尼斯的靈魂

翻譯文:論三位一體作為三維拓樸流形

新教宗是數學系畢業的，因此網路上有人不曉得是出於敬仰還是惡搞，以他的名義發表了一篇假論文，標題還寫得超拉丁味，叫《De Trinitate Sancta ut Varietate Topologica Trium Dimensionum》——翻成中文大概是《論聖三位一體作為三維拓樸流形》，看起來像是某本《神學大全》的失落卷軸。

原文連結:https://jabde.com/2025/05/11/de-trinitate-sancta-ut-varietate-topologica-trium-dimensionum-on-the-holy-trinity-as-a-3-dimensional-topological-manifold/

以下為原文翻譯文:

教宗利奧十四世（Pope Leo XIV）與B. McGraw

教宗大人（Da Pope）

蔓越莓檸檬大學數學神學拓撲學派（Topological School of Mathematical Divinity, Cranberry-Lemon University, Pittsburgh, PA, USA）

摘要

在我開始這篇論文之前，讓我們先來禱告。神是良善的。神是偉大的。願我們感謝 Perelman 的證明——太偉大了。阿們，Go Bears（加油，熊隊）！好了，我現在是教宗了，我們終於要來用拓撲空間來定義「三位一體」了。

神是很多東西：祂是愛、是良善、是公義，這些祂都有——而且跟祂的兒子耶穌還有聖靈，是完全一樣的。那怎麼可能既是一又是三，而且三個又是同一個？我來告訴你，這叫作三維流形（3-Manifold）。聽好了，這是一個很聰明的方式，可以用來定義我們這個正曲率或平坦曲率的時空宇宙。

你、我、你阿姨——我們都是二維流形上的球面（2-sphere），除了我表妹桃樂絲，她穿太多耳洞了。老實說，那女孩大概是一個四重環面（quadruple torus），洞太多了可能連這都不夠形容。這我們等會再談。

至於神、聖子、聖靈？祂們是一個三維流形，稱作三維球面（3-sphere）。夠驚人吧？對。現在我們就來把這理論形式化，並用 Ricci 流，把聖經裡的拓撲空間整合成一個美麗的三維球面。

關鍵詞：三位一體、拓撲學、三維流形、神學、數學教宗、三維球面、時空-上帝-曲率、Ricci 流

一、導言

自從一千多年前的西爾維斯特二世教宗以來，就再也沒有數學教宗啦，對吧？他當年可是把阿拉伯數字還有那玩意兒——算盤——引進來的。我阿嬤以前還真的有一個那種東西呢。

自從我們那位老西爾維斯特哥之後，這一千年間發生了不少事。現在輪到我啦。我可是熬了無數個不眠之夜，在維拉諾瓦大學學數學（對，就學這個），心裡懷著一個夢想——希望有朝一日能當上教宗。而現在讓我告訴你，我們準備要給所有神學概念一個形式定義！

那我要從哪裡開始呢？當然要從最大條的那位開始——三位一體，尼西亞信經裡頭最核心的那一位，我們的「頭號大咖」！

2. 背景說明

首先，我得先叫大家停一停。不，我們沒辦法完全定義上帝。老實說，我甚至不覺得你能夠「近似」祂。祂太龐大了，就像那個1985年美式足球隊的大塊頭前鋒一樣——你數字都會不夠用！我說的是那種肩膀寬得跟冰箱一樣的存在！

上帝是無限的，真的，祂的三個面向每一個都無限：聖父、聖子、聖靈。

2.1 三位一體

好，想要搞懂三位一體，你就得明白這就是三個面向：聖父、聖子、聖靈。我在圖一幫你畫了一張實用的示意圖。現在，這東西超容易搞錯的喔 [1]。

上帝可不只是用不同的方式顯現自己而已。那種講法叫做形態論（Modalism） [2]。

有些人可能會想說：「欸你這傢伙，先有聖父、然後來個聖子、最後出現聖靈，不就三個時期嘛？」拜託你別裝懂了——那叫亞流主義（Arianism） [3]！

我說過了，三個位格是永恆同時存在的！

拜託別讓我開始罵那些認為祂們彼此獨立的人，那種想法叫三神論（Tritheism），身為天主教的領袖我得告訴你：完全錯了！ [4]

然後又有人說什麼三個只是上帝的「部分」——欸嘿，那又是另一種錯法，叫做部分論（Partialism） [5]，也不是這樣！

這東西確實夠複雜的，但我們就得接受這樣的複雜。我是說……用年輕人現在的說法來講，上帝祂可能就是個「They/Them」吧。

2.2 上帝的無所不知（Gahd’s Omniscience）

講到三位一體和那些偉大的「全能系列」（Omni’s），沒人能像我老兄約翰那樣說得這麼絕。

「1 起初有道，道與上帝同在，道就是上帝，懂不？2 他從一開始就跟上帝一起——真的，就是開天闢地那刻！3 藉著他，萬物都被造出來了——每一樣東西都算，沒他？想都別想——連個像樣的東西都造不出來。4 在他裡頭有生命，讓我告訴你，這生命？是人類的光，就連綠灣那些傢伙也算。5 光照在黑暗裡，而黑暗呢？嘿，它試過，但從來沒辦法勝過。就像1985年熊隊的防守線——無懈可擊！」
——約翰福音 1:1–5，芝加哥新譯本（NCV, New Chicago Version）

尤其啊，當我在跟那些亞流派（Arians）的人辯的時候，我會直接說：聖子從來沒有不存在的時候。每一位格都一直都在。而你要是那種傢伙，說什麼聖靈直到五旬節那晚才出現，讓我給你上一課：

「那時候地球還一團亂——沒形狀、沒內容，空蕩蕩的，就像二月的密西根湖。黑暗籠罩深淵，而上帝的靈呢？祂在水面上飛啊飛——靜靜地懸著，像在打量一切。然後上帝說：『要有光！』然後 BAM——就有光了，亮得跟哈拉斯訓練中心媒體日一樣！」
——創世記 1:2–3，芝加哥新譯本（NCV）

看到沒？聖靈早就一直都在，從來沒有不在過。

2.3 龐加萊猜想（Poincaré’s Conjecture）

好，來講正事。我們現在都活在 ℝ³ 裡，這點大家都知道。對吧？那上帝住在哪種空間我們不確定，不過可以肯定的是，祂至少在 ℝ³ 裡跟我們有互動。

我自己是這樣相信的——雖然我們不確定上帝是不是三維球面（3-sphere），但如果祂是整個宇宙的總和，那麼祂就很可能就是個 3-球面，也就是我們說的 S³ [6]。

那為什麼我這麼說？來，根據一位法國哥兒們龐加萊（Poincaré）的說法：任何封閉的、連通的三維拓撲流形，只要其基本群是平凡的（trivial fundamental group），那它就與 S³ 拓撲等價（homeomorphic）。BOOM，給你個大招！

不只如此——我們的好朋友 Richard Hamilton 發展了 Ricci 流（Ricci flow）的方法來解這個問題。接著呢，Perelman 在二十幾年前把這個猜想徹底證明啦 [7]。Touchdown！我們就有了可以用來對映三位一體的數學架構！

你看看圖二，那每個 S³ 就像一串波蘭香腸（Polish sausages），每段之間在收口綁結的地方就是拓撲奇點（singularities）——這些點彼此連接，把整個宇宙和上帝給串起來！

3. 形式化定義（Formalization）

我們設想一個「上帝流形」（Gahd-Manifold，簡記為 G-M），這是一個廣大、緊緻、連通且可定向的三維流形（3-manifold），使得

$\mathcal{G}\sim S^{3}.$

儘管有些不被正典承認的經文可能提出不同看法，我們仍假設此 Gahd-流形配備有一個隨時間變化的黎曼度量 $g(t)$ ，其演化遵循 Ricci 流（Ricci flow）：

$\displaystyle\frac{\partial g}{\partial t}=-2\mbox{Ric}(g(t)).$

隨著 Ricci 流在我們人類對上帝的理解中持續演化，我們對幾何的理解也同步改變。這流常常會產生奇異點——就像上帝向人顯現時那樣：比如在燃燒的荊棘裡顯現，或者當祂突然靈活起來去跟雅各摔跤。身為教宗，我們這行的人有個詞來形容這些情況，叫作神顯（Theophany）。

我們推測這些神顯奇異點（Theophany-Singularities，簡稱 TS），其實發生得超級頻繁啦！不管是聖靈對你們說話，還是我自己在讀經中冥想得到感動——我跟你說，我根本躲不掉這些 TS！

我們讓時間 $t\to\infty$ ，然後用 Hamilton 式的張量方法（Hamilton-style tensor）讓那些奇異點自然展開。我以前當樞機主教的時候，說這種「奇異點」的說法可能會被糾正，但現在我當上教宗了，我可以直接告訴你：所有的神祕經驗和神顯事件，其實都可以看作是 Ricci 流中的奇異點。

不管這個 TS 是被證實的，還是據說的——像是我那個遠房小表弟一直發誓說有一道光帶他走出 Dan Ryan 高速公路的車流……欸，兄弟，我們愛你，但我真不覺得那是 TS 啦。

是啦，TS 是有可能會發生的，但你千萬別跟我說那背後的神性本體（Godhead）在各維度裡不是"拓撲不變（topologically invariant)"的，那我可就不客氣了。

4. 受難分析（Crucifixion Analysis）

我就算不是什麼數學教宗，也能告訴你：整個歷史中最驚天動地的神顯奇異點（Theophany Singularity），就是發生在十字架受難的那一刻。

在那極大的愛中，聖子被釘上十字架，雙手雙腳都被刺穿。在整個靈性歷史中——至少就我這教宗能從教廷機密檔案室裡公開、而不會被暗殺的部分來看——上帝一直都是個球形體（spheroid）。

但就在十字架的那一刻，上帝，尤其是聖子，不再是一個球形流形（spherical manifold），而是變成了一個四重環面（quadruple torus）。

在那一刻，耶穌的本體可由"四個球面（sphere）的叉積（Cross product）"來定義，如下方的方程式所示。

耶穌的四環球面 $S^{1}\dagger S^{1}\dagger S^{1}\dagger S^{1}$

在那一刻，祂已經"不再與聖父同胚（homeomorphic)"了——而那可不是你會想待的狀態。

5. 討論（Discussion）

這裡要講的事情實在太多了。幾百年來我們都沒更新過「三位一體」的理解了。你們大概有很多疑問，但我想下面這幾個，是最值得關注的。

5.1 上帝是正曲率？負曲率？還是平坦？

我跟你說，我剛參加完西斯汀禮拜堂的教宗選舉，那地方的上帝形象，曲線真美啊！米開朗基羅真的是畫神當中的神。老實說，我很想就這樣結束這個問題，但我不能。

照我們的提案，如果上帝是個三維球面（3-sphere），那祂應該是正曲率的。可是我們真的知道嗎？根據 Planck 天文觀測的研究 [9]，可觀測宇宙其實是平坦的，在誤差範圍內幾乎沒有曲率。

那問題來了——如果宇宙就像鬆餅一樣平，那上帝要怎麼比宇宙還大？

「7 那……我到底能逃去哪裡，躲開祢的靈？我哪裡逃得開祢的面？
8 我飛上天？BOOM——祢早就到了。我跑到最深的地底？祢也在那裡。
9 我搭晨曦快車，或飛到東邊海的那一頭……
10 不管哪裡，祢的手總會引導我，祢的右手緊緊抓住我，就像老媽坐捷運時緊抓她的皮包一樣。」

——詩篇 139:7–10（芝加哥新譯本 NCV）

這段經文其實暗示了正曲率的上帝：你越想逃離祂，祂就又出現在你前面，像個巨大馬鈴薯（giant potato）一樣圓回來。

不過這還是沒解決問題：我們現在住的這個宇宙，是不是其實只是上帝那個「大致平坦中心」的一小塊吐司邊？還是那些搞科學的人根本測錯了，以為宇宙是平的？我不知道。

5.2 耶穌的四重環面型態有何意義？

我們的標誌是十字架，這是有原因的。當耶穌為你們的罪犧牲時，正中午突然天黑，就像暴風雪來襲。他大喊：

「Eli, Eli, lema sabachthani？」（這大概意思是「我的上帝、我的上帝，你到底在哪？」）——馬太福音 27:46

有些人說那時他是在叫以利亞。但現在我們知道，他在呼喚的是上帝本身！因為後來有復活，還有我們對經文的詮釋嘛。

但問題來了——如果耶穌當下就在跟上帝「分離」，那祂怎麼能呼喚祂自己呢？

我認為，因為那時祂在十字架上、雙手雙腳有洞，祂的本體拓撲結構已經改變了。祂已經"不再與聖父與聖靈同胚（homomorphic）"了。也許那一刻，祂真的在拓撲意義上被「分開」了。

5.3 上帝是一個四維流形嗎？

我從開始寫這篇論文後就一直被問這個問題。我們怎麼知道上帝是三維流形，不是四維甚至更高？

老實說，我覺得我們不能確定。但我也認為，只要我們還活在這個三維的現實中，三維流形就夠用了。也許上帝活在完全不同的維度裡，我們不知道。但我相信，最低限度，祂是三維流形，這樣的數學架構能成立。

也許我們該啟動教廷的超級電腦、跑跑 Hamilton 的張量流，試試看 S⁴ 是什麼樣子？說不定有搞頭。

不過老實說，要是我們一講 S⁴，就會有人問：「那為什麼不上 S⁵ 呢？還有 S⁶？……」然後咧，我整個教宗任期就會被這個問題耗光了，而且還會把大家的十一奉獻全花光在 AWS 的雲端計算上！

你知道嘛，你不會在熱狗上亂加番茄醬。它已經很完美了。做好就收工！

正式教宗詔令：這問題，讓下任教宗去煩惱吧。在那之前，這都算異端。[10]

6. 結論（Conclusion）

我認為，藉由 Ricci 流的幾何演化，加上上帝作為三維流形（3-manifold）的模型，我們基本上把所有會遇到的"神顯奇異點（Theophany-Singularities）"都包起來了。

當然啦，我們對上帝的曲率啦、十字架到底發生什麼事啦、還需不需要再多加幾個維度啦，還是有很多問題。但整體來說，我認為我們這回算是掌握得不錯。

畢竟，我現在是數學教宗（Math Pope），我說的話就是教義。[11]

參考文獻（References）

Pope Leo XIV 2025. Diagramma Trinitatis Omnium Priorum Destruens: The Trinity Diagram That Destroys All Others. Official Papal Decree.
Pope Leo XIV 2025. Modi Sunt Falsi: Deus Est Aeternus: Modes Are Lies: God Is Eternal. Official Papal Decree.
Pope Leo XIV 2025. New Trinity Diagram. Official Papal Decree.
Pope Leo XIV 2025. Filius Non Est Startup Divinitatis: The Son Is Not a Divine Startup. Official Papal Decree.
Pope Leo XIV 2025. Unum Substantia, Tres Non Corporati Socii: One Substance, Not Three Divine Bros. Official Papal Decree.
Pope Leo XIV 2025. Trinitas: Non Est Pizza, Noli Dividere: The Trinity Is Not Pizza, Do Not Divide It. Official Papal Decree.
Pope Leo XIV 2025. Perelman Probavit, Papa Confirmavit: Perelman Proved It, the Pope Confirmed It. Official Papal Decree.
Terence Tao 2006. Perelman’s Proof of the Poincaré Conjecture: A Nonlinear PDE Perspective.
Planck Collaboration: N. Aghanim et al. 2018. Planck 2018 Results. VI. Cosmological Parameters.
Pope Leo XIV 2025. Manifoldus Dimensiones Ultra Tertiam Sunt Damnandae: Manifold Dimensions Beyond the Third are to be Condemned. Official Papal Decree.
Pope Leo XIV 2025. Papa Mathematicus, Vox Infinitatis: The Math Pope: The Voice of Infinity. Official Papal Decree.

聖經和合本經文補充:

約翰福音1:1-5:太初有道，道與神同在，道就是神。這道太初與神同在。萬物是藉著他造的；凡被造的，沒有一樣不是藉著他造的。生命在他裡頭，這生命就是人的光。光照在黑暗裡，黑暗卻不接受光。

翻譯:一開始就有「道」，「道」與上帝同在，「道」本身就是上帝。這位「道」從起初就與上帝在一起。萬物都是藉著他創造的，世界上所有受造之物，沒有一樣不是經由他而造。在他裡面有生命，這生命成為人類的光。這光照耀在黑暗中，但黑暗無法勝過它，也無法接納它。

創世紀:1:2-3:地是空虛混沌，淵面黑暗。神的靈運行在水面上。神說：「要有光」，就有了光。

翻譯:那時，大地一片空虛混亂，深淵之上籠罩著黑暗。上帝的靈在水面上運行。上帝說：「要有光！」於是光就出現了。

詩篇139:7-10:我往那裡去躲避你的靈？我往那裡逃躲避你的面？我若升到天上，你在那裡；我若在陰間下榻，你也在那裡。我若展開清晨的翅膀，飛到海極居住，就是在那裡，你的手必引導我；你的右手也必扶持我。

翻譯:我能逃到哪裡去，躲開你的靈呢？我能躲到哪裡去，不被你的面找到呢？就算我飛升到天上，你在那裡；即使我躺在陰間，你也在那裡。若我乘著清晨的翅膀，飛到最遙遠的海邊居住，在那裡，你的手仍會引導我，你的右手也必扶持我。

馬太福音 27:46:約在申初，耶穌大聲喊著說：「以利，以利，拉馬撒巴各大尼？」就是說：「我的神，我的神，為什麼離棄我？」

翻譯:大約在下午三點，耶穌大聲喊說：「以利，以利，拉馬撒巴各大尼？」意思是：「我的上帝，我的上帝，你為什麼離棄我？」

向量三重積的簡易證明

假設 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{b}$ 為 $\mathbb{R}^{3}$ 中的向量，本篇文章將證明下列等式：

$(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{a}=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a}.$

若 $\mathbf{a}$ 或 $\mathbf{b}$ 其中之一為零向量，則上述等式顯然成立。若 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{b}$ 互相平行，也可直接驗證此等式成立。因此，在不失一般性的情況下，我們假設 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{b}$ 為非零向量且不互相平行。

由於 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{b}$ 不互相平行，我們可以構造出兩個互相垂直的向量：取 $\mathbf{e}_{1}=\mathbf{a}$ ，且

$\displaystyle\mathbf{e}_{2}=\mathbf{b}-\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\mathbf{a}.$

由於 $\mathbf{e}_{1}\cdot\mathbf{e}_{2}=0$ ，可知 $\mathbf{e}_{1}\perp\mathbf{e}_{2}$ 。再取 $\mathbf{e}_{3}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ ，利用外積的性質 $\mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}$ ，可得

$\mathbf{e}_{1}\times\mathbf{e}_{2}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{e}_{3}.$

因此，原本欲計算的 $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{a}$ 等於 $\mathbf{e}_{3}\times\mathbf{e}_{1}$ 。由於 $\mathbf{e}_{1}$ 、 $\mathbf{e}_{2}$ 、 $\mathbf{e}_{3}$ 兩兩互相垂直，可知 ${\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}}$ 構成 $\mathbb{R}^{3}$ 的一組正交基底，因此

$\mathbf{e}_{3}\times\mathbf{e}_{1}=\lambda\mathbf{e}_{1}+\mu\mathbf{e}_{2}+\nu\mathbf{e}_{3}.$

又因 $\mathbf{e}_{3}\times\mathbf{e}_{1}$ 分別與 $\mathbf{e}_{1}$ 及 $\mathbf{e}_{3}$ 垂直，可得 $\lambda=\nu=0$ ，因此

$\mathbf{e}_{3}\times\mathbf{e}_{1}=\mu\mathbf{e}_{2}.$

兩邊同時取長度，並利用 $\mathbf{e}_{1}\perp\mathbf{e}_{3}$ 可知：

$\displaystyle |\mathbf{e}_{3}\times\mathbf{e}_{1}|=|\mathbf{e}_{3}||\mathbf{e}_{1}|,$

因此

$\displaystyle|\mu|=\frac{|\mathbf{e}_{3}\times\mathbf{e}_{1}|}{|\mathbf{e}_{2}|}=\frac{|\mathbf{e}_{3}||\mathbf{e}{1}|}{|\mathbf{e}_{2}|}.$

接著計算 $\mathbf{e}_{2}$ 與 $\mathbf{e}_{3}$ 的長度：

$|\mathbf{e}_{3}|^{2}=\mathbf{e}_{3}\cdot\mathbf{e}_{3}=|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^{2},$

$\displaystyle|\mathbf{e}_{2}|^{2}=\mathbf{e}_{2}\cdot\mathbf{e}_{2}=|\mathbf{b}|^{2}-2\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^{2}}{|\mathbf{a}|^{2}}+\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^{2}}{|\mathbf{a}|^{4}}|\mathbf{a}|^{2}=\frac{|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^{2}}{|\mathbf{a}|^{2}}.$

由此可得

$|\mu|=|\mathbf{a}|^{2},$

因此 $\mu=\pm (\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})$ 。

綜合上述，得到

$\mathbf{e}_{3}\times\mathbf{e}_{1}=\pm ((\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a}),$

亦即

$(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{a}=\pm ((\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a}).$

最後，取具體例子驗證符號：設 $\mathbf{a}=\langle 1,0,0\rangle$ ， $\mathbf{b}=\langle 0,1,0\rangle$ ，代入計算後可知上述等式中應取正號，從而完成證明。

《微分幾何史概述 II》黎曼

翻譯自Outline of a History of Differential Geometry (II)
Author(s): D.J. Struik
Source: Isis , Nov., 1933, Vol. 20, No. 1 (Nov., 1933), pp. 161-191

在法國以外，對微分幾何的興趣多於主動性。在英國，微分幾何的興趣只有在牛頓（Newton）的化石化追隨者被了解萊布尼茨（Leibniz）方法的年輕人取代後才得以喚醒。這一復興由查爾斯·巴貝奇（Charles Babbage）及其朋友於1811年發起。但直到《劍橋數學期刊》（Cambridge Mathematical Journal，1837年）的出版，微分幾何才開始被研究，該期刊很快變成《劍橋與都柏林數學期刊》（The Cambridge and Dublin Mathematical Journal，1846年），其中幾何和分析被以歐陸風格加以推廣。然而，微分幾何主要以圓錐曲線和二次曲面理論的一部分出現。該期刊的作者包括 D. F. 格雷戈里（D. F. Gregory）、W. 沃爾頓（W. Walton）、A. 凱萊（A. Cayley）和 W. 湯姆森（W. Thomson）。格雷戈里（1813–1844）英年早逝，留下了一本由沃爾頓於1845年編輯的《分析在立體幾何中的應用論》（Treatise on the application of analysis to solid geometry），其中即使在術語上也顯示出法國的影響。格雷戈里的重要性體現在他的朋友們為他出版了他的全集。這股新生機的中心位於劍橋和都柏林，在都柏林，我們看到威廉·漢密爾頓（W. R. Hamilton，1805–1865）是領軍人物，他在1828年至1837年間發表了四篇關於光線系統的論文，延續了蒙日（Monge）和馬盧斯（Malus）的工作，並導致了他在偏微分方程方面的基本定理（27）。他還在他的四元數講座中提出了曲線和曲面理論，該講座於1853年和1866年出版（28）。它們包含了完整的曲線和曲面理論，並有許多新成果。例如，他研究了與弧長相關的五階空間曲線元素。

他的學術圈包括約翰·托馬斯·格雷夫斯（John Thomas Graves，1806–1870），他是倫敦的法律教授，在都柏林學習數學，以及雙胞胎兄弟邁克爾（Michael，1817–1882）和威廉·羅伯茨（William Roberts，1817–1883），他們在都柏林擔任數學教授，並對微分幾何有所貢獻。在橢球上共焦曲線理論中，有一個定理以格雷夫斯的名字命名。這一都柏林中心還誕生了著名的神學家兼數學家喬治·薩爾蒙（George Salmon，1819–1904）的教科書，例如《高等平面曲線》（Higher plane curves，1852年）和《三維解析幾何》（Analytic geometry of three dimensions，1862年），這些書在很大程度上探討了分析在幾何中的應用。

雖然英國在我們的領域中創造性工作較少，但在一段時間內其教科書領先。四十年代，我們在德國只找到弗朗茨·約阿希姆斯塔爾（F. Joachimsthal）的作品，這位研究者理解了法國和德國的大師。在意大利，波爾多尼（Bordoni）和切里尼（Chelini）是優秀的微分幾何教師，但他們的學生才是首先做出一流成果的人。甚至在法國，五十年代也產生了少量具有突出價值的工作（29）。一股新的動力仍然需要出現。

這股新的動力再次來自德國，且再次來自哥廷根（Göttingen）。1854年，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826–1866）在這個小鎮上發表了「關於作為幾何學基礎的假設」的演講，以滿足「講師資格」（Dozentur）的要求。高斯在觀眾之中。該論文直到1867年才被印刷發表（30），但其出版引發的影響一直持續至今。

黎曼演講中的實際數學內容可以簡單概述。他發展了一般 n-維流形的概念，並將其引入到拓撲學的意義中，並在其中引入了二次線元素 $ds^2$ 。他描述了如何測量此類流形的曲率，並專門研究常曲率的流形。通過這種方式，歐幾里得幾何和博利亞（Bolyai）的非歐幾里得幾何都可以作為一般「黎曼幾何」的特例來獲得。由於這兩個特例分別由零和負常數曲率表示，因此問題自然產生，即關於具有正常曲率的流形，這便是「黎曼非歐幾里得空間」。高斯對曲面的內在性質的研究涵蓋了黎曼的特例 n=2。

然而，黎曼工作的重要意義遠不僅僅是其產生的純數學結構。或許，我們可以將蒙日（Monge）與黎曼作比較來最好地理解這一點。蒙日研究普通空間中的曲面。對他而言，這個空間是一個給定的存在，無需討論。空間是給定的，幾何學家的任務如同木匠的工作：他在這個空間中操作物體並進行研究。曲面和空間之間有著明確的分隔，因為剛體和空間之間存在這樣的分隔。在這方面，蒙日代表了18世紀具有明確定義概念的形而上學唯物主義。

黎曼不僅問剛體在空間中如何行為，還問剛體如何影響空間。空間不再是蒙日所認為的無需討論的給定存在，而是一個與物體本身一樣需要科學研究的實體。從黎曼開始，辯證唯物主義逐漸取代了幾何學基礎中的形而上學唯物主義。空間作用於物體，物體影響空間。最初的「直觀」（Anschauung）中可能存在一個未定義的空間概念，但只有通過經驗才能將投影關係、度量關係，甚至是拓撲關係等性質投射進空間，使其成為我們幾何學和物理學的空間。

從蒙日的抽象空間，即描述彼此有限距離的物體之間的關係，我們過渡到黎曼所提供的「場」空間理論。法拉第（Faraday）和麥克斯韋（Maxwell）在電場領域上也採取了同樣的步驟（正如威爾（Weyl）所述）（31）。在科學的其他分支中，類似的步驟也在同時進行，為從18世紀科學的形而上學分類轉向現代概念打開了通道。相同的辯證方法特徵也體現在萊爾（Lyell）的地質學、達爾文（Darwin）的生物學以及馬克思（Marx）的社會學中。從黎曼到愛因斯坦僅一步之遙——然而這一步需要等待六十年才能邁出。

黎曼在論文的最後實際上提出了通過物理質量來確定空間度量的可能性。這令人震驚，彷彿是一種幾乎超人般的預見，因為黎曼在電學和引力方面的實際研究依然沿用經典方法。

黎曼在他的演講中僅寫下了少量公式。他在1861年一篇關於圓柱上電荷分布的論文中，有機會數學地實現了一些想法（32）。在此，他需要研究將偏微分方程

$\frac{\partial}{\partial x} \left( a_{11} \frac{\partial u}{\partial x_1} + a_{12} \frac{\partial u}{\partial x_2} + a_{13} \frac{\partial u}{\partial x_3} \right) +\frac{\partial}{\partial x_2} \left( a_{21} \frac{\partial u}{\partial x_1} + a_{22} \frac{\partial u}{\partial x_2} + a_{23} \frac{\partial u}{\partial x_3} \right) +\frac{\partial}{\partial x_3} \left( a_{31} \frac{\partial u}{\partial x_1} + a_{32} \frac{\partial u}{\partial x_2} + a_{33} \frac{\partial u}{\partial x_3} \right) = 0$

其中 $a_{ik}$ 作為 $x_i$ 的函數，以最簡形式呈現的問題。對於一般的 n 個 $x_i$ ，這個問題等同於將二次微分形式 $\sum a_{ij} dx_i dx_j$ 簡化為 n 個平方和的問題。黎曼找到了這種形式能夠簡化為平方和的必要和充分條件，即四指標符號的消失：

$R_{ijkl}= 0$

因此，我們得到了黎曼幾何的主要伴隨物。

然而，僅僅提及他在空間問題上的工作，還是低估了黎曼對微分幾何的影響。他在函數論方面的工作開創了解決幾何問題的新方法，例如施瓦茨（Schwarz）在極小曲面上的後續研究就體現了這一點。黎曼引入的流形連通性在後來的大範圍微分幾何中扮演了重要角色。

同時，或更確切地說，幾乎同時，有另一項研究出現，這是關於 (n) 維幾何的，且從完全不同的角度進行。這是格拉斯曼（Grassmann）的《外延論》（Ausdehnungslehre）。赫爾曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann，1809–1877），一位在什切青的中學教師（Gymnasiallehrer），在1844年首次編寫了這本著作，但幾乎完全無人知曉。因此，他將其徹底重寫，並於1862年再次出版。在這裡，我們發現了對初等歐幾里得（及仿射）(n) 維幾何的精彩處理，形式上是「外延量」的點和向量計算（一種遠非初等的形式計算），這是一種在仿射群下保持不變且部分在旋轉群下不變的直接一致計算。這本書不僅影響了微分幾何，因為它激勵了其他幾何學家將他們的研究擴展到更多維度，同時也通過格拉斯曼自身對帕夫（Pfaff）問題的直接應用，使這一問題首次呈現出幾何形式。

黎曼無疑是多維微分幾何的創始人，而格拉斯曼則是引入符號方法來研究這一幾何學的先驅。在這裡，格拉斯曼的工作得到了漢密爾頓（Hamilton）在四元數方面工作的補充。漢密爾頓也引入了一種符號方法，其中的向量積、純量積和 (\nabla) 算符被用於現代微分幾何的處理。微分幾何的不變性特徵，明確地表達於高斯和柳維爾學派，現在在這裡獲得了形式表達，這可以從拉梅的微分參數輕鬆融入漢密爾頓方案中立即看出。然而，漢密爾頓並沒有「外延論」（Ausdehnungslehre）。

黎曼和格拉斯曼共同構成了一個人類知識發展方式的典範，其中一個心智本質上具辯證特質，突破障礙並發現新的關係；而另一個則更形式化地運作，通過嚴格甚至僵化的方法構建新的符號體系，以重新控制這一領域。這再次揭示了萊布尼茨的偉大，至少在這方面，他結合了黎曼和格拉斯曼的優點。

未完待續…..