尼斯的靈魂

再談常係數二階線性微分方程

在文章中，我們已經提過形如

$\displaystyle ay''+by'+cy=0$

的微分方程的解法，此處 $a,b,c$ 均為實數，且 $a\neq 0$ 。我們把上述微分方程類比於二次方程

$\displaystyle a\lambda^{2}+b\lambda+c=0$ ，

利用此二次方程(二次多項式 $a\lambda^{2}+b\lambda+c$ 稱為微分方程的特徵多項式)的根的特性得出微分方程的解。取 $D=b^{2}-4ac$ 。當 $D>0$ 時，我們將微分方程因式分解成

$\displaystyle\left(\frac{d}{dx}-\lambda_{1}\right)\left(\frac{d}{dx}-\lambda_{2}\right)y=0$

其中 $\lambda_{1},\lambda_{2}$ 是特徵方程的相異根，並取 $z=y'-\lambda_{1}y$ 得出 $z$ 的微分方程：

$\displaystyle\frac{dz}{dx}-\lambda_{2}z=0.$

解出 $z=ce^{\lambda_{2}}$ 後，帶入 $z=y'-\lambda_{1}y$ 中，得到

$\displaystyle\frac{dy}{dx}-\lambda_{1}y=ce^{\lambda_{2}x}$

再利用積分因子法，求出 $y=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}$ 。

當 $D=0$ 時，特徵多項式分解成 $(\lambda-r)^{2}$ 的形式。換句話說，微分方程必定形如：

$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2r\frac{dy}{dx}+r^{2}y=0.$ (2)

在二次多項式的世界中，我們有配方法解的多項式的根。在二階常係數微分方程中，配方法是否存在呢？利用積分因子的想法，我們定義 $z=e^{-r}y$ ，目的就是把 $y$ 平移 $-r$ ，在微分方程的世界中，平移對應於乘上積分因子 $e^{-rx}$ 。如此一來，

$\displaystyle\frac{d^{2}z}{dz^{2}}=e^{-rx}\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2r\frac{dy}{dx}+r^{2}y\right).$

因此如果 $y$ 是(2)的解， $z''=0$ 。而 $z''=0$ 類比於 $u^{2}=0$ 其中 $u=\lambda-r$ 。舉例來說，試解：

$\displaystyle\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2\frac{dy}{dx}+y=0.$

令 $z=e^{-x}y$ 。則

$z''=e^{-x}(y''-2y'+y)=0.$

$z''=0$ 可推得 $z=C_{1}x+C_{2}$ 。於是 $y=e^{rx}(C_{1}x+C_{2})$ 。

當 $D<0$ 時，我們知道特徵多項式兩個複數共軛根。記 $\lambda_{\pm}=\alpha\pm i\beta$ 為特徵多項式的兩根且 $\beta>0$ ，則 $\lambda_{+}+\lambda_{-}=2\alpha$ 且 $\lambda_{+}\lambda_{-}=\alpha^{2}\beta^{2}$ ，微分方程必定形如

$\displaystyle \frac{dy^{2}}{dx^{2}}-2\alpha \frac{dy}{dx}+(\alpha^{2}+\beta^{2})y=0,$ . (3)

且特徵多項式形如 $\lambda^{2}-2\alpha\lambda+(\alpha^{2}+\beta^{2})=0$ 。在解此類多項式方程式時，我們主要使用配方法：

$\lambda^{2}-2\alpha\alpha+\alpha^{2}=-\beta^{2}$

推出 $(\lambda-\alpha)^{2}=-\beta^{2}$ 。如果記 $u=\lambda-\alpha$ ，則 $u^{2}=-\beta^{2}$ 。因此只要我們解出 $u$ 就能解出 $\alpha$ 。配方法本身就是種平移法，回到微分方程本身，我們可以先把方程給平移，令 $z=e^{-\alpha x}y$ ，利用前面的平移法，得出

$z''+\beta^{2}z=e^{-\alpha x}(y''-2\alpha y'+\alpha^{2}y)+\beta^{2}e^{-\alpha}y=e^{-\alpha x}(y''-2\alpha y'+(\alpha^{2}+\beta^{2})y).$

如果 $y$ 是(3)的解，則

$z''+\beta^{2}z=0.$ (3′)

將微分方程「配方」後，我們只需要處理(3′)即可。

接著我們來解(3′)。

如果我們令

$f(x)=(z')^{2}+\beta^{2}z^{2}$ 。

利用(3′)，可推得 $f'(x)=0$ 。根據均值定理， $f(x)=C$ 為常數函數。因為 $(z')^{2}\geq 0$ 且 $\beta^{2}z^{2}\geq 0$ ，可得 $f(x)\geq 0$ 。如果 $f(x)=0$ ，則 $z=0$ 。假設 $C$ 非零，則 $C>0$ 。令 $C=a^{2}$ 可得

$\displaystyle \frac{\beta z'}{\sqrt{a^{2}-\beta^{2}z^{2}}}=\pm \beta.$

不仿取

$\displaystyle \frac{\beta z'}{\sqrt{a^{2}-\beta^{2}z^{2}}}=\beta$

令 $w=\beta z$ ，則

$\displaystyle\frac{dw}{\sqrt{a^{2}-w^{2}}}=\beta dx.$

兩邊積分後，可得

$\displaystyle\sin^{-1}\left(\frac{w}{a}\right)=\beta x+C$

於是 $w=a\sin(\beta x+C).$ 再利用 $w=\beta z$ 和角公式，可以推出

$z=C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin (\beta x)$

其中 $C_{1},C_{2}$ 是常數，最後推出

$y=e^{\alpha x}(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin (\beta x)).$ (5)

當我們取

$\displaystyle \frac{\beta z'}{\sqrt{a^{2}-\beta^{2}z^{2}}}=-\beta$

我們也會得出形如(5)的解。

高階的常係數微分方程可以用類似的方法來解，在此就不細談。

『小二題目你會嗎？』一文評論

新聞連結。

本文以『數學題目想要成功解開，邏輯相當重要，…』當開場談論一道小學二年級的數學問題。題目如下

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記者以邏輯開頭來評論網友的看法，筆者認為這題該討論的地方不在於『邏輯』，而在於『題目本身』：出題者應該更謹慎地使用更精確且簡要的文字出題。

首先，筆者針對『意思相同』這四個字來做分析。根據教育部重編國語辭典修訂本中的解釋，此處的『意思』指的是『意旨』、『意義』。如果再進一步的去查詢『意旨』與『意義』這兩詞，我們得到的是：

（1）意義：意旨、理趣。《三國志．卷二八．魏書．王凌傳》：「旌先賢之後，求未賢之士，各有教條，意義甚美。」

（2）意旨：意向旨趣。《史記．卷九七．陸賈傳》：「令比諸侯，皆如意旨。」《初刻拍案驚奇．卷六》：「慧澄替他宣揚意旨，祝讚已畢，叫一個小尼領了丫鬟別處玩耍。」

詞典使用了更抽象的詞彙來解釋這兩個詞，我們無法從此處了解『意思相同』所代表的是什麼。所以我們暫時使用以下的解讀：

『XXX』和下面哪個選項的意思相同？=『XXX』可以使用下面哪個選項的符號來表示？

阿拉伯數字本身是一種符號表示，一般而言，我們使用1,2,3,4…來表示出『數量』。『表示』指的是『呈現』：如何使用符號來完成表達『XXX』這個目的。

接著我們必須要理解一件事『5個9』語意本身並不包含『運算』。『5個9』指的是

9,9,9,9,9

如果此處x代表個數，我們可以使用5x 來代表5個。如5個人可以使用5x人來表示，5個a可以用5xa來表示5個9可以用5×9來表示，答案應該是(1)。

如果此處x代表乘法，那麼本題題目應該從『5個9』改成『5個9相加』。這時候，就看老師在課堂上如何與學生約定『5個9相加』怎麼記。這個部分我在其他文章有提過，這個符號使用沒有全球性的規定，不同國家有不同的記法，台灣是使用『9x 5』來表示，也就是本文中的正確答案(3)。

然而從選項的內容來看，本題考的應該是數字乘法運算的概念（小二這個時期應該就是在教乘法）而不是考記個數的方式。本題的問題點其實是出在『5個9』應該改成『5個9相加』，而非記者所說的『邏輯』。

筆者認為，『語言能力』會限制小學生的讀題能力。老師出題時應該要使用更精確且更簡單的文字避免學生造成誤解（不需要從文字上做調整讓學生做文字上的腦筋急轉彎）。筆者建議本題應該更改為：

『5個9相加』可以用下列哪個選項來表示：

(1) 5×9 (2) 5+9 (3) 9x 5

這樣題目會更清楚一點。

從一道題目談論我認為的好中學數學問題

說明：本文主要不是在談中學數學教學，談的是筆者認為的好的『思考』問題。至於好的『試題』並不是本篇文章討論要素。

前幾天筆者在臉書上讀到了一則貼文，這則貼文是關於一道中學的數學題目，如下表示。

題目 $A$ ：如右圖，梯形 $ABCD$ 中，已知道兩底 $\overline{AD}$ ， $\overline{BC}$ 分別為 $7$ 公分與 $20$ 公分，兩腰 $\overline{AB}$ 與 $\overline{CD}$ 之長分別為 $5$ 公分與 $12$ 公分，則梯形 $ABCD$ 的面積為___平方公分。

原作者主要是透過那道題評論『考試害人不淺』。筆者並非要去評論該作者的內文，主要是想透過這道題來談筆者心中所謂的好的中學數學問題。對於中學學習，筆者僅作以下簡評：

在中學時期，許多學生會面臨到『每個科目的學習都要盡可能的盡善盡美』而要學習的科目卻又非常的多。因此，許多學生在中學時期必須以『記憶』的方式來學習所有的科目，因為『直接背起來』而不用思考對學習來說最省力。要學習數學這種需要大量思考的科目，不見得人人都願意花時間做思考的練習。如果有『捷徑』或是『巧解』，對學生的學習來說會更加省時（？）。可能這樣的下場就導致了學生解題喜歡找捷徑與找巧解，補習班或許也大行其道，失去了思考訓練的精神。因為大家不是為了『增強自身的知識與學習能力』做準備，而是為了『考試』—為了能在考試中得到好成績做準備，這就是『考試領導教學』。事實上，要增強自身的『思考力』是需要經過許多的『思考訓練』，而思考訓練需要很多的時間。

回到筆者想談的，對筆者而言，何謂好的中學數學問題呢？『可以有各種不同解法的數學題目。』一道題有『不同的解法』代表著那道題可以提供學生『不同的思考角度』。筆者看到題目 $A$ 的第一個反應是覺得此題還挺有趣的，以下提供幾個做法讓讀者去理解為何筆者會覺得此題有趣。

思考：本題目要求的是梯形面積。依據梯形的面積公式可知：梯形的面積是（上底加下底）乘高除 $2$ 。上底是 $7$ 下底是 $20$ ，只要知道高便可求出此梯形的面積。所以本題在考的其實是要求出此梯形的高。要求出此梯形的高可以有以下的幾種策略，而這些策略是仰賴於我們對梯形的理解。因為 $ABCD$ 是梯形，所以 $\overline{AD}$ 平行於 $\overline{BC}$ 。我們可以做輔助線，來幫助我們解題。我們假設此梯形的高為 $h$ 。

作法一：在 $\overline{BC}$ 上取一點 $E$ 使得 $\overline{DE}$ 平行於 $\overline{AB}$ 。則四邊形 $ABED$ 為平行四邊形（利用 $\overline{AD}$ 平行 $\overline{BC}$ ），可知 $\overline{DE}=5$ 且 $\overline{BE}=7$ （如圖所示）。

因為 $\overline{BC}=20$ 且 $\overline{BE}=7$ 可以推得 $\overline{CE}=13$ 。觀察 $13^{2}=5^{2}+12^{2}$ 可知 $\Delta CDE$ 是直角三角形且 $\angle CDE=90^{\circ}$ 。利用三角形的面積公式可知， $\Delta CDE$ 的面積為

$\displaystyle[\Delta ABC]=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot h$

可求出 $h$ 。

做法二：做法二跟作法一的想法是雷同的。只是我們取 $\overline{BC}$ 上一點 $E$ 使得 $\overline{AE}$ 平行於 $\overline{CD}$ 。如圖所示

利用類似的討論，我們可以得出 $h$ 。

做法三：延長 $\overline{AD}$ 至一點 $E$ 使得 $ABCE$ 構成一平行四邊形。利用平行四邊形的性質，我們可以求出 $\overline{DE}=13$ 且 $\overline{CE}=5$ 。如圖所示：

接著利用同樣的做法可以求出 $h$ 。

做法四：做法四有別於前面使用圖形的幾何性質作解答，使用了代數做法。做 $\overline{AE}$ 垂直 $\overline{BC}$ 於 $E$ 且 $\overline{DF}$ 垂直 $\overline{BC}$ 於 $F$ 。如圖所示：

根據梯形的性質可知四邊形 $AEFD$ 為矩形。於是 $\overline{EF}=\overline{AD}=7$ 且 $\overline{AE}=\overline{DE}$ 且 $\angle BEA=\angle CFD=90^{\circ}$ 。由畢氏定理可推得

$\displaystyle 5^{2}-x^{2}=\overline{AE}^{2}=\overline{DF}^{2}=12^{2}-(13-x)^{2}$ 。

根據此式可以求出 $x$ ，求出 $x$ 後再利用畢氏定理可以求出此梯形的高。

原則上來說上述的這些方法真正只有兩種不同做法，因為做法一到三均是利用雷同的想法：對於梯形的理解，使用到了『逆畢氏定理』，做法四是直接使用代數方法與畢氏定理，兩者有不同的思考路徑。雖然做法一到三想法雷同，但讓學生可以有各種做輔助線的方法（不唯一）來得到同樣的結果，因此筆者認為本題是不錯的題目。

有一次在課堂上，學生曾告訴筆者：『老師，這些方法很簡單，但我們想不到的。』其實不是學生想不到，而是學生沒有習慣於做『用各種可能的方法解決同一個問題』的訓練。如同筆者前面說的，不同的做法代表的是不同的思考方式，不同的思考方式讓我們透過不同的角度來對同一件事情產生理解。透過『各種思考路徑來解題』有助於我們『把所學習到的（不同的）知識之間做鏈結』，大腦中思考的鏈結越多，就越有可能讓我們有不同的策略來解決問題（或產生創造力）。『思考的訓練』需要大量的時間，在『考試領導教學』環境中或許讓學生有『大量時間思考』有著很大的困難吧？

東華大學應用數學系魏澤人教授補充道：『作法四那樣畫，然後觀察左右兩個三角形的底長度固定，然後拚再一起.。另一個角度是問，為什麼這個題目可以問？也就是為什麼知道四個邊長就能知道面積？除了面積是否還能確定形狀？從這裡出發也能有很多思路，還原問題的本質。』

補充：（做法五）詹孟樺網友提供了第五種做法：