微分方程與微分算子

時間: Tue Jul 17 16:36:44 2007
本篇作於pttMath版
目的：希望提供一些學生微分方程方面的看法。

本文：

在此我想回答一些網友(非數學專業的)關於微分算子與微分方程的一些概念。微分方程的問題開始主要是來自於自然哲學(物理學)，不管是常微分方程，或是偏微分方程。

假設 $x(t)$ 表直點的位置與時間的關係，令 $v(t)$ 表速度與位置的關係，那麼一次以下的常微分方程

$\displaystyle\frac{d}{dt}x(t)=v(t)$ , $x(0)=p$ 。

描述了物體的運動現象。隨著各類科學的發展，微分方程的內容也變得更多樣性了。從簡單的一次線性微分方程，發展到了高階非線性微分方程，通常我們可以用以下的微分方程來描述所有的常微分方程：

$\displaystyle\frac{dx}{dt}=f(t,x)$ ， $x(0)=p$ 。

( $x$ 可以是向量值，可以是純量)。而 $f$ 是一個實值或向量值的函數(real-valued or vector valued functions)。我們必須思考，這樣的問題是否真的可以解？如果解本身是不存在的，那麼何來去解他呢？但，事實上，在微分方程的歷史中，剛開始數學家都是一股腦兒的用很多特殊的技巧去解方程，而非先證明解的存在性。然而，能夠用一些初等技巧解決的方程是少之又少。於是，數學家陷入了瓶頸。

在方程的歷史中，有一樣驚人的的創作，是出自於富利葉(Fourier)之手的，利用三角級數解決熱傳導的問題。當然，在那之前，數學家也思考用解析(冪級數)的方式去解微分方程的問題。Fourier的做法以現今數學觀點來看是相當不嚴謹的。然而，我們也不得不佩服他的獨創性。另外一個著名的工作就是出自於Volterra。Volterra利用方程的方法去研究生物生態學，(是他的一位好友讓他去研究義大利附近的海域魚群的生態)。接下來，微分方程漸漸地以一種專門的研究出現在數學的領域中。在那之前，數學家並不會專門的去研究方程，而是在致力於解決某一類的問題，如來自物理學的，來自於化學的，或是來自於幾何學等等的。

後來，Fredeholm研究積分方程提供了線性代數的方法解決積分方程的問題。這讓微分方程有了另外一種觀點(似乎並不是新的觀點)。當然在那同時期，恰巧是量子物理學正大肆橫掃古典物理的革命時期。積分方程，微分方程，到了Hilbert的手中，漸漸的融合成現今的泛函分析的起源。而解決微分方程，就用了線性代數的觀點，就是算子的概念。回到我們之前的問題。

首先我們必須考慮的是：我們想研究的函數 $x(t)$ 是屬於麼樣的函數？連續？可微？時間的區間？解是否存在？如果我們把微分的過程視為由一個空間至另外一個空間的映射，那麼這樣的空間是屬於哪樣的空間呢？所有的可微分函數？連續的可微分函數?我們當然可以很簡單的說 $D^{-1}{v}$ 是微分算子 $D$ 的preimage，但是，那必須在一個前提之下， $D$ 所定義的空間被決定。當然 $D$ 所定義的空間仰賴於我們所希望研究的空間。(註:利用泛函分析的方法並不是唯一研究方程的方法，而是他提供了一套有系統的研究方法)。因為，並不是任何的空間對我們來說都是有意義的。這也是為何會利用到Hilbert空間，或是Banach空間的理由。因為在量子物理中，粒子所存在的空間就是Hilbert空間 $L^2(\mathbb{R})$ ，或是 $L^2[a,b]$ 。而微分算子所定義的空間就是所謂的Sobolev空間。 $D$ 的意義就給的更清楚了。然而在解方程的過程中，如給定 $a,b,c$ 是連續函數

$a(x)y''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=d(x)$ ， $y(0)=0, y'(0)=1$ 。

那麼微分算子(泛函分析)並不是一個簡單的方式去解決這樣的問題，而且是更加的複雜。(對某些問題來說)，而一般工程數學上所謂的 $D$ 指的並不是微分算子，所謂的符號數學(Symbolic math)。利用某些觀念，或是符號可以幫助我們去解決問題，就如同前面有網友說的heaviside function或是Dirac function。其實在數學裡面，他的背景就是Distribution theory。而這正是Schwartz拿fields medal的得意之作。他們並不是不嚴謹，而是他們的背景並不是很容易，如果避掉了這些理論，用符號運算去解決方程，的確是一個方便的工具。

“heaviside function或是Dirac function。其實在數學裡面，他的背景就是Distribution theory。而這正是Schwartz拿fields medal的得意之作。"
thanks a lot, now I have a much better picture of Dirac function, and qm math.

“如果我們把微分的過程視為由一個空間至另外一個空間的映射，那麼這樣的空間是屬於哪樣的空間呢？" very good, 泛函分析 as a “system".

Distribution theory
基本理念

很多时候，函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的映射，是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的量子力学理论，特别是不确定性原理的发现，使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法，而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得“某个粒子的位置”的信息，是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念，通过观察某个函数f与其它函数的“相互作用”来刻画这个函数。具体来说，我们观察f和一群“测量函数” $\varphi$ 之乘积的积分：

$\displaystyle\int f(x)\varphi(x)dx$ 。

之所以使用积分作为“观察”的方式，一方面是因为在积分和求导两种数学分析的基本概念之间，（局部）可积分的函数比（局部）可导的函数要“多得多”；另一方面，则可以用物理上的测量方式解释。测量某个物理量的时候，我们往往不要求（也无法做到）知道此物理量在某个精确时刻或某个精确位置上的值，而只能通过多次测量，知道它在某一小段时间段或某个小区域内的平均测量值。从实际的角度，这种平均值才是测量和使用函数的最常见方式。而积分则是这种“平均值”的数学表现形式。

分布理论的目的在于建立一种比一般的函数更广泛的“广义函数”，称为分布，并能将微积分的常用结论运用到这类广义函数上去。

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微分方程與微分算子有 “ 5 則迴響 ”

陳志傑 說道：

07/06/2010 於 6:09 上午

可以問一下老師嗎
n<2010, n可表示成六十個以上連續正整數相加，這樣的n有幾個？

回應
1. frankliou 說道：
  
  07/17/2010 於 4:04 上午
  
  你可以假設首項為 $k$ ，由於有 $60$ 項，所以最後一項為 $k+59$ 。由連加的公式可知 $n=\frac{(2k+59)60}{2}$ 。因此 $n=30(2k+59)$ 。所以 $n$ 必為 $30$ 的倍數。由此你再想想看可以怎麼做，基本上就是討論 $k$ 有幾組解囉!加油。給個提示 $2k+59<\frac{2010}{30}$ 。
  
  回應
david 說道：

03/16/2013 於 4:17 下午

“如果我們把微分的過程視為由一個空間至另外一個空間的映射，那麼這樣的空間是屬於哪樣的空間呢？"

回應
david 說道：

03/16/2013 於 4:26 下午

“heaviside function或是Dirac function。其實在數學裡面，他的背景就是Distribution theory。而這正是Schwartz拿fields medal的得意之作。"
thanks a lot, now I have a much better picture of Dirac function, and qm math.

“如果我們把微分的過程視為由一個空間至另外一個空間的映射，那麼這樣的空間是屬於哪樣的空間呢？" very good, 泛函分析 as a “system".

Distribution theory
基本理念

很多时候，函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的映射，是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的量子力学理论，特别是不确定性原理的发现，使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法，而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得“某个粒子的位置”的信息，是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念，通过观察某个函数f与其它函数的“相互作用”来刻画这个函数。具体来说，我们观察f和一群“测量函数” $\varphi$ 之乘积的积分：

$\displaystyle\int f(x)\varphi(x)dx$ 。

之所以使用积分作为“观察”的方式，一方面是因为在积分和求导两种数学分析的基本概念之间，（局部）可积分的函数比（局部）可导的函数要“多得多”；另一方面，则可以用物理上的测量方式解释。测量某个物理量的时候，我们往往不要求（也无法做到）知道此物理量在某个精确时刻或某个精确位置上的值，而只能通过多次测量，知道它在某一小段时间段或某个小区域内的平均测量值。从实际的角度，这种平均值才是测量和使用函数的最常见方式。而积分则是这种“平均值”的数学表现形式。

分布理论的目的在于建立一种比一般的函数更广泛的“广义函数”，称为分布，并能将微积分的常用结论运用到这类广义函数上去。

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1. frankliou 說道：
  
  03/17/2013 於 11:35 上午
  
  如果取 $\mathcal{D}^{k}(a,b)$ 是所有 $(a,b)$ 區間上 $k$ 次可維的實值(或複值)函數。那麼一次微分 $\displaystyle T=\frac{d}{dx}$ 就是
  
  $T:\mathcal{D}^{k}(a,b)\to \mathcal{D}^{k-1}(a,b)$
  
  上的線性算子。
  
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