點集拓樸 – 尼斯的靈魂

[拓樸與代數幾何]Hausdorff的充要條件，概形的分離條件

令 $X$ 表示一拓樸空間，並且

$\Delta:X\to X\times X$

定義為 $x\mapsto (x,x)$ 。則 $X$ 是Hausdorff的充要條件是 $\Delta(X)$ 是 $X\times X$ 中的閉子集。

證明:假設 $X$ 是 Hausdorff空間。考慮 $X\times X-\Delta(X)$ 。如果 $(x,y)\in X\times X-\Delta(X)$ 則 $x\neq y$ 。由於 $X$ 是Hausdorff空間，則存在不相交的開集合 $U_{x}$ 與 $V_{y}$ 使得 $x\in U_{x}$ 且 $y\in V_{y}$ 。由於 $U_{x}$ 與 $V_{y}$ 不相交， $U_{x}\times V_{y}\subset X\times X-\Delta(X)$ 。於是

$X\times X-\Delta(X)=\bigcup_{(x,y)\in X\times X-\Delta(X)}U_{x}\times V_{y}$

因此我們推得 $X\times X-\Delta(X)$ 是開集合，於是 $\Delta(X)$ 是閉集合。

反之，假設 $\Delta(X)$ 是閉集合，則 $X\times X-\Delta(X)$ 是開集合。令 $x\neq y$ ，則 $(x,y)\in X\times X-\Delta(X)$ 。所以存在開集合 $W\subset X\times X-\Delta(X)$ 使得 $(x,y)\in W$ 。形如 $U\times V$ 的開集合構成 $X\times X$ 的ㄧ組拓樸基，於是存在開集合 $U,V\subset X$ 使得 $(x,y)\in U\times V\subset W$ 。由於 $W\cap \Delta(X)=\phi,$ $(U\times V)\cap\Delta(X)=\phi$ 。換句話說， $(a,b)\in U\times V$ 則 $(a,b)\not\in \Delta(X)$ ，也就是 $a\neq b$ 。於是 $x\in U$ ， $y\in V$ 且 $U\cap V=\phi$ 。我們證明了 $X$ 是 Hausdorff空間。

附註:由於Zariski拓樸中，我們不太可能擁有Hausdorff空間。於是我們利用以下的想法來取代Hausdorff的定義。

定義:假設 $f:X\to Y$ 是一概形上的態射。則存在 $\Delta:X\to X\times_{Y} X$ 使得 $\Delta$ 與投影 $p_{1},p_{2}:X\times_{Y}X\to X$ 的合成是 $X$ 上的恆等映射。如果對角映射 $\Delta:X\to X\times_{Y}X$ 是一個closed immersion，則我們稱 $f$ 是可分離的。在這情況下，我們稱 $X$ 在 $Y$ 上可分離。如果 $X$ 在 $\mbox{Spec}\mathbb{Z}$ 上可分離，則我們稱 $X$ 是可分離的。

[點集拓樸]拓樸空間

拓樸空間的定義

上次談完了賦距空間之後，我們來談談拓樸的簡單概念。

假設 $(M,d)$ 是一個賦距空間。取 $x\in M$ 。我們稱集合 $B_{x}(r)=\{y:d(y,x)<r\}$ 是一個以 $x$ 為圓心 $r$ 為半徑的開球。令 $A$ 表示 $M$ 的一個子集合，並且 $a\in A$ 。如果存在 $r>0$ 使得開球 $B_{x}(r)$ 包含於 $A$ 中，我們稱 $a$ 是 $A$ 的一個內點。所有 $A$ 的內點所成集合記為 $A^{\circ}$ 。如果集合 $A=A^{\circ}$ ，我們便稱此集合為開集合。很顯然的 $M$ 本身是開集合，空集合是開集合。

命題1.如果 $U$ 跟 $V$ 是開集合，那麼它們的交集 $U\cap V$ 也是開集合。

証明:假設 $x\in U\cap V$ 。那麼 $x$ 是 $U$ 也是 $V$ 的內點。如此一來存在 $r_{1},r_{2}>0$ 使得 $B_{x}(r_{1})\subset U,\ B_{x}(r_{2})\subset V$ 。令 $r=\min\{r_{1},r_{2}\}$ ，則

$B_{x}(r)\subset B_{x}(r_{1})\cap B_{x}(r_{2})\subset U\cap V$ 。

因此可以得出 $x$ 是 $U\cap V$ 的內點。

命題2.如果 $\{U_{\alpha}\}$ 是一族的開集合，那麼它們的聯集 $\bigcup_{\alpha}U_{\alpha}$ 也是開集合。

証明:令 $U$ 表示此聯集。假設 $x$ 是此聯集中的點，那麼 $x$ 落在某個開集 $U_{\alpha}$ 中。因為 $U_{\alpha}$ 是開集合， $x$ 是 $U_{\alpha}$ 的內點。那麼存在 $r>0$ 使得 $B_{x}(r)\subset U_{\alpha}\subset U$ 。因此我們發現 $x$ 是 $U$ 中的內點，因此 $U$ 是開集合。

所有的開集合所形成的(家)族，我們就稱為拓樸。利用這樣的性質，我們可以在一般的集合上面定義拓樸的概念。

定義:令 $X$ 表示一個非空集合，並且 $P(X)$ 表示 $X$ 上所有子集合所形成的集合。如果 $\mathcal{T}\subset P(X)$ 滿足下列條件，我們就稱此族 $\mathcal{T}$ 是定義在 $X$ 上的一個拓樸，並且稱 $(X,\mathcal{T})$ 為一個拓樸空間:

(1)如果 $X,\phi\in \mathcal{T}$ ;

(2)如果 $U,V\in\mathcal{T}$ ，則 $U\cap V\in\mathcal{T}$ ;

(3)如果 $U_{\alpha}\in\mathcal{T}$ ，則 $\bigcup_{\alpha}U_{\alpha}\in\mathcal{T}$ 。

很自然的，賦距空間是拓樸空間。

定義:假設 $A$ 是拓樸空間 $X$ 的子集，並且 $X\setminus A$ 是一個開集，我們稱 $A$ 為閉集合。

連續函數的定義

定義:假設 $X,Y$ 是拓樸空間，並且 $f:X\to Y$ 是一個映射。如果對任何 $Y$ 中的開集合 $V$ ， $f^{-1}(V)$ 是 $X$ 中的開集合，我們稱 $f$ 是連續函數。如果 $f$ 是一對一且映成的連續函數， $f^{-1}:Y\to X$ 是連續函數，則我們稱 $f$ 是一個同胚，此時我們稱 $X,Y$ 拓樸同胚。

範例1.令 $M=\mathbb{R}^{2},$ 定義函數 $f(x,y)=x,$ 則 $f$ 是 $M$ 上的實值連續函數。

範例2.令 $M=\mathbb{R},$ 定義 $f(x)=x^{n},$ $x\in M$ 則 $f$ 是 $M$ 上的實值連續函數。

楔子(應該被放在篇首的)

拓樸學中，我們最希望就是能夠分類出所以不同胚的拓樸空間。因此我們引進了拓樸不變量的概念，所謂的拓樸不變量就是在同胚映射作用下不變的數學量。例如由拉示性數 $\chi(X)$ 是拓樸不變量，基本群 $\pi_{1}(X)$ ，同調群 $H_{i}(X)$ 與上同調群 $H^{i}(X)$ 均是拓樸不變量。當然，如果我們知道

$\displaystyle\chi(X)=\sum_{i}(-1)^{i}\dim H_{i}(X)$ ，

那麼利用 $H_{i}(X)$ 是拓樸不變量的概念，我們知道 $H_{i}(X)$ 是拓樸不變量。(而 $\pi_{1}(X), H_{i}(X)$ 我會另外寫文討論。)

範例1 $S^{1}$ 與 $\mathbb{R}^{1}$ 不是拓樸同胚。

範例2 $\mathbb{R}^{2}$ 與 $\mathbb{R}^{3}$ 不是拓樸同胚。

[高微]賦距空間

賦距空間(metric space)的概念主要是來自於歐氏空間 $\mathbb{R}^{n}$ 。假設 $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ , $y=(y_{1},y_{2},y_{3})$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 空間中的兩點。定義

$d_{2}(x,y)=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}$ 。

那麼 $d_{2}$ 就構成空間中的距離概念。 $d_{2}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 上滿足一些特質的函數，這些特質刻劃出距離的概念:(1)由 $A$ 點至 $B$ 點的距離等於由 $B$ 點行至 $A$ 點的距離(2)如果兩點的距離相等，那麼這兩點必定是同一點。(3)三角形兩邊之和大於第三邊。

在解熱方程的時候，我們面臨了必須處理無窮三角級數 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\sin nx$ 的問題。而無窮級數和牽扯到極限的概念。我們令 $V$ 表示所有形如 $\sum_{k=1}^{n}a_{k}\sin kx$ 的三角級數和所形成的集合,其中我們要求 $a_{k}$ 是實數。如果在 $V$ 上有了極限的概念，我們便定義

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\sin nx =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\sin kx.$

於是我們希望在更一般的集合上面定義極限的概念，被賦予距離概念的集合就稱為賦距空間。

定義:假設 $M$ 是一個非空集合，如果函數 $d:M\times M\to [0,\infty)$ 滿足下列條件，我們就稱 $d$ 是 $M$ 上的一個距離:假設 $x,y,z\in M$ ,

(1) $d(x,y)=d(y,x)$ .

(2) $d(x,y)=0$ 若且為若 $x=y$ 。

(3) $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ 。

那麼賦予了距離概念的集合 $M$ 就稱為賦距空間。

有了距離的概念後，我們就可以定義收斂。假設 $(a_{n})$ 是 $M$ 上的一個序列，如果

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}d(a_{n},a)=0,$

我們稱 $(a_{n})$ 收斂到點 $a$ (此時記為 $\lim_{n\to\infty}a_{n}=a$ )。所以各位讀者可以了解到，我們定義距離的目的是為了希望給空間收斂的概念。有了收斂的概念後，我們便可以來研究一些有意思的問題，例如我們希望找出微分方程的解

$\displaystyle\frac{dx}{dt}=f(t,x)$ 。

假設是 $f$ 任給的情況下，一般來說要找出這個方程的解並不容易。所以我們來看以下範例。

範例1.試解出 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=x,$ $x(0)=1.$

解:用微積分基本定理 $x(t)=1+\int_{0}^{t}x(u)du$ 。把 $x(t)$ 再帶入積分裡面，就可以得到(利用交換積分順序可得到)

$\displaystyle x(t)=1+t+\int_{0}^{t}(t-s)x(s)ds$ 。

所以如果不斷的持續迭代下去，我們就會面對

$\displaystyle x(t)=\sum_{k=0}^{n}\frac{t^{k}}{k!}+\int_{0}^{t}\frac{(t-s)^{n}}{n!}x(s)ds$ 。

問題一:我們能否真的做無窮多次迭代?

問題二:如何找出最後解 $x ?$

研究方程式的解是必須要先假設我們在某個空間中求解，例如 $x^{2}+1=0$ 在實數中無解，但在複數中是有解的。因此，固定好希望解的方程的空間後，我們給予距離的概念，建構出一個收斂的函數序列，讓 $x(t)=\sum_{k=0}^{\infty}t^{k}/k!$ 有定義。並且在收斂有意義的情況下，我們驗證 $x(t)$ 是此微分方程的解。