學數學，需要經歷思考的掙扎

我會建議學生在學數學的時候，不要過度依賴AI解題。因為在思考解題的過程中，往往需要經歷一段掙扎。我們必須試著去發掘，自己到底是哪個地方沒想清楚、沒看清楚，或是對某個觀念還沒有真正理解。很多時候，問題就卡在一些看似不起眼的細節，而那些細節，往往正是連接不同觀念的地方。

我認為，判斷對錯也是學習數學很重要的能力。如果認為一個敘述是正確的，就應該能夠給出證明；如果認為它是錯誤的，就要能夠提出反例。這也是為什麼我很重視是非題，因為是非題其實很能鑑別學生是否真正理解所學的觀念。當然，重點不是猜對答案，而是能不能說明判斷的理由。

這麼一來，數學的學習自然需要耗費很多時間。有時候，我們花了很長的時間思考一道題目，最後只是發現自己原先有個地方沒想清楚。但這個過程並不是白費功夫，因為當我們真正看清楚問題所在，往往就能迎刃而解。

某種程度上來說，過度追求快速解題，的確有可能扼殺人的創造性。尤其當自己正在努力思考一個問題，答案卻突然被AI給解出來，這的確會讓人感到沮喪。問題不在於AI能不能解題，而是當我們還沒有充分思考，就已經取得答案時，可能也失去了訓練自己思考的機會。

在數學研究上，我們通常會透過閱讀前人或相關的研究，去理解別人的解題思路。不過，有時候讀了太多別人的想法，反而可能被別人的思路限制住。因此，閱讀別人的工作與自己獨立思考之間的分寸，其實需要好好拿捏。

通常研究卡關的時候，就會想去讀點別人的做法。有時候，讀到某個結果，覺得似乎跟自己正在研究的問題有些關聯，於是就試著去找出其中的聯繫。這個過程其實蠻掙扎，也很辛苦。有時候看似有關，仔細研究後才發現不是那麼一回事；有時候則是花了很長的時間，才終於弄清楚兩者之間的關係。而這些過程，往往也是產生新想法的地方。

如果只是為了節省時間，讓AI直接幫助我們思考、提供解題思路，可能就少了這種掙扎的訓練。當然，我並不是認為所有問題都必須從頭摸索，而是不能太早把原本應該由自己完成的思考交給AI。

星期四上課的時候，我跟學生說：「不用著急學很多東西，然後看答案。要把一個內容好好地想清楚，細節證明清楚，你就真的能弄懂它。」

所以，作為一個數學系的學生，我認為可以利用AI來查找文獻、參考資料，但不要過度把它當成解題工具。AI可以幫助學習的地方，例如遇到比較抽象的概念時，可以請它舉一些具體的例子。畢竟，抽象的概念還是需要透過例子來幫助理解。不過，即使是AI舉出的例子，也不能照單全收，還是要自己回到定義，驗證那個例子是不是真的符合條件。這本身也是一種很好的數學訓練。

我覺得，學數學時經歷思考上的掙扎，是再自然不過的事情。這不表示自己不夠聰明，也不代表沒有進步。有時候，真正的進步並不是多解了幾道題目，而是終於弄懂了一個原本不清楚的觀念。

我曾經跟兒子說：「為了解這一題，我已經掙扎了六、七年，進展實在是很緩慢。」

不過，我想，等到有一天終於把問題看清楚，真正解決的時候，那種成就感是難以言喻的。

這也是我一直覺得，解數學很有樂趣的地方。

AI世代為什麼數學反而重要？

我個人其實很看好數學系在 AI 世代的重要性。

數學系真正訓練的，不只是計算，更重要的是「邏輯」與「推理」。我們透過證明，去理解一件事情為什麼是對的，也學習怎麼一步一步判斷一個推論有沒有問題。

如果學數學只是把證明背起來，那其實沒有得到數學系真正要給你的訓練。證明不是要你記住一串步驟，而是要你知道，每一步為什麼可以這樣做。

計算當然也需要教。但我覺得真正要教的，不只是這一題怎麼算，而是這個計算怎麼來的，為什麼可以這樣算，以及算出來之後，它可以告訴你什麼。

其實數學訓練裡還有一件很重要的事情，就是對「條件」很敏感。一個定理成立，需要哪些假設？少了一個條件還會不會成立？有沒有反例？這些事情在學數學的過程中，一直都在訓練。

也因此，我反而覺得有了 AI 之後，這些能力會更重要。

AI 現在可以很快幫你算，也可以幫你寫證明、整理資料，甚至給你一個看起來很完整的答案。但問題是，它給你的東西不一定是對的。有時候錯得很明顯，有時候則是錯得很漂亮。

所以真正重要的是，你有沒有能力判斷它哪裡對、哪裡不對，它用了什麼假設，中間有沒有少掉什麼，以及最後的結論究竟在什麼條件下成立。

從這個角度來看，我覺得證明訓練其實就是在學一件事情：「我為什麼知道這個結論是對的？」

這件事情在 AI 世代反而會愈來愈重要。

另外，數學還有一個很重要的訓練，就是把一個複雜的問題整理清楚。有些問題真正困難的地方，不是算不出來，而是你還沒有把問題想清楚。哪些東西是重要的？哪些可以先忽略？彼此之間是什麼關係？怎麼把問題轉換成一個比較清楚的數學結構？

AI 當然也可以幫忙整理問題，甚至提出問題。但最後你仍然需要判斷，它整理出來的究竟是不是你真正想問的問題。

所以我不太認為 AI 會讓數學系變得不重要。相反地，當計算、查資料、產生答案都變得愈來愈容易之後，真正重要的能力反而會變成：你能不能提出好的問題、理解答案、判斷答案，知道它在什麼條件下成立，並且知道它為什麼是對的。

AI 可以幫你算，也可以幫你找答案。

但是最後，你還是要有能力問一句：

「這真的對嗎？」

我覺得這就是數學系很重要的訓練。

從微積分走進微分幾何——介紹《An Introduction to Differential Geometry with Applications to Machine Learning》

《An Introduction to Differential Geometry with Applications to Machine Learning》源自我在成大開設的模組化課程《微分幾何初步》。這本書最初是為這門課編寫的講義與習題，後來經過多次授課、整理與擴充，逐漸發展成一套較為完整的微分幾何入門教材。

《微分幾何初步》是一門密集的模組化課程，主要目的是讓只具備微積分與線性代數背景的學生，也能走進微分幾何的世界。課程並不是從抽象的流形定義開始，而是先從學生比較熟悉的幾何問題出發：什麼是曲線？如何度量曲線的彎曲？如何描述曲面？曲面上曲線的長度、曲面的面積，以及曲面上兩點之間的距離，應該如何測量？在曲面上，連接兩點最自然的路徑是什麼？又要如何用數學刻畫一個曲面的彎曲程度？

我先從幾何學的發展歷史談起，讓同學了解微分幾何的來源。我從同學在中學階段所熟悉的平面幾何公設開始，引導他們思考：三角形的內角和是否一定是 180 度？再由這個問題逐步引入非歐幾里得幾何。笛卡兒引入坐標後，解析幾何隨之誕生，數學家開始利用代數式與方程式描述幾何物件。接著，我再從微積分中的函數圖形出發，引入歐氏空間中的光滑子流形，進而走向微分流形的概念。這樣的安排，是希望讓同學看見微分幾何如何從古典幾何、解析幾何與微積分一步一步自然發展出來。

本書的書名雖然提到機器學習，但機器學習並不是本書的主體。本書也不是一本專門介紹流形學習或幾何深度學習的教材。在教材中加入這些應用，是希望讓學生看見：微分幾何不只是一門古典理論，它所研究的方向、距離、曲率、投影、測地線與擴散，也會自然地出現在現代資料分析與機器學習之中。有興趣的讀者，可以再根據書中的參考資料與延伸閱讀，繼續進入相關領域。我希望學生不只是知道「幾何可以應用」，而是真正看見幾何如何進入一個模型，也能理解模型背後的假設可能在哪些情況下失效。

在教材設計上，每一章都安排了學習重點、概念說明、例題、課堂練習、章末摘要、複習題與 Transfer Check。書末另外安排了數學與機器學習之間的背景橋接、精選解答、十五個應用專題、五個計算實驗、綜合整理與延伸閱讀。學生可以沿著完整的數學主線閱讀，也可以依照自己的興趣，選擇幾何計算、資料分析或機器學習的應用路線。

這本書保留了《微分幾何初步》這門課原有的精神：從學生能夠理解的問題開始，逐步引入必要的定義與計算，再回到這些概念背後的幾何意義。課堂講義中的說明、例題與習題，經過多次授課與反覆整理後，形成了今天的章節架構；後來加入的機器學習應用，則進一步說明這些幾何觀念如何出現在現代問題之中。

這本書也反映了我對數學教學的一個基本看法：學生不應只學會如何完成計算，也應理解一個定義為什麼會被提出、一個公式揭示了什麼結構，以及一個結論在什麼範圍內成立。數學教育不只是教學生如何解題，也是在幫助學生學習如何看見問題、辨認結構，以及理解不同概念之間的關係。

我希望這本書能為第一次接觸微分幾何的讀者，提供一條溫和而完整的學習道路。讀者可以從幾何學的歷史與熟悉的微積分、線性代數出發，逐步走進流形、度量、測地線與曲率的世界；同時也能看見，這些看似古典的幾何思想，直到今天仍然活躍在資料科學、機器學習與其他計算領域之中。