[複變]代數基本定理的簡單證明

如果 $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 是複解析函數，我們稱 $f$ 是entire function。

定理: (Liouville 定理) 如果 $f$ 是有界的entire function，則 $f$ 必為常數。

證明:任給 $r>0,$ 函數 $f$ 在 $|z|<r$ 中可以寫成以下冪級數展開

$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n},$

其中 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z^{n+1}}dz,$ 且 $\gamma=\{re^{i\theta}\in\mathbb{C}:\theta\in [0,2\pi]\}.$ 利用 $f$ 有界，我們得到

$\displaystyle|a_{n}|\leq \frac{M}{r^{n}}.$

取 $r\to\infty,$ 我們推得 $a_{n}=0,$ $n\geq 1$ 。因此 $f(z)=a_{0}$ 是常數函數。

代數基本定理: 任何次數 $n\geq 1$ 的複多項式 $P(z)\in\mathbb{C}[z]$ 必定有根。

證明: 假設 $P(z)$ 沒有根，則 $1/P(z)$ 是複數域上的entire 函數。由於

$\displaystyle\lim_{z\to\infty}\frac{1}{P(z)}=0.$

所以 $P(z)$ 有界。於是利用Liouville定理， $P(z)=c,$ $c\in\mathbb{C}-\{0\}$ 。會與 $\deg P(z)>1$ 產生矛盾，於是 $P(z)$ 必定有根。

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