[高中數學]多項式

(尚未完成)

多項式的基本定義

令 $x$ 表示一個變數(variable)。假設 $a_{0},\cdots,a_{n}$ 是實數，任何可以寫成形如

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}.$

的樣子的都叫實係數多項式。所有 $x$ 的實係數多項式所構成的集合記為 $\mathbb{R}[x].$ 如果 $a_{n}$ 不等於零，我們就說 $f(x)$ 是一個 $n$ 次多項式，而 $a_{n}$ 就稱為領導係數。(同理我們可以考慮整係數多項式 $\mathbb{Z}[x]$ ,有理係數多項式 $\mathbb{Q}[x]$ 與複係數多項式 $\mathbb{C}[x].$ )我們記 $n=\deg f(x)$ 。假設給兩個多項式

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}$ 與 $g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{m}x^{m}.$

在不要求 $a_{n},b_{m}$ 不為零的情況下，我們可以假設 $n=m$ 。我們定義兩多項式 $f+g$ 為

$(f+g)(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+\cdots+(a_{n}+b_{n})x^{n}.$

如果 $a$ 為一個數，則定義係數積 $af$ 為

$(af)(x)=(aa_{0})+(aa_{1})x+\cdots+(aa_{n})x^{n}.$

所以 $\mathbb{C}[x]$ 就具有了加法與係數積的結構。如果將來你學習了線性代數得概念，就可以知道 $\mathbb{C}[x]$ 構成了一個向量空間(vector space)。甚至我們可以定義兩多項式相乘:

$(fg)(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+\cdots=\sum_{j}c_{j}x^{j},$

其中 $c_{j}=\sum_{k+l=j}a_{k}b_{j}.$ 於是 $\mathbb{C}[x]$ 就構成了一個代數(algebra)。 附註:大致上來講，代數就是一個具有向量空間與向量乘法結構的的集合。更精確的說法是，代數是同時具有向量空間與環的結構的集合。如果 $R$ 是一個環，我們也可以考慮多項式環 $R[x]$ 。

多項式函數

我們可以把多項式視為函數。令 $f$ 是一個複(實，有理，整係數)多項式，任給一個複數 $\alpha$ ，我們定義

$f(\alpha)=a_{n}\alpha^{n}+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_{1}\alpha+a_{0}$

那麼 $f$ 就成為複數域上的函數(當然我們可以考慮實數域上的多項式函數)。如果複數 $\alpha=a+bi$ 滿足 $f(\alpha)=0$ ，則我們稱 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的複數根。(同理，我們可以考慮有理根，實根等等。)

定理:假設 $f(x)$ 是一個實多項式，其對應的多項式函數 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 為連續函數。

定理:(連續函數得中間值性質)假設 $y=f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的一個多項式函數。假設 $a<b$ 為實數，且 $f(a)<0<f(b)$ 。則存在一實數 $a<c<b$ 使得 $f(b)=0$ 。

給一個實函數 $y=f(x)$ 。給定一個 $x\in\mathbb{R},$ 如果極限

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

存在，則我們令極限為 $f'(x)$ 稱為 $f$ 在 $x$ 的導數，並稱 $f$ 在 $x$ 可微分。而微分有下列性質:(第(1),(2)稱為線性。第(3)稱為微分得乘法律)

(1) $(f+g)'=f'+g'$

(2) $(af)'=af'$

(3) $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).$

定理:任給一個多項式函數 $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}$ 都是可微分函數，並且其微分如下:

$f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+\cdots+na_{n}x^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}.$

利用微分的性質，我們發現，我們只需要驗證 $(x^{k})'=kx^{k-1}$ 就可以推論出這個公式。而 $(x)'=1$ 顯然。

驗證:我們用 $f(x)=x^{2}$ 來驗證。而

$\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\frac{x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2}}{h}=2x+h.$

於是 $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x.$

所以假設 $(x^{k})'=kx^{k-1}$ 成立。利用 $x^{k+1}=x^{k}x$ 與微分得乘法律可推得

$(x^{k+1})=kx^{k-1}\cdot x+x^{k}\cdot 1=(k+1)x^{k}$

也成立。利用數學歸納法我們知道 $(x^{k})'=kx^{k-1}$ 對所有的自然數皆成立。

附註:關於微分，我會在另外的文章內談及。

歐幾里得長除法

假設任給兩個多項式 $f(x),g(x)$ 則存在唯一的多項式 $q(x)$ 與 $r(x)$ 使得

$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$

其中 $r(x)=0$ 或 $\deg r(x)\leq \deg g(x)$ 。當 $r(x)=0$ 我們說 $g(x)$ 整除 $f(x)$ 並記為 $g(x)|f(x)$ 。

歐幾里得長除法的證明可以利用數學歸納法，在此我們就不證明。(定理的使用比證明本身還重要)。

定理:(餘式定理)假設 $f(x)$ 式一個複係數多項式， $\alpha$ 是任意一個，且 $f(x)=(x-\alpha)q(x)+r,$ 其中 $r$ 是一個複數。那麼 $r=f(\alpha).$

證明:(利用歐幾里得長除法)將 $x=\alpha$ 代入 $f(x)=(x-\alpha)q(x)+r$ 中立刻得到 $r=f(\alpha)$ 。

由此我們可以推論 $x-\alpha$ 整除 $f(x)$ 若且唯若 $\alpha$ 是 $f(x)=0$ 的根。

所以利用餘式定理，我們馬上可以推論:

定理:(因式定理) $\alpha$ 是多項式 $f(x)$ 的根的充要條件是 $(x-\alpha)|f(x)$ 。

公因式公倍式

因式:假設 $h(x)|f(x),$ 我們稱 $h(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，而 $f(x)$ 是 $h(x)$ 的倍式。

公因式:如果 $h(x)|f(x)$ 且 $h(x)|g(x)$ ，則我們稱 $h(x)$ 是 $f(x),g(x)$ 的公因式。

公倍式:如果 $f(x)|k(x),$ $g(x)|k(x),$ 我們稱 $k(x)$ 是 $f(x),g(x)$ 的公倍式。

最大公因式:如果 $h(x)$ 是 $f(x),g(x)$ 的公因式，並且如果任意一個 $f(x),g(x)$ 的公因式 $a(x)$ 使得 $a(x)|h(x),$ 我們稱 $h(x)$ 是 $f(x),g(x)$ 的一個最大公因式。

最小公倍式:如果 $k(x)$ 是 $f(x),g(x)$ 的公倍式使得對任意其他的公倍式 $b(x)$ 恆有 $k(x)|b(x),$ 我們稱 $k(x)$ 是 $f(x),g(x)$ 的一個最小公倍式。

定理:給定兩多項式 $f(x),g(x)$ 。

(1)如果 $h_{1}(x),h_{2}(x)$ 是 $f(x),g(x)$ 的最大公因式，則 $h_{1}(x)=ch_{2}(x),$ 其中 $c\neq 0$ 為一個常數。

(2)如果 $k_{1}(x),k_{2}(x)$ 是 $f(x),g(x)$ 的最小公倍式，則 $k_{1}(x)=ck_{2}(x),$ 其中 $c\neq 0$ 為一個常數。

換句話說，如果要求最大公因式或最小公倍式的最高次項的係數是 $1$ 時，我們能唯一的決定這個最小公倍式與最大公因式。此時我們記 $(f(x),g(x))$ 為最大公因式， $[f(x),g(x)]$ 為最小公倍式。

定理:令 $d(x)$ 表示 $f(x),g(x)$ 的最大公因式。存在兩多項式 $u(x),v(x)$ 使得

$d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)$ 。

配方法解二次多項式的根與判別式

這個部份我想來研究(實)二次多項式 $f(x)=ax^{2}+bx+c=0$ 的零根。首先，我們來複習一下乘法公式。

令 $A,B$ 表示兩複數。則 $(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}.$ 於是我們開始思考，是否能夠把 $ax^{2}+bx+c=0$ 變成型如 $(A+B)^2=0$ 的型式。由於 $f$ 是二次多項式， $a\neq 0$ 。所以我們把兩邊同除 $a$ 之後並把 $c$ 移項到等號右邊之後得到了

$\displaystyle x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$

這時候我們令 $A=x,$ 那麼我們自然會期待 $\displaystyle 2AB=\frac{b}{a}x.$ 所以我們知道 $\displaystyle B=\frac{b}{2a}.$ 但為了得到 $(A+B)^{2}$ ，我們還必須在 $A^{2}+2AB$ 中加入 $B^{2}.$ 所以我們把上式兩邊同時加入 $B^{2}=b^{2}/4a^{2}.$ 於是發現

$\displaystyle x^{2}+2x\frac{b}{2a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}.$

左邊等於 $(x+b/2a)^2.$ 為一完全平方數。如果 $b^{2}-4ac<0$ 那麼方程式並沒有實數解。令 $D=b^{2}-4ac$ ，我們稱 $D$ 是 $f$ 的判別式。那麼原式可以改寫為

$\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{D}{4a^{2}}.$

(1)當 $D>0$ 時，我們知道 $\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}.$ 於是 $\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.$ 就是方程的兩組解。

(2)當 $D=0$ 時，我們知道 $\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$ 為重根。

(3) $D<0$ 時，我們有兩個共軛複數解。 $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{-D}i}{2a}$ 。其中 $i=\sqrt{-1}$ 。

韋達定理

假設 $\alpha,\beta$ 是二次多項式 $f(x)=ax^{2}+bx+c=0$ 的兩根。那麼我們知道 $(x-\alpha)(x-\beta)|f(x)$ 。利用比較最高項係數，我們知道 $f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$ 。換句話說 $f(x)=ax^{2}-a(\alpha+\beta)+a\alpha\beta$ 。比較係數之後，我們可以得到

$\displaystyle\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ 且 $\displaystyle\alpha\beta=\frac{c}{a}$ 。

假設 $\alpha,\beta,\gamma$ 是三次多項式 $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ 的三根。利用類似的想法我們可以推得 $f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ 。如此一來:

$\alpha+\beta+\gamma=-b/a,$ $\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=c/a$ , $\alpha\beta\gamma=-d/a.$

令 $r_{1},r_{2},\cdots,r_{n}$ 表示 $n$ 個相異複數。我們定義一 $n$ 次多項式如下

$\displaystyle f(x)=(x+r_{1})(x+r_{2})\cdots (x+r_{n})=\prod_{i=1}^{n}(x+r_{i}).$

其中 $\prod$ 表示連乘積符號。(換句話說 $\prod_{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}$ .)那麼。由於 $f(x)$ 是 $n$ 次多項式，我們可以把 $f$ 改寫為 $f(x)=e_{0}+e_{1}x+e_{2}x^{2}+\cdots+e_{n}x^{n}.$ 那麼我們知道 $e_{0},e_{1},\cdots,e_{n}$ 是 $r_{1},r_{2},\cdots,r_{n}$ 的函數。事實上，對任意的 $0\leq k\leq n$ 恆有

$\displaystyle e_{k}(r_{1},\cdots,r_{n})=\sum_{1\leq i_{1}<\cdots<i_{k}\leq n}r_{i_{1}}r_{i_{2}}\cdots r_{i_{k}}.$

舉例來說， $e_{0}=r_{1}r_{2}\cdots r_{n}$ ， $e_{1}=r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n}.$ 定理(韋達定理一般型式)如果 $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}$ 是一個複系數多項式，並且 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ 是此多項式的 $n$ 個根。則

$\displaystyle e_{i}(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})=(-1)^{i}\frac{a_{i}}{a_{n}}.$

假設 $r_{1},r_{2}$ 是二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 的兩根。那麼利用韋達定理我們知道 $r_{1}+r_{2}=-b/a$ 且 $r_{1}r_{2}=c/a$ 。如果我們考慮 $(r_{1}-r_{2})^{2}$ 那麼利用乘法公式可知

$\displaystyle (r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}=\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}=\frac{D}{a^{2}}.$

我們令 $\Delta=r_{1}-r_{2}.$ 那麼我們立刻推得 $a^{2}\Delta^{2}=D.$ 所以我們可以把這定義推廣到更一般的 $n$ 次多項式上。

定義:假設 $r_{1},\cdots,r_{n}$ 是相異複數，並且是 $n$ 次多項式 $f$ 的根。我們令

$\displaystyle\Delta=\prod_{1\leq i<j\leq n}(r_{i}-r_{j}).$

我們稱 $D=\Delta^{2}$ 為多項式 $f$ 的判別式。

實係數多項式共軛根成對出現的證明

所謂的實係數多項式共軛根成對出現指的是:如果 $\alpha$ 是實係數多項式 $f(x)$ 的一根，那麼他的共軛複數 $\overline{\alpha}$ 也是多項式 $f(x)$ 的一根。( $\overline{\alpha}=a-bi$ 稱為複數 $\alpha$ 的共軛複數。) 證明:由於 $f(\alpha)=0$ ，因此