[微積分]tan x, sec x的積分

本題主要想解\displaystyle\int \tan xdx,\int\sec xdx。

解:我們知道\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}，所以如果令u=\cos x，則du=-\sin xdx，因此原積分等於

\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int\frac{du}{u}=-\ln |u|+C=-\ln |\cos x|+C。

請觀察

(1)d\sec x=\sec x\tan x dx

(2)d\tan x=\sec^{2}xdx

(1)與(2)相加之後可以得到:

d(\sec x+\tan x)=\sec x(\sec x+\tan x)dx

如果我們令u=\sec x+\tan x，則

\displaystyle\frac{du}{u}=\sec xdx

如此一來

\displaystyle\int \sec xdx=\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\sec x+\tan x|+C。

利用類似的想法，可以求出\displaystyle\int \cot xdx與\displaystyle\int\csc xdx.

附註:如果y=f(x)是定義在實軸上某個區間內的可微分函數。我們記\displaystyle dy=f'(x)dx來表示\displaystyle\frac{dy}{dx}=f'(x)。

其他做法:

\displaystyle\int \sec xdx=\int\frac{dx}{\cos x}.

利用

\displaystyle\frac{1}{\cos x}=\frac{\cos x}{\cos^{2}x}=\frac{\cos x}{1-\sin^{2}x}

所以可推得

\displaystyle\frac{dx}{\cos x}=\frac{\cos xdx}{1-\sin^{2}x}.

利用u=\sin x可知du=\cos xdx。於是

\displaystyle\frac{dx}{\cos x}=\frac{du}{1-u^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right)du

所以

\displaystyle\int\sec xdx=\frac{1}{2}\left(\int\frac{du}{1-u}+\int\frac{du}{1+u}\right).

利用

\displaystyle\int\frac{du}{1+u}=\ln|1+u|+C, \displaystyle\int\frac{du}{1-u}=-\ln|1-u|+C.

可以推得

\displaystyle\int\sec xdx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C.

利用

\displaystyle\frac{1+\sin x}{1-\sin x}=\frac{(1+\sin x)^{2}}{1-\sin^{2}x}=\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)^{2}.

(與\ln a^{n}=n\ln a)可推得

\displaystyle\int \sec xdx=\ln\left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|+C.

我們知道

\displaystyle\frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}=\sec x+\tan x.

因此我們依然推得同樣的答案。

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      1. 所以 1/2*sin^2(X)+C 也是此題的解摟？
        可是為什麼用計算機帶值算出來會與原解有些許誤差呢？

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