幾何與拓樸簡介

學數學很多人都會迷失於符號與定理中。一開始數學在發展的時候,都是以相當容易理解的想法去做定義。大家或許會被這些專有名詞給嚇到了,千萬別害怕,我舉幾個例子,大家就會知道,數學其實有他簡單的概念在。幾個例子來說,何謂黎曼面?如果要以很好聽的數學術語來講,其定義為:一維的複流形。單從字面上來看,你大概不太能夠體會黎曼面是甚麼。而學數學的過程裡,你依然會遇到許多奇奇怪怪的術語。數學要用例子去看。

舉個高中生也能懂得例子,球面二維球面S^{2}:x^2 +y^2 +z^2=1就是最簡單的黎曼面。它是緊致可定向的幾何空間。但如果以高中生能懂得話來說呢?很簡單,所謂的緊致就是一個封閉的有界集合。所謂的有界,就是他是有範圍的。所謂的封閉,就是取球面上的點,不管怎麼跑,都還是會落在這個球面上(除非有外力)。所謂的曲面,請各位回想一下地球,是不是在地球的表面上,你會覺得自己是在平面,不是在彎曲的球上呢?(除了你搭外太空船,或者是到101大樓上去,才發現原來地球是彎曲的)。所以我們定義了(二維)曲面:假想人是活在這個世界上,會覺得自己是在平坦的空間中,但實際上 並不是,他是很多個平坦的平面黏貼起來的。這樣的空間會有座標的概念。舉例來說,我們有經度跟緯度。經度跟緯度就是一種座標呀!x^2+y^2+z^2= 1就可以用經度跟緯度去描述的。

如果大家被數學名詞嚇到了,肯定看不出他好玩的地方在哪。在相對論中,協變微分這個名字很嚇人呀!但是,各位,千萬別害怕。我用很簡單的方式跟各位介紹。我們還是回到地球的例子。我們在地球上所做的一切運動都是內在的(除非利用了能源,用了太空船),一般的跑步,運動都是內在的行為。所謂的不是內在的,就是利用太空船或其他力量離開地球表面的活動。所以,只要一直在地球表面活動而不離開地球表面,我們都稱為內在。協變微分更好玩。微分就是研究變化率的一個方法,所謂的協變微分,講的就是內在的微分。也就是說,研究一切在地球表面上的變化,就可稱為協變微分。如果脫離了地球,就不是協變微分。

在打個比方,代數拓樸中的同調群,其實可以用高中生就能懂得方法可以解釋。因為發明同調群的人,想法是相當簡單的。記得以前高中還有所謂的補充教材。裡面有提了V-E+F=2V是頂點,E是邊,F是面的數量。這是著名的由拉公式(Euler formula)。

同調群,便是去計算一些多邊形或多面體的"點,線,面"的一些數量所產生的東西。進而去計算更一般的集合(或所謂的拓樸空間)。我們可以把球面用三角形的方式填出來。(當然這三角形並不一定是直線構成的,是曲線。)這是所謂的三角剖分(Triangulation)。同調群就是透過三角剖分所定義出來的量。

打個比方,三角形\Delta ABC是由點A, B, C與邊AB,BC,CA所構成。考慮任意的整數m,n,k我們會考慮 m AB + n BC +k CA的組合(稱為一個鏈chain)。我們可以定義邊長的邊界映射\partial,檢而言之,任意向量PQ,其邊界映射為

\partial PQ= Q - P

其實就是把向量PQ送到他的邊界,邊界就是頂點P,Q。(這是高二數學對吧)所以任意一個鍊的邊界會長怎樣呢?

\partial (m AB + n BC +k CA)=m(B-A)+n(C-B)+k(A-C)=(k-m)A + (m-n)B +(n-k)

如果把邊界送到原點(各位同學可以想一下三個點連線出來剛好是原點是有意義的吧!),我們發現 k=m=n。其實就是所謂的循環(cycle)。循環就長這樣:A\to B\to C\to A或者是m(AB+BC+CA),其中m是整數。所以三角形\Delta ABC的同調群是整數。

x^2 +y^2 =1,在平面上為一個圓。在此圓上任取三個點P,Q,R我們有PQ弧,QRRP弧。一樣可以定義m PQ +nQR +kRQ。去計算一些數。我們發現,圓的同調群一樣也是正整數。所以我們會去思考,圓跟三角形是不是有某種關係呢?講個數學的術語:圓與三角形同胚。(其實是由同胚得到同調群相等。)所謂的拓樸就是在研究集合之間的關係。看似不同的兩個東西,在某種"結構"上是相同的。所以拓樸主要是在分類不同的空間關係。

今天的幾何與拓樸課程暫時上到這裡,有機會再繼續介紹吧!

幾何與拓樸簡介 有 “ 8 則迴響 ”

  1. "
    the sphere in 3 dimensional space is only 2 dimensional because “it is missing a dimension" : the height above the sphere.

    http://www.dimensions-math.org/Dim_CH3_E.htm

    三維球面「缺少了一個維度」:離球面之高度。故它只是二維的",

    here, 離球面之高度 could be a function of the other 二維, right?
    that way, we are not missing out information about 離球面之高度

    “球面之高度" is a function of other 二維, so, 三維球面 fi

  2. 三維球面「缺少了一個維度」:離球面之高度。故它只是二維的",
    它只是二維的, 二維曲面 =商空间? (question)

    Frank: when I put a question mark, meaning I am asking you a question, and as I said, I don’t expect you to give an answer right away, but whenever you do, I would appreciate it.

    I also quoted a lot, as food for thoughts.

    “所谓商空间是指一个空间模掉某一等价关系得到的等价类的空间,意味着空间的粘合"。

    粘合 intoa 闭曲面, so we can handle it. I don’t think we can really deal with any open 曲面.

    高斯定理_百度百科

    baike.baidu.com/view/267040.htm – 中華人民共和國 – 轉為繁體網頁

    穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的电荷量成正比(公式如图二)。 … 静电场(见电场)的基本方程之一,它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围 …

    1. 三維球面缺少一個維度是很奇怪的說法。三維球面就是三維,為何會缺一個維度?你的quote說法是不對的。是三維歐氏空間的單位球面是二維,比歐氏空間的維數少一,但不能說缺一個維度,這樣的說法很奇怪。因為空間的維數是空間本身的性質,與外在空間無關。可以比較的是你的幾何物體跟外再空間維度相差多少,但幾何物體的維數是內蘊,只仰賴幾何物體本身。

  3. "
    大範圍和長時間的波動方程的處理僅在弱場的情形下比較成功
    " from qiu;
    ———–
    “能一起构成某一区域边界的两条闭曲线是同调的,独自一人就能构成某一区域边界的闭曲线同调于零。所有同调的曲线构成一个等价类,称为同调类。那么,同调的曲线如何构成群呢?让我们来考察汽车轮胎的内胎,它是三维空间中的二维环面。在环面上有很多封闭曲线,但基本上可分成两类:经圆类m和纬圆类p(类似于地球经纬线,一类沿汽车轮子滚动方向,另一类垂直于该方向)。如果一条闭曲线既沿经圆方向环绕又沿纬圆方向环绕,则可以表示为m与p的线性组合。例如绕经圆2圈绕纬圆3圈,则表示为2m+3p.环面上任意闭曲线具有形式αm+βp(这里α、β是整数);另外同调类之间可以加减。所以,环面上全体同调类的集合构成一个群,它是具有两个生成元m,p的(自由交换)群,同构于两个整数加群的直和。类似地,双环面(两个车胎对接)是具有4个生成元m1,m2,p1,p2的自由交换群,每一同调类具有α1m1+α2m2+β1p1+β2p2″.
    http://www.fxkz.net/forum.php?mod=viewthread&tid=7990

    2d环面=phase space of 汽车轮胎=商空间 of 3d 汽车轮胎, now with the concept of 同调, great

  4. “事实上,商群、商空间利用的是一种特殊的等价关系——同余关系,同余关系可诱导出商集上的运算,并且原**到商集的映射是同态映射,同态映射就是保持运算关系的满射,需要注意的是,在这里不会是单射。
    举报 | 2012-12-29 02:44 回复 rnzjh: 可以说,如果彻底理解了什么是同余关系,就具有了理解数学所需的一半基础。另一半是拓扑性质"

    I like this kind of 基础 concept very much, and if you could write a post about that when you have time, thanks

    I don’t be wrong on 基础 concept

    http://tieba.baidu.com/p/2050179597

    ————
    less 基础 concept, more physics
    also about

    余切空间是切空间的对偶空间,即切空间上线性函数构成的线性空间。这是两个不同的空间,而你那里只有一个空间。如果线性空间中还附加了内积这种代数结构,那么,在某种意义上,原线性空间本身可以视为其对偶空间,即矢量和其对偶矢量可认为生活在同一个空间里。但此时要注意:与某个矢量对偶的矢量是依赖于内积的定义的。内积定义不同,其对偶矢量不同。
    http://www.fxkz.net/forum.php?mod=viewthread&tid=7120

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