk)-k^{2}e^{th}\sin(tk).

F^{(3)}(t)=h^{3}e^{th}\sin(tk)+3h^{2}ke^{th}\cos(tk)-3hk^{2}e^{th}\sin(tk)+k^{3}e^{th}\cos(tk)

計算後發現F'(0)=k, F''(0)=2hk, F'''(0)=3h^{2}k+k^{3}所以

H_{1}(f)(0,0)(h,k)=k,

H_{2}(f)(0,0)(h,k)=2hk,

H_{3}(f)(0,0)(h,k)=3h^{2}k+k^{3}.

所以由這邊也可以立刻推得

f_{x}(0,0)=0, f_{y}(0,0)=1,

f_{xx}(0,0)=f_{yy}(0,0)=0f_{xy}(0,0)=1,

f_{x^{3}}(0,0)=f_{xy^{2}}(0,0)=0,f_{x^{2}y}(0,0)=f_{y^{3}}(0,0)=1.

回到原本的討論.利用單變數函數的均值定理,我們得到了兩個變數的實值函數的均值定理:

\displaystyle f(x,y)=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{i!}H_{i}(f)(P)(h,k)+\frac{1}{k!}H_{k}(f)(x_{0}+ch,y_{0}+ck)(h,k).

 

n\geq 0,我們記

\displaystyle T_{n}(f)(P)(h,k)=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}H_{i}(f)(P)(h,k)

fP點的第n階泰勒多項式.

定義:如果存在R>0使得

\displaystyle f(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}H_{n}(f)(P)(h,k)

h^{2}+k^{2}<R^{2}橫成立,我們說fP點有泰勒展開.

範例:考慮f(x,y)=1/(1-x-y)P(0,0)的泰勒展開.

我們先利用前述方法做一次:令h=x-0,k=y-0.定義

\displaystyle F(t)=f(0+th,0+tk)=\frac{1}{1-t(h+k)}.

F'(t)=(h+k)/((1-t(h+k))^{2}),利用歸納法可以推得

\displaystyle F^{(n)}(t)=\frac{k!(h+k)^{n}}{(1-t(h+k))^{n+1}}.

t=0帶入後我們得到F^{(n)}(0)=n!(h+k)^{n}於是

\displaystyle F(1)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{F^{(n)}(0)}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}(h+k)^{n}.

在此我們當然知道|h+k|<1.

我們當然可以使用等比級數來看:將1/(1-t(h+k))視為等比級數:公比為t(h+k).則利用等比級數和公式

\displaystyle \frac{1}{1-t(h+k)}=\sum_{n=0}^{\infty}(h+k)^{n}t^{n},

此時若|t(h+k)|<1,此級數和收斂.因此帶t=1我們得到

\displaystyle f(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}(x+y)^{n},

其中|x+y|<1.此時的齊次多項式為H_{n}(f)(0,0)(h,k)=n!(h+k)^{n}.

事實上,如果我們知道函數的泰勒展開式存在且已經得出函數的泰勒展開式,也可以用泰勒展開式求出函數所有的偏導.以上述例子來說

\displaystyle n!(h+k)^{n}=\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}f_{x^{i}y^{n-i}}(0,0)h^{i}k^{n-i}.

如果我們希望找出f_{x^{99}y}(0,0).那麼我們需要看的是h^{99}k的係數.根據二項式定理與上式:h^{99}k的係數為

\displaystyle (100)!{100\choose 99}={100\choose 99}f_{x^{99}y}(0,0).

比較兩邊之後可以發現f_{x^{99}y}(0,0)=100!.

範例:試求出f(x,y)=e^{2x+3y}(0,0)的泰勒展開式.

答:\displaystyle f(x,y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x+3y)^{n}}{n!}.

範例:試求出f(x,y)=\log(1+x+y)(1,2)的第三階泰勒多項式.

答:令F(t)=f(1+th,2+tk)=\log(4+t(h+k)).

\displaystyle F'(t)=\frac{h+k}{4+t(h+k)},

\displaystyle F''(t)=-\frac{(h+k)^{2}}{(4+t(h+k))^{2}}.

\displaystyle F'''(t)=2\frac{(h+k)^{3}}{(4+t(h+k))^{3}}

所以我們可以得到F(0)=\log 4,

F'(0)=(h+k)/4,

F''(0)=-(h+k)^{2}/4^{2},

F'''(0)=2(h+k)^{3}/4^{3}.

所以

\displaystyle T_{3}(f)(1,1)(h,k)=\log 4+\frac{1}{1!}\cdot\frac{h+k}{4}+\frac{1}{2!}\cdot\frac{-(h+k)^{2}}{4^{2}}+\frac{1}{3!}\cdot\frac{2(h+k)^{3}}{4^{3}}.

或是直接利用\log(1+t)的單變數泰勒展開求出

\displaystyle f(x,y)=\log(4+h+k)=\log 4+\log(1+\frac{h+k}{4})=\log 4+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(\frac{h+k}{4}\right)^{n}.

類似練習:

f(x,y)=\tan^{-1}(x^{2}+y^{2})試求出f_{x^{6}y^{2}}(0,0).

事實上,這個方法可以用來求/定義多變數函數的泰勒展開式.假設p\mathbb{R}^{N}中的一點,且f:\mathbb{B}(p,R)\to\mathbb{R}k階偏導均存在且連續的函數.我們定義函數

F:[-1,1]\to\mathbb{R}F(t)=f(p+t\mathbf{h})

其中\|\mathbf{h}\|<R.利用單變數函數的高階均值定理,我們可以求出

\displaystyle F(1)=\sum_{i=0}^{k-1}\frac{F^{(i)}(0)}{i!}+F^{(k)}(c),

其中c\in [0,1].利用歸納法,我們可以得到

\displaystyle F^{(n)}(0)=\sum_{\alpha}{n\choose \alpha}D^{\alpha}f(p)\mathbf{x}^{\alpha},

其中\alpha=(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{N})是多變數指標且\displaystyle{n\choose \alpha}=\frac{n!}{\alpha_{1}!\cdots\alpha_{N}!}\displaystyle D^{\alpha}f(p)=\frac{\partial^{\alpha}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots \partial x_{N}^{\alpha_{N}}}.則我們得到了多變數函數的高階均值定理:

\displaystyle f(\mathbf{x})=f(p)+\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{i!}\sum_{|\alpha|=i}{i\choose \alpha}D^{\alpha}f(p)\mathbf{x}^{\alpha}+\frac{1}{k!}\sum_{|\alpha|=k}{k\choose \alpha}D^{\alpha}f(p+t\mathbf{h})\mathbf{x}^{\alpha}

其中\mathbf{x}=p+\mathbf{h},|\alpha|=\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{N}.

同理,我們可以定義多變數函數的解析函數.其定義方式跟雙變數函數雷同,就留給讀者自行去定義.而實際上,我們在計算多變數的泰勒展開時,我們並不都是從函數的偏導著手,而是利用單變數函數的泰勒展開開始.就如同我們前面看到的,e^{2x+3y}的泰勒展開可以由e^{t}的泰勒展開得到.

範例:試計算e^{x}\sin y(0,0)的泰勒展開.

利用\displaystyle e^{x}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{i}}{i!}\displaystyle\sin y=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^{j}}{(2j+1)!}y^{2j+1}.我們可知

\displaystyle e^{x}\sin y=\sum_{i,j}\frac{(-1)^{j}}{(2j+1)!}x^{i}y^{2j+1}.

所以

\displaystyle H_{n}(f)(0,0)(h,k)=\sum_{i+2j+1=n}\frac{(-1)^{j}n!}{(2j+1)!}x^{i}y^{2j+1}.

範例:求\displaystyle f(x,y,z)=\frac{1}{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}(x,y,z)=(0,0,0)的泰勒展開.

利用等比級數公式可知,當x^{2}+y^{2}+z^{2}<1時,

\displaystyle f(x,y,z)=\sum_{i=0}^{\infty}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{i}.

所以

H_{2n+1}(f)(0,0,0)(h,k,l)=0,

H_{2n}(f)(0,0,0)(h,k,l)=(2n)!(h^{2}+k^{2}+l^{2})^{n}.