[高中數學]內積與向量

平面幾何與向量內積

幾何物體在平移，旋轉，鏡射的作用之後，幾何物體本身的形狀並沒有任何的改變，邊長不變，對應的角度也不會變。透過這個特性，想研究幾何物體，我們便將幾何物體放置於座標系之中，其物體的幾何特性並不會因為座標在上述作用之後就有所改變，於是我們可以透過代數的方法來研究幾何學，這樣的方法簡化了很多輔助線，以及使用古典幾何繁複的證明。舉例來說，我們將三角形ABC旋轉，並且平移至新的座標A'B'C'。雖然三角形的座標不同，但是這兩個一樣還是全等三角形。

附註:我們說兩幾何物體特性相等指的是這兩個幾何物體是「全等」的。

因此，為了方便我們研究幾何物體，我們便將幾何物體放置在一個方便我們研究的座標系中。例如，將某個頂點放置在原點。或者是將三角形的外心放置在原點。至於該怎麼放置我們的幾何物體得仰賴於我們對問題研究的經驗，這沒有一個標準答案。而「位移向量」的概念正是將幾何物體的某個頂點放在原點，如此放置座標系的確是有他的方便之處，而最大的好處就是可以透過所謂的「內積」去計算出幾何物體內的某個角度，或者是邊長。

假設給定平面中的兩點P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})，由P至Q的位移向量定義為

\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})

此位移向量的長度定義為\overline{PQ}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}。請注意，由Q至P的位移向量為\overrightarrow{QP}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})，如圖2所示。

我們發現這兩個向量長度相等但是方向相反。這不僅僅是告訴我們，位移向量的概念不僅包含了長度，也包含了方向性。位移向量\overrightarrow{PQ}的實際意義是說，我們怎麼去描述從P沿著\overrightarrow{PQ}的方向移動至Q，\overrightarrow{PQ}不只描述了物體的移動方向，也描述了物體行走的距離。觀察\overrightarrow{PQ}與\overrightarrow{QP}向量的x座標與y座標，我們發現一個有趣的事實

x_{2}-x_{1}=-(x_{1}-x_{2}),\quad y_{2}-y_{1}=-(y_{1}-y_{2})

也就是說其x座標與y座標分別差一個負號。

假設\overrightarrow{u}=(x,y)是一個位移向量，且a為一個實數，那麼我們定義

a\cdot\overrightarrow{u}=(ax,ay)

稱為向量的係數積。

透過向量的係數積定義就可以發現\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{QP}。因此，如果給了一個向量\overrightarrow{u}，-\overrightarrow{u}的幾何意義便是與原向量同長度但是方向相差180^{\circ}的向量。

如果給定平面中一個三角形與其三個頂點P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),R(x_{3},y_{3})，

假設我們將 點平移至原點得到三位移向量\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})與\overrightarrow{PR}=(x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1})，\overrightarrow{QR}=(x_{3}-x_{2},y_{3}-y_{2})，如圖3所示。


那麼觀察上述向量的關係我們發現：

x_{3}-x_{1}=(x_{3}-x_{2})+(x_{2}-x_{1}),\quad y_{3}-y_{1}=(y_{3}-y_{2})+(y_{2}-y_{1})

也就是說呢，\overrightarrow{PR}向量的x座標與y座標分別是\overrightarrow{PQ}與\overrightarrow{QR}的x座標與y座標的和。

假設任給兩個位移向量\overrightarrow{u}=(u_{1},u_{2}),\overrightarrow{v}=(v_{1},v_{2})，我們定義

\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})

稱為向量\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}的和。

由此定義，我們不難發現\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}這就給出了向量和的幾何意義。

任給平面中的三角形ABC，將A平移至原點，並且B,C的新座標分別為B(x_{1},y_{1}),C(x_{2},y_{2})。為了讓符號簡單，我們用\overrightarrow{u}表\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{v}表\overrightarrow{AC}，
由餘弦定理可知

\displaystyle\cos A=\frac{\overline{AB}^{2}+\overline{AC}^{2}-\overline{BC}^{2}}{2\overline{AB}\cdot\overline{AC}}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|}  (1)

我們定義向量\overrightarrow{u}與\overrightarrow{v}的內積為

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}

則我們發現

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|\cos A，

如圖4所示。

由此我們可以得到一個重要的不等式：

\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right|\leq\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|

所以如果知道了向量的內積，我們便可以求出其向量的夾角。反之，如果知道了向量的夾角，也可以求得向量的內積。令一方面，我們也發現到

\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}=\left|\overrightarrow{u}\right|^{2}

所以知道了向量的內積，也可以求得向量的長度。以下作為向量內積的應用，我們來計算三角形的面積。如圖4，我們知道，三角形的面積為

\displaystyle\triangle=\frac{1}{2}|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\sin A.

因此我們可得2\triangle=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|\sin A，由於\sin^{2}A+\cos^{2}A=1，將上式與(1)平方之後相加得到

(2\triangle)^{2}+(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})^{2}=|\overrightarrow{u}|^{2}|\overrightarrow{v}|^{2}.

因此我們得到

\triangle=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{u}\right|^{2}\left|\overrightarrow{v}\right|^{2}-(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})^{2}}

再將\overrightarrow{u}=(x_{1},y_{1}),\overrightarrow{v}=(x_{2},y_{2})帶入之後可得

\displaystyle\triangle=\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|,

其中我們使用到了等式

(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})-(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}=(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}.

我們記

\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right|=ad-bc

那麼三角形的面積公式可以改寫為

\triangle=\frac{1}{2}|\left| \begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \\ \end{array} \right||

如果我們想要求由向量\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}所張成的平行四邊形面積，那麼從三角形面積為平行四邊形的二分之一知道

\Box=|\left| \begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \\ \end{array} \right||

其中我們稱

\left| \begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \\ \end{array} \right|

為向量\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}的行列式值。

雖然我們人為的定義了一些數學概念，如向量和與係數積，向量的內積與行列式等等，儘管這些定義看起來似乎沒有任何的意義，然而只要了解了定義是為了表現出幾何的概念，那麼這樣的定義也不是那麼突兀。也就是說，數學的定義是有其目的的，並非天外飛來一筆。

附註:本篇文章談了

(1)向量(解析幾何)的由來

(2)內積定義的由來

(3)行列式的由來

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