尼斯的靈魂

我們用符號 $\mathbb{R}[x]$ 來表示所有實係數多項式所構成的集合，用符號 $\mathbb{R}\left(x\right)$ 表示所有實係數有理函數所構成得集合。本文中，所有的多項式均為實係數多項式，所有的有理函數均為實係數有理函數。本文中，我們要談有理函數的「部分分式」的理論。

形如 $\displaystyle\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ 的函數稱為有理函數，其中 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 為多項式且 $f\left(x\right)$ 不是0多項式。由歐幾里得長除法可知，可找到多項式 $Q\left(x\right)$ 與 $r\left(x\right)$ 使得

$g\left(x\right)=f\left(x\right)Q\left(x\right)+r\left(x\right)$ ，此處 $r\left(x\right)=0$ 或 $\deg r\left(x\right)<\deg f\left(x\right)$ 。此時，

$\displaystyle\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)} =Q\left(x\right)+\frac{r\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ 。

由此可知，不失一般性的情況下，我們假設 $\deg g\left(x\right)<\deg f\left(x\right)$ 。

【定義】給定多項式 $f\left(x\right),h\left(x\right),p\left(x\right)$ 。

若可找到多項式 $Q\left(x\right)$ 使得 $f\left(x\right)=h\left(x\right)Q\left(x\right)$ ，我們稱 $h\left(x\right)$ 為 $f\left(x\right)$ 的因式，稱 $f\left(x\right)$ 為 $h\left(x\right)$ 的倍式。
如果多項式 $p\left(x\right)$ 滿足下列性質，我們稱 $p\left(x\right)$ 為質多項式：如果 $p\left(x\right)=u\left(x\right)v\left(x\right)$ 且 $u\left(x\right),v\left(x\right)$ 為多項式，則 $u\left(x\right)$ 或 $v\left(x\right)$ 為常數多項式。
如果 $p\left(x\right)$ 是質多項式且為 $f\left(x\right)$ 的因式，我們稱 $p\left(x\right)$ 是 $f\left(x\right)$ 的質因式。

【定義】給定多項式 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 。

1.如果多項式 $u\left(x\right)$ 同時為 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的因式，我們稱 $u\left(x\right)$ 是 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的公因式。

2. 如果多項式 $d\left(x\right)$ 是 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的公因式且滿足下列條件，我們稱 $d\left(x\right)$ 為 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的最大公因式：「若 $u\left(x\right)$ 是 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的公因式，則 $\left. u\left(x\right)\right|d\left(x\right)$ 。」

3. 我們使用符號 $\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)$ 來表示 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的最大公因式。由於最大公因式之間差一個非零的數，通常我們用 $\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)$ 來表示首項係數為1的 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 之最大公因式。

【定義】給定多項式 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 。

如果多項式 $u\left(x\right)$ 同時為 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的倍式，我們稱 $u\left(x\right)$ 是 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的公倍式。
如果多項式 $M\left(x\right)$ 是 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的公倍式且滿足下列條件，我們稱 $M\left(x\right)$ 為 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的最小公倍式：「若 $u\left(x\right)$ 是 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的公倍式，則 $\left. M\left(x\right)\right|u\left(x\right)$ 。」
我們使用符號 $\left[f\left(x\right),g\left(x\right)\right]$ 來表示 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的最小公倍式。由於最小公倍式之間差一個非零的數，通常我們用 $\left[f\left(x\right),g\left(x\right)\right]$ 來表示首項係數為1的 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 之最大公因式。

【貝祖定理】

給定非零多項式 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 。可找到多項式 $u\left(x\right),v\left(x\right)$ 使得

$f\left(x\right)u\left(x\right)+g\left(x\right)v\left(x\right)=d\left(x\right)$

其中 $d\left(x\right)=\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)$ 。

證明：考慮集合

$S=\left\{f\left(x\right)u\left(x\right)+g\left(x\right)v\left(x\right):u\left(x\right),v\left(x\right)\in \mathbb{R}\left[x\right]\right\}$ 。

令 $N_{S} =\left\{\deg p:p\left(x\right)\in S\setminus\{0\}\right\}$ 。由於 $N_{S}$ 是自然數集合 $\mathbb{N}$ 的子集合，根據自然數的良序原理(well-ordering principle)， $N_{S}$ 有最小值。記 $n=\min N_{S}$ 。取 $d'\left(x\right)\in S$ 使得 $\deg d'\left(x\right)=n$ 。接著我們來驗證 $d'\left(x\right)$ 是 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 最大公因式。

令 $d\left(x\right)=\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)$ ，則 $f\left(x\right)=d\left(x\right)f_{1} \left(x\right),g\left(x\right)=d\left(x\right)g_{1} \left(x\right)$ 。由於 $'\left(x\right)\in S$ ，可找到多項式 $u\left(x\right),v\left(x\right)$ 使得

$d'\left(x\right)=f\left(x\right)u\left(x\right)+g\left(x\right)v\left(x\right)=d\left(x\right)\left(f_{1} \left(x\right)u\left(x\right)+g_{1} \left(x\right)v\left(x\right)\right)$

因此 $\left. d\left(x\right)\right|d'\left(x\right)$ 。我們接著來證明 $d'\left(x\right)$ 是 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的公因式。利用長除法， $f\left(x\right)=d'\left(x\right)f_{1} \left(x\right)+r_{1} \left(x\right)$ 且 $g\left(x\right)=d'\left(x\right)g_{1} \left(x\right)+r_{2} \left(x\right)$ 。我們希望證明 $r_{1} \left(x\right)=r_{2} \left(x\right)=0$ 。假設 $r_{1} \left(x\right),r_{2} \left(x\right)$ 不是非零多項式，則 $\deg r_{1} ,\deg r_{2} <\deg d'$ 。由於 $d'\left(x\right)=f\left(x\right)u\left(x\right)+g\left(x\right)v\left(x\right)$ ，

$f\left(x\right)=\left(f\left(x\right)u\left(x\right)+g\left(x\right)v\left(x\right)\right)f_{1} \left(x\right)+r_{1} \left(x\right)$ ，推得

$f\left(x\right)\left(1-u\left(x\right)f_{1} \left(x\right)\right)+g\left(x\right)\left(-v\left(x\right)f_{1} \left(x\right)\right)=r_{1} \left(x\right)$ 。

可知 $r_{1} \left(x\right)\in S$ ，又 $\deg r_{1} <\deg d'$ 此與 $\deg d'=\min N_{S}$ 產生矛盾，因此 $r_{1} \left(x\right)=0$ 。同理， $r_{2} \left(x\right)=0$ 。所以我們推得 $d'\left(x\right)$ 是 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的公因式。由於 $d\left(x\right)=\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)$ ，可知 $\left. d'\left(x\right)\right|d\left(x\right)$ 。根據 $\left. d\left(x\right)\right|d'\left(x\right)$ 與 $\left. d'\left(x\right)\right|d\left(x\right)$ ，可知 $d'\left(x\right)=ad\left(x\right)$ ，其中 $a\neq 0$ 。所以 $d'\left(x\right)$ 為 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 的最大公因式。

【定義】給定非零多項式 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 。若 $\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)=1$ ，我們稱 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 互質。

【推論1】若 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 為互質多項式，則存在多項式 $u\left(x\right),v\left(x\right)$ 使得

$f\left(x\right)u\left(x\right)+g\left(x\right)v\left(x\right)=1$ 。

【推論2】給定非零多項式 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 。若 $f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)f_{2} \left(x\right)$ ，且 $f_{1} \left(x\right),f_{2} \left(x\right)$ 為互質的多項式，則存在多項式 $g_{1} \left(x\right),g_{2} \left(x\right)$ 使得

$\displaystyle\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)} =\frac{g_{1} \left(x\right)}{f_{1} \left(x\right)} +\frac{g_{2} \left(x\right)}{f_{2} \left(x\right)}$ 。

證明：因為 $f_{1} \left(x\right),f_{2} \left(x\right)$ 互質，取多項式 $u\left(x\right),v\left(x\right)$ 使得 $f_{1} \left(x\right)u\left(x\right)+f_{2} \left(x\right)v\left(x\right)=1$ 。則

$\displaystyle\frac{1}{f\left(x\right)} =\frac{1}{f_{1} \left(x\right)f_{2} \left(x\right)} =\frac{f_{1} \left(x\right)u\left(x\right)+f_{2} \left(x\right)v\left(x\right)}{f_{1} \left(x\right)f_{2} \left(x\right)} =\frac{f_{2} \left(x\right)v\left(x\right)}{f_{1} \left(x\right)} +\frac{f_{1} \left(x\right)u\left(x\right)}{f_{2} \left(x\right)}$ 。

取 $g_{1} \left(x\right)=g\left(x\right)f_{2} \left(x\right)v\left(x\right)$ ， $g_{2} \left(x\right)=g\left(x\right)f_{1} \left(x\right)u\left(x\right)$ ，則 $g_{1} \left(x\right),g_{2} \left(x\right)$ 即為所求。

【推論3】給定非零多項式 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 。若 $f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)f_{2} \left(x\right)\cdots f_{n} \left(x\right)$ ，且 $f_{1} \left(x\right),\cdots ,f_{n} \left(x\right)$ 兩兩互質，則存在多項式 $g_{1} \left(x\right),\cdots ,g_{n} \left(x\right)$ 使得

$\displaystyle\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)} =\frac{g_{1} \left(x\right)}{f_{1} \left(x\right)} +\cdots +\frac{g_{n} \left(x\right)}{f_{n} \left(x\right)}$ 。

證明：我們使用歸納法證明。 $n=1$ 時顯然成立。假設 $n=k$ 時成立。

假設 $f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)f_{2} \left(x\right)\cdots f_{n} \left(x\right)f_{n+1} \left(x\right)$ ，取 $F_{1} \left(x\right)=f_{1} \left(x\right)\cdots f_{k} \left(x\right),F_{2} \left(x\right)=f_{k+1} \left(x\right)$ 。由於 $f_{1} \left(x\right),\cdots ,f_{k+1} \left(x\right)$ 兩兩互質，則 $F_{1} \left(x\right)$ 與 $F_{2} \left(x\right)$ 互質，且 $f\left(x\right)=F_{1} \left(x\right)F_{2} \left(x\right)$ 。根據推論2，可找到多項式 $G_{1} \left(x\right),G_{2} \left(x\right)$ 使得

$\displaystyle\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)} =\frac{G_{1} \left(x\right)}{F_{1} \left(x\right)} +\frac{G_{2} \left(x\right)}{F_{2} \left(x\right)}$ 。

取 $g_{k+1} \left(x\right)=G_{2} \left(x\right)$ ，則 $\displaystyle\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)} =\frac{G_{1} \left(x\right)}{F_{1} \left(x\right)} +\frac{g_{k+1} \left(x\right)}{f_{k+1} \left(x\right)}$ 。根據歸納法假設，

$\displaystyle\frac{G_{1} \left(x\right)}{F_{1} \left(x\right)} =\frac{g_{1} \left(x\right)}{f_{1} \left(x\right)} +\cdots +\frac{g_{k} \left(x\right)}{f_{k} \left(x\right)}$ 。

推得

$\displaystyle\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)} =\frac{g_{1} \left(x\right)}{f_{1} \left(x\right)} +\cdots +\frac{g_{k} \left(x\right)}{f_{k} \left(x\right)} +\frac{g_{k+1} \left(x\right)}{f_{k+1} \left(x\right)}$ 。

因此 $n=k+1$ 時也成立。由數學歸納法可知，此式對任意的自然數 $n$ 恆成立。

【定理】在 $\mathbb{R}\left[x\right]$ 中，首項係數為 $1$ 的質多項式形如:

$x-a$
$x^{2} +bx+c$ ，其中 $b^{2} -4c<0$

【定理】(多項式質因式分解定理)任何實係數多項式都可以唯一分解為

$\displaystyle f\left(x\right)=c\prod _{k=1}^{p}\left(x-a_{k} \right)^{m_{k} }\prod _{j=1}^{q}\left(x^{2} +b_{j} x+c_{j} \right)^{n_{j} }$

其中 $a_{1} ,\cdots ,a_{p}$ 兩兩相異，且 $x^{2} +b_{j} x+c_{j}$ 兩兩相異並滿足 $b_{j}^{2} -4c_{j} <0$ 。

根據推論3與質因式分解定理，

(1.1) $\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^{p}\frac{g_{k}(x)}{(x-a_{k})^{m_{k}}}+\sum_{j=1}^{q}\frac{h_{j}(x)}{(x^{2}+b_{j}x+c_{j})^{n_{j}}}.$

此處 $g_{k} \left(x\right)$ 與 $h_{j} \left(x\right)$ 為多項式。根據(1.1)我們僅須研究型如 $\displaystyle\frac{g\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{m} }$ 與 $\displaystyle\frac{h\left(x\right)}{\left(x^{2} +bx+c\right)^{n} }$ 的有理函數。利用長除法，我們可以得到

$g\left(x\right)=c_{1} \left(x-a\right)^{m-1} +c_{2} \left(x-a\right)^{m-2} +\cdots +c_{m}$ 。

則

(1.2) $\displaystyle\frac{g\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{m} } =\frac{c_{1} }{x-a} +\frac{c_{2} }{\left(x-a\right)^{2} } +\cdots +\frac{c_{m} }{\left(x-a\right)^{m} }$ 。