[微分方程]可換的線性微分算子與代數幾何

假設 $R$ 是某個具有交換環結構的函數空間:如 $R=C^{\infty}((a,b);\mathbb{C}),$ $R=\mathbb{C}[[x]]$ 冪級數環，多項式環 $R=\mathbb{C}[x]$ 等等。我們記 $D=d/dx$ 。給定 $a_{1},\cdots,a_{n}$ 形如

$L=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_{0}:R\to R$

的微分算子稱為 $n$ 階線性微分算子，其中我們要求 $a_{n}\neq 0$ (本文中我們均假設 $a_{n}\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ )。所有的線性微分算子所構成的集合記為 $R[D]$ 利用微分方程的基本定理我們知道

$L\psi=0$

構成有限維的複向量空間(本文中所提到的向量空間，代數，均假設在複數域上)。如果 $\lambda\in\mathbb{C}$ ，則向量空間 $E(\lambda)=\{\psi:L\psi=\lambda\psi\}$ 也是有限維向量空間。

附註:我們可以透過變換，假設 $a_{n-1}=0$ 。

假設 $L_{1},L_{2}\in R[D]$ 我們定義

$[L_{1},L_{2}]=L_{1}\circ L_{2}-L_{2}\circ L_{1}$

當 $[L_{1},L_{2}]=0$ 我們稱 $L_{1},L_{2}$ 是可換的。

首先我們來看個例子:令 $P=D^{2}-2p(x)$ 且 $\displaystyle Q=D^{3}-3p(x)D+\frac{3}{2}p'$ ，計算 $[L_{1},L_{2}]$ 之後發現

$\displaystyle [P,Q]=\frac{1}{2}p'''-6pp'.$

如果我們取 $p$ 滿足 $p'''=12pp'$ 則 $[P,Q]=0$ 。直接計算可以發現:存在 $g_{2},g_{3}$ 使得

$\displaystyle Q^{2}=P^{3}-\frac{g_{2}}{4}P-\frac{g_{3}}{4},$ (*)

換句話說，如果我們令

$\displaystyle f(X,Y)=X^{3}-Y^{2}-\frac{g_{2}}{4}X-\frac{g_{3}}{4}$

則 $f(P,Q)=0$ 。

令 $E_{\lambda}$ 表示 $P$ 對應於 $\lambda$ 的特徵空間。那麼 $\dim E_{\lambda}=2$ 。因為 $PQ=QP$ 所以 $Q:E_{\lambda}\to E_{\lambda}$ 可以表示成 $2\times 2$ 的矩陣。因為我們考慮的是複數域，於是 $Q$ 在 $E_{\lambda}$ 中也有特徵值。所以我們取 $\mu$ 是 $Q$ 在 $E_{\lambda}$ 中的特徵值，且 $Q\psi=\mu\psi$ 。由於 $\psi\in E_{\lambda},$ $P\psi=\lambda\psi$ 。利用(*)我們證明了

$\displaystyle\mu^{2}=\lambda^{3}-\frac{g_{2}}{4}\lambda-\frac{g_{3}}{4}.$

定理1:假設 $[L_{1},L_{2}]=0$ 則存在多項式 $f(X,Y)\in\mathbb{C}[X,Y]$ 使得 $f(L_{1},L_{2})=0.$

假設 $L$ 是給定的一個線性微分算子。我們令 $B_{L}=\{L':[L',L]=0\}$ 。則 $B_{L}$ 是交換代數。以上述例子

$\displaystyle B_{P}\cong\mathbb{C}[X,Y]/(Y^{2}-X^{3}-\frac{g_{2}}{4}X-\frac{g_{3}}{4}).$

定理1的證明:

假設 $\deg L_{1}=m$ 且 $\deg L_{2}=n$ 。任給一個 $\lambda\in\mathbb{C}$ ，考慮 $L_{1}$ 的 $\lambda$ 特徵空間 $V$ 。則 $V$ 是有限維向量空間。因為 $[L_{1},L_{2}]=0$ ，我們推得 $V$ 是 $L_{2}$ 不變子空間。於是 $L_{2}$ 可以在 $V$ 上找到一特徵向量 $\psi=\psi_{\lambda}$ 。記 $L_{2}\psi_{\lambda}=\mu\psi_{\lambda}$ 。觀察一下，如果我們可以找到 $f(X,Y)$ 使得 $f(L_{1},L_{2})=0$ 。則我們發現 $f(\lambda,\mu)=0$ 。換句話說，如果可以找到多項式 $f(X,Y)$ 使得 $f(\lambda,\mu)=0$ ，我們就有機會找到這樣的 $f(X,Y)$ 。

假設 $\{\psi_{1},\cdots,\psi_{m}\}$ 是 $V$ 上的一組基底且他的Wronskian矩陣在 $x=0$ 時為單位矩陣(The fundamental solution to $L_{1}\psi-\lambda\psi=0$ )。在這個基底表示下 $L_{2}$ 的矩陣元素 $a_{ij}(\lambda)$ 為 $\lambda$ 的多項式。令 $A(\lambda)=[a_{ij}(\lambda)]\in M_{m}(\mathbb{C}[\lambda])$ 定義

$f(\lambda,\mu)=\det(\mu I_{m}-A(\lambda)).$

多項式 $f(X,Y)$ 及為所求。原因如下: $f(L_{1},L_{2})$ 為有限次的線性微分算子，如果 $f(L_{1},L_{2})\neq 0$ 則 $\ker f(L_{1},L_{2})$ 為有限維向量空間。但 $\ker f(L_{1},L_{2})$ 包含所有 $L_{1}$ 的特徵空間且 $L_{1}$ 的特徵空間為無限維:雖然每個 $E_{\lambda}$ 都是有限維空間，但 $\bigoplus_{\lambda\in\mathbb{C}}E_{\lambda}$ 為無限維空間。會與 $f(L_{1},L_{2})\neq 0$ 產生矛盾。於是 $f(L_{1},L_{2})=0$ 。

範例: $B_{P}=\mathbb{C}[P,Q]$

證明:假設 $R\in B_{P}$ ，並且 $\deg R=n+1$ 。由於 $2,3$ 互質，所以存在 $i,j$ 使得 $2i+3j=n+1$ 。於是可以取得 $c\in\mathbb{C}$ 使得 $R-cP^{j}Q^{i}$ 的次數至多 $n$ 。用歸納法假設可知存在多項式 $g(X,Y)\in\mathbb{C}[X,Y]$ 使得 $R-cP^{j}Q^{i}=g(P,Q)$ 。於是 $R$ 就可以表示成 $P,Q$ 的多項式。考慮映成映射 $\Phi:\mathbb{C}[X,Y]\to B_{P}$ 為 $h\mapsto h(P,Q)$ 。由於 $P,Q$ 滿足(*)的關係式。所以 $\ker \Phi=(f(X,Y))$ 。所以我們證明了 $B_{P}\cong\mathbb{C}[X,Y]/(f(X,Y))$ 。

更一般的

推論:假設 $L_{1},L_{2}$ 是分別 $n,m$ 次線性微分算子且 $[L_{1},L_{2}]=0$ 與 $\mbox{g.c.d}(n,m)=1$ 。考慮 $B_{L_{1}}$ 。則 $B_{L_{1}}=\mathbb{C}[L_{1},L_{2}]\cong\mathbb{C}[X,Y]/(f(X,Y))$ 其中 $f(L_{1},L_{2})=0.$ 我們可以取得多項式 $f(X,Y)$ 是不可約多項式(irreducible polynomial)。所以我們得到的曲線是不可約的曲線。

事實上，我們可以使用另外一種方法來找出 $f$ 。令 $R=L_{1}^{m}-c_{1}L_{2}^{n}$ 其中 $c_{1}$ 是常數使得 $R$ 為至多 $mn-1$ 次。因為 $R$ 與 $L_{1},L_{2}$ 可換，所以 $R$ 的最高次項為常數。所以利用歸納法，我們可以找到多項式 $g(X,Y)$ 使得 $R=g(L_{1},L_{2})$ 。因此 $L_{1}^{m}-c_{1}L_{2}^{n}-g(L_{1},L_{2})=0$ 。令 $f(X,Y)=X^{m}-c_{1}Y^{n}-g(X,Y)$ ，我們就得到了 $f(X,Y)$ 。

利用上述結果我們知道仿射概形(affine scheme) $C^{\circ}=\mbox{Spec} B_{L}$ 為一平面曲線。我們稱 $C^{\circ }$ 為這些線性算子的譜(spectrum)。事實上，我們可以把這個仿射曲線給完備化(把無窮遠點$給加入，one-point-completion in the Zariski topology or one point compactification in the complex analytic topology)使之成為光滑的影射曲線 $C$ (smooth projective curve)。我們依然稱此影射曲線為 $B_{L}$ 中的微分算子的譜(spectrum)。換句話說 $C=\mbox{Spec} B_{L}\cup\{p\}$ 。所以以 $B_{P}$ 為例，我們得到的完備化後的曲線就是橢圓曲線 $\mathcal{E}$ 。而 $[P,Q]=0$ 等價於 $p$ 是Weierstrass $\wp$ 函數:

$\displaystyle \wp=\frac{1}{z^{2}}+\sum_{\omega\in\Lambda\setminus 0}\left(\frac{1}{(z-\omega)^{2}}-\frac{1}{\omega^{2}}\right)$

其中 $\Lambda$ 是 $\mathbb{C}$ 中的格子點(Lattice)。事實上，我們可以把 $\mathbb{C}$ 看成是 $H^{1}(\mathcal{E},\mathcal{O}_{\mathcal{E}})$ 且 $\Lambda=H^{1}(\mathcal{E},\mathbb{Z})$ 。Abel Jacobi映射:

$\displaystyle u:\mathcal{E}\to J(\mathcal{E})=H^{1}(\mathcal{E},\mathcal{O}_{\mathcal{E}})/H^{1}(\mathcal{E},\mathbb{Z})$

是一個同構(在橢圓曲線的時候是同構)。不仿假設 $\Lambda=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\omega,$ 其中 $\omega\in\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}:\mbox{Im} z>0\}$ 。我們引入橢圓曲線的 $\theta$ 函數

$\displaystyle\theta=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi i(n^{2}\omega+2nz)}.$

那麼 $\theta$ 函數跟 $\wp$ 函數有以下的關係:

$\displaystyle\wp(z)=k-\frac{d^{2}}{dz^{2}}\log\theta(z+\frac{1}{2}(1+\omega)).$

其中 $k$ 唯一常數。因此我們找到了橢圓曲線與KdV方程解之間的關聯性。

定理: (Krichever)假設 $L$ 是一個線性微分算子，考慮交換代數 $B_{L}$ 。令 $C$ 表示 $\mbox{Spec} B_{L}$ 的單點緊緻化曲線並且 $p$ 為該點。令 $A(C,p)$ 表示所有定義在 $C$ 上的半純函數(meromorphic function)並且在 $C-p$ 解析。則存在同構 $A(C,p)\cong B_{L}$ 。