每日數題 – 尼斯的靈魂

計算

$I=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx.$

解:(以下的方法可以嚴謹化，但在此只表達基本的想法)

(方法一)觀察

$\displaystyle\frac{1}{x}=\int_{0}^{\infty}e^{-tx}dt.$

代入之後發現

$\displaystyle I=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-tx}\sin xdtdx.$

利用Fubini積分原理

$\displaystyle I=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-tx}\sin xdxdt$

利用積分表

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-tx}\sin xdx=\frac{1}{1+t^{2}}.$

因此

$\displaystyle I=\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{1+t^{2}}=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}\frac{dt}{1+t^{2}}=\lim_{R\to\infty}\tan^{-1}R=\frac{\pi}{2}.$

(方法二)

考慮 $\chi_{[-1,1]}$ 的Fourier變換:

$\displaystyle\widehat{\chi_{[-1,1]}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\chi_{[-1,1]}(t)e^{-itx}dt.$

計算後發現

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\chi_{[-1,1]}(t)e^{-itx}dt=\int_{-1}^{1}e^{-itx}dt=\frac{e^{-ix}-e^{ix}}{-ix}=2\frac{\sin x}{x}.$

所以我們知道

$\displaystyle\widehat{\chi_{[-1,1]}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin x}{x}.$

利用Fourier inversion theorem:

$\displaystyle\chi_{[-1,1]}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}e^{itx}dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}e^{itx}dt.$

於是取 $t=0,$ 我們推得

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\pi.$

利用 $\sin x/x$ 是偶函數，我們知道

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}.$

雖然標題叫每日數題，但偶爾才會給大家幾道題做做(不一定會每天給)。

問題1.(高中程度)試證明存在無窮多個有理數 $r$ 使得 $\sqrt{r}$ 與 $\sqrt{r+1}$ 同時是有理數。

解答:假設 $k,n$ 為整數，令 $r=k^{2}/n^{2}.$ 那麼 $\sqrt{r}=k/n$ 為一有理數。計算 $r+1=(k^{2}+n^{2})/n^{2}.$ 我們發現如果 $k^{2}+n^{2}$ 是完全平方數時， $\sqrt{r+1}$ 會是有理數。取 $n=t^{2}-1,$ $k=2t$ 則 $k^{2}+n^{2}=(t^{2}+1)^{2}.$ 。所以我們一開始取 $r=(2t)^{2}/(t^{2}-1)^{2},$ 其中要求 $t$ 為整數並且 $t\neq 1$ 。那麼 $\sqrt{r}=2t/(t^{2}+1)$ 且 $\sqrt{r+1}=(t^{2}+1)/(t^{2}-1)$ 均為有理數。

問題2.(微積分)試計算下列重積分 $\displaystyle \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(x+iy)^{m}(x-iy)^{n}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy.$ 其中 $i=\sqrt{-1},$ 且 $n,m$ 是整數。