[拓樸]定向流形中的具向交點數

假設 $M$ 是一個 $n$ 維光滑流形．如果存在 $M$ 上的一個地圖集 $\{(U_{\alpha},\varphi_{\alpha})\}$ 使得

$\det (\varphi_{\alpha}\circ\varphi_{\beta}^{-1}(x))>0,\quad x\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}$

則我們稱 $M$ 是一個可定向流形．如果 $M$ 是一個可定向流形，很自然的，任給一點 $x$ 其切空間 $T_{x}M$ 為 $n$ 維可定向向量空間．且 $\displaystyle\left\{\frac{\partial}{\partial x^{i}}(x):1\leq i\leq n\right\}$ 是一組正向基底．

假設 $A,B$ 分別是光滑流形 $M$ (此處定義不需要假設 $M$ 是可定向)中的 $k$ 與 $n-k$ 維子流形．假設 $p\in A\cap B$ 是一孤立點，且

$T_{p}M=T_{p}A\oplus T_{p}B.$

我們說 $A,B$ 在 $p$ 點橫斷相交．如果 $A,B$ 在 $A\cap B$ 上的每個點都橫斷相交，我們稱 $A,B$ 橫斷相交．

假設 $M,A,B$ 同上，且 $M,A,B$ 可定向．假設 $A\cap B$ 是有限集合，且 $A,B$ 橫斷相交．取 $p\in A\cap B$ ，我們定義 $A$ 與 $B$ 在 $p$ 點的具向指標 $\iota_{p}(A,B)$ 如下：取 $\{v_{1},\cdots,v_{k}\}$ 是 $T_{p}A$ 的一組正向基底， $\{w_{1},\cdots,w_{n-k}\}$ 是 $T_{p}B$ 的一組正向基底．如果 $\{v_{1},\cdots,v_{k}\}\cup\{w_{1},\cdots,w_{n-k}\}$ 是 $T_{p}M$ 的一組正向基底，我們指定 $\iota_{p}(A,B)=+1$ 如果 $\{v_{1},\cdots,v_{k}\}\cup\{w_{1},\cdots,w_{n-k}\}$ 是 $T_{p}M$ 的一組負向基底，我們指定 $\iota_{p}(A,B)=-1$ ．我們定義 $A,B$ 的具向交點數為

$\displaystyle\#(A,B)=\sum_{p\in A\cap B}\iota_{p}(A,B).$

則我們可以驗證

$\displaystyle\#(B,A)=(-1)^{k(n-k)}\#(A,B).$

任給 $N$ 是緊致可定向的連通 $n$ 維光滑流形．我們可以證明 $H_{n}(N,\mathbb{Z})$ 與 $\mathbb{Z}$ 同構．我們可以指定其生成元維 $[N]$ 稱為 $N$ 的基本類(fundamental class)．指定的方法如下．由於 $N$ 可定向，存在一個恆不為零 $n$ 型 $\mu\in \Gamma(N,\Lambda^{n}N)$ 使得局部上可表示為 $\mu=f(x)dx^{1}\wedge\cdots\wedge dx^{n}$ ．我們稱 $\mu$ 為體積元．我們可以選擇 $\mu$ 使得

$\displaystyle\int_{N}\mu=1.$

由於我們可以把 $\int\mu$ 視為 $H_{n}(N,\mathbb{Z})$ 上的群同態：

$\displaystyle\int\mu:H_{n}(N,\mathbb{Z})\to\mathbb{Z},\quad [c]\mapsto \int_{c}\mu.$

我們取此時的 $[\mu]$ 為 $H_{dR}^{n}(N)$ 中的生成元（或稱為基底），其對偶基底就記為 $[M]$ ．

所以 $H_{n}(M,\mathbb{Z})$ 與 $H_{k}(A,\mathbb{Z})$ 與 $H_{n-k}(B,\mathbb{Z})$ 分別由 $[M],[A],[B]$ 所生成．又 $j^{A}:A\to M$ 包含映射誘導出群同態 $j_{*}^{A}:H_{k}(A,\mathbb{Z})\to H_{k}(M,\mathbb{Z})$ 同理 $j^{B}:B\to M$ 誘導出 $j_{*}^{B}:H_{n-k}(B,\mathbb{Z})\to H_{n-k}(M,\mathbb{Z})$ ．我們將 $j^{A}_{*}[A]$ 簡單記為 $[A]$ 將 $j_{*}^{B}[B]$ 簡單記為 $[B]$ ．於是我們將 $[A]$ 與 $[B]$ 分別視為 $H_{k}(M,\mathbb{Z})$ 與 $H_{n-k}(B,\mathbb{Z})$ 中的成員．於是我們可以定義

$([A],[B])=\#(A,B).$

稱為 $[A]$ 與 $[B]$ 的交點乘積(intersection product, 其實個人不喜歡這翻譯，但暫時以此名字)．事實上，這個交點乘積可以擴充到以下的雙線性映射

$\left(\cdot,\cdot\right):H_{k}(M,\mathbb{R})\times H_{n-k}(M,\mathbb{R})\to \mathbb{R}.$

指定一個 $[B]\in H_{n-k}(M)=H_{n-k}(M,\mathbb{R})$ 我們可以把 $(\cdot,[B])$ 視為 $H_{k}(M)$ 上的線性泛函．利用對偶性 $H_{k}(M,\mathbb{R})^{*}\cong H_{dR}^{k}(M,\mathbb{R})$ ，我們可以找到一個 $k$ 閉型(closed form) $\eta_{B}$ 使得

$\displaystyle \int_{[A]}\eta_{B}=([A],[B]).$

同理，任給 $[A]\in H_{k}(M)$ 我們也可以找到 $n-k$ 閉型 $\eta_{A}$ 使得

$\displaystyle\int_{[B]}\eta_{A}=([A],[B]).$

所以 $\eta_{A}\wedge\eta_{B}$ 指定了一個 $n$ 型( $n$ -form)，事實上，

$\displaystyle\int_{M}\eta_{A}\wedge\eta_{B}=([A],[B])$

換言之，具向交點數可以用微分型來計算．而這套拓樸學的方法不只可以用來研究微分流形，還可以用來研究複代數幾何．原因是因為，複流形都是可定向流形，光滑的複影射代數簇都是一些緊緻光滑複流形．於是我們就可以把它拿來研究影射代數簇的交點數．詳情我們之後再來談．

應用：令 $T=S^{1}\times S^{1}$ 表示二維輪胎面．則同調群 $H_{1}(T,\mathbb{Z})$ 同構于 $\mathbb{Z}^{2}$ ． torus.with.axes

如圖所示．在 $T$ 上我們劃出兩個圓 $u,v$ 我們決定好 $u,v$ 的方向性後( $u$ 逆時針旋轉與 $v$ 順時針旋轉)根據切向量的方向 $\#(u,v)=+1$ ．同時 $\{[u],[v]\}$ 決定了 $H_{1}(T,\mathbb{Z})$ 的一組基底．

類似的如果 $S$ 是一個緊緻可定向的連通曲面．我們可以在 $H_{1}(S,\mathbb{Z})$ 上選擇一組基底 $\{a_{i},b_{j}:1\leq i,j\leq g\}$ 使得 $\#(a_{i},a_{j})=\#(b_{i},b_{j})=0$ 且 $\#(a_{i},b_{j})=\delta_{ij}$ ．我們可以沿著 $a_{i},b_{j}$ 切開後，將 $S$ 表示成一個多邊形．如圖所示．