[高中數學]外森比克(Weitzenböck’s)不等式

1961國際數學奧林匹亞試題

令 $a,b,c$ 分別表示三角形 $\Delta ABC$ 的三邊。令 $\Delta$ 表示三角形的面積。試證明

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3}\Delta.$

證明: 由三角形面積等於底乘高除2可知 $\Delta=ab\sin C/2.$ 令 $T=a^{2}+b^{2}+c^{2}-4\sqrt{3}\Delta,$ 我們只須證明 $T\geq 0.$ 利用餘弦定理可知 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C.$ 於是

$T=2a^{2}+2b^{2}-2ab\cos C-2\sqrt{3}ab\sin C.$

利用正餘弦迭合可知道 $\displaystyle\cos C+\sqrt{3}\sin C=2\sin (\frac{\pi}{3}+C).$ 利用 $-1\leq\sin\theta\leq 1$ 可推得

$\displaystyle T=2\left(a^{2}+b^{2}-2ab\sin (\frac{\pi}{3}+C)\right)\geq 2(a^{2}+b^{2}-2ab)=2(a-b)^{2}.$

因此 $T\geq 0$ 得證。

[高中數學]外森比克(Weitzenböck’s)不等式有 “ 3 則迴響 ”

試試看…
$\begin{eqnarray} \hspace{-0.0in}\text{SINR}_k\hspace{-0.in}&=&\frac{P_k\|\mathbf{h}_k\|^2\cos^2\theta_k} {1+\|\mathbf{h}_k\|^2\sin^2\theta_k \displaystyle{\sum_{j\in\mathcal{S}\setminus\{k\}}}%^{(m)} P_j|\mathbf{g}_k^H\hat{\mathbf{h}}_j|^2}\nonumber\\ &=&\hspace{-0.in}\frac{P_k\|\mathbf{h}_k\|^2\cos^2\theta_k} {1+\|\mathbf{h}_k\|^2\sin^2\theta_k \displaystyle{\sum_{j\in\mathcal{S}}}%^{(m)} P_j|\mathbf{g}_k^H\hat{\mathbf{h}}_j|^2}%\nonumber\\ &\approx&\frac{P_k\|\mathbf{h}_k\|^2\cos^2\theta_k} {1+\rho\|\mathbf{h}_k\|^2\sin^2\theta_k}\nonumber\\ &\defeq& P_k\widehat{\gamma}_k. \end{eqnarray}$

回應

剛剛失敗了，我只好…
$\displaystyle \text{SINR}_k \geq\frac{\rho\|\mathbf{h}_k\|^2\cos^2\theta_k} {1+\rho\|\mathbf{h}_k\|^2\sin^2\theta_k} \stackrel{def}{=}\widehat{\text{SINR}}_k$

回應

frankliou 說道：

04/19/2012 於 2:42 下午

我把你的字體變大了。會比較好看。

回應

1961國際數學奧林匹亞試題

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