光滑流形(Smooth Manifold)

導言

今天要跟各位談的是一種比較特殊的拓樸空間，這個拓樸空間呢叫做流形(Manifold)。這個拓樸空間特別的地方就在於它每個點的附近看起來都像歐氏空間，換句話說，他是由一些歐氏空間所黏貼而成。舉例來說，我們所生長的地球就是一個具有這樣性質的空間。想一想，我們生活在地球上，我們自己覺得是生活在平地上並沒有感覺到我們所生活的空間是彎曲的。由於這個空間局部上看起來很像是歐氏空間，所以我們可以賦予這空間座標系的概念。例如，我們熟知的地球，有經度跟緯度這樣的概念，而經緯的概念就是座標系的概念。在介紹一般的流形概念之前，讓我們先來看一下，在歐氏空間中如何定義曲線與曲面的概念。

我們使用 $(x_{1},\cdots,x_{n})$ 來表示歐氏空間的(標準)直角座標。

歐氏空間的參數化曲線

令 $I=[a,b]$ 區間，連續函數 $c:I\to \mathbb{R}^{n}$ 稱為 $\mathbb{R}^{n}$ 中的一條參數化曲線。如果 $c(t)=(x_{1}(t),\cdots,x_{n}(t)),$ $t\in I$ 且 $x_{1},\cdots,x_{n}:I\to\mathbb{R}$ 均是光滑函數，則我們稱 $c$ 是光滑曲線。如果 $c$ 是光滑曲線並且 $c'(t)\neq 0,$ $t\in I,$ 則我們稱 $c$ 是一條正則的光滑曲線。以下我們討論的曲線均為光滑的正則曲線。

假設 $t_{0}\in I$ 且 $c(t_{0})=p,$ 則我們稱 $c'(t_{0})$ 是曲線 $c$ 在 $p$ 點的切向量，我們記 $v_{p}=c'(t_{0})$ 。

範例:令 $c(t)=p+tv,$ $t\in\mathbb{R}$ 其中 $p,v\in\mathbb{R}^{n}$ 且 $v\neq 0$ 。則 $c$ 是通過 $p$ 點且在 $p$ 點的切向量為 $v$ 的正則曲線。

範例:令 $I=(-\pi,\pi)$ 且 $c:I\to\mathbb{R}^{2}$ 為 $c(t)=(\cos t,\sin t)$ 。則 $c$ 是歐氏平面上的正則曲線。此時 $c'(0)=(0,1)$ 為曲線在 $c(0)=(1,0)$ 時的切向量。

範例:令 $I$ 同上。定義 $c:I\to\mathbb{R}^{3}$ 為 $c(t)=(\cos t,\sin t,t)$ 則 $c$ 為 $\mathbb{R}^{3}$ 上的正則曲線。且 $c'(0)=(0,1,1)$ 是曲線在 $c(0)=(1,0,0)$ 上的切向量。

令 $\{e_{1},\cdots,e_{n}\}$ 表示 $\mathbb{R}^{n}$ 的標準基底。令 $f:U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ 表示一個可微分函數，其中 $U$ 是一個開集合。任取一條 $U$ 中的曲線 $c:(-\epsilon,\epsilon)\to U,$ 其中 $\epsilon>0$ 。令 $c(0)=p$ 且 $c'(0)=v.$ 我們定義函數 $f$ 在 $P$ 點延著 $v$ 方向的方向導數為

$\displaystyle v_{p}[f]=\left.\frac{d}{dt}(f\circ c)(t)\right|_{t=0}.$

如果 $v=\sum_{i=1}^{n}v_{i}e_{i},$ 則

$\displaystyle v_{p}[f]=\sum_{i=1}^{n}v_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p).$

事實上我們還可以把上述式子改寫為

$\displaystyle v_{p}[f]=\left(\sum_{i=1}^{n}v_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)|_{p}f.$

換句話說，我們可以把 $v_{p}$ 當作是微分算子來使用:

$\displaystyle v_{p}=\sum_{i=1}^{n}v_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(p).$ (*)

如果 $f,g$ 均是定義在 $p$ 點附近的光滑函數，則我們可以驗證:

(1) $v_{p}(af+bg)=av_{p}(f)+bv_{p}(g),$ $a,b\in\mathbb{R}$

(2) $v_{p}(fg)=v_{p}(f)g(p)+f(p)v_{p}(g).$

於是切向量就被賦予了新的意義。當然這意義是人工的，我們只是把切向量看成是對函數做微分。這樣的目的是為了在抽象的流形中引入切向量的概念，隨後我們會見到。

定理: $\displaystyle\left\{\frac{\partial}{\partial x_{i}}(p):1\leq i\leq n\right\}$ 是 $T_{p}\mathbb{R}^{n}$ 的標準基底。

如果 $v_{p}$ 如(*)。我們記 $v_{p}=(v_{1},\cdots,v_{n})_{p}$ 。稱為向量 $v_{p}$ 對於基底的座標表示。

範例:假設 $f(x,y)=x^{2}+y$ 。令 $c(t)=(\cos t,\sin t),$ $-\pi\leq t<\pi$ 。試球出 $f$ 在 $p=(1,0)$ 點沿著 $v$ 方向的方向導數。

解:

方法一: $h(t)=f(\cos t,\sin t)=\cos^{2}t+\sin t$ 。所以 $h'(0)=1$ 。

方法二: $\nabla f(x,y)=(2x,1)$ 。則 $\nabla f(1,0)=(2,1)$ 。由於 $v_{p}=(0,1)$ 。所以 $v_{p}[f]=\nabla f(p)\cdot v_{p}=1$ 。

我們發現，由方法一跟方法二得到的結果相同。

歐氏空間中的 $k$ 維曲面

假設 $D$ 是 $\mathbb{R}^{k}$ 中的開集合。令 $X:D\to\mathbb{R}^{n}$ 表示一光滑映射且

(1) $X:D\to X(D)$ 是一個拓樸同胚

(2)任意的 $u\in D,$ $dX_{u}$ 是一個rank為 $k$ 的矩陣。

則我們稱映射 $X$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的一個 $k$ 維參數化曲面(我們或稱 $X(D)$ 是一個 $k$ 維參數化曲面)。當 $k=n-1$ 時，我們稱此曲面為 $\mathbb{R}^{n}$ 中的超曲面。

我們使用 $(u_{1},\cdots,u_{k})$ 做為 $\mathbb{R}^{k}$ 的座標函數， $(x_{1},\cdots,x_{n})$ 作為 $\mathbb{R}^{n}$ 的座標函數。矩陣 $dX_{u}$ 行向量均形如 $\displaystyle\beta=\left\{\frac{\partial X}{\partial u_{1}}(u),\cdots,\frac{\partial X}{\partial u_{k}}(u)\right\}$ 。由於 $dX_{u}$ 是rank為 $k$ 的矩陣，所以 $\beta$ 是一個線性獨立集合，我們稱 $\beta$ 所構成的向量空間是參數化曲面 $X$ 在 $p=X(u)$ 的切空間，將其記為 $T_{p}M$ 。

範例:令 $D=(0,2\pi)\times (-\pi,\pi).$ 定義 $X:D\to\mathbb{R}^{3}$ 如下:

$X(\phi,\theta)=(\cos\phi\sin\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\theta).$

則 $X$ 是一個二維的參數化曲面(事實上它是二維球面的一部分)。而曲面的切向量為

$X_{\phi}=(-\sin\phi\sin\theta,\cos\phi\sin\theta,0),$

$X_{\theta}=(\cos\phi\cos\theta,\sin\phi\cos\theta,-\sin\theta).$

當你把不同的 $k$ 維參數化曲面給黏貼起來，那麼你就得到了一般的 $k$ 維曲面。

定義:令 $M$ 表示 $\mathbb{R}^{n}$ 中的子集合。我們稱 $U$ 是 $M$ 的一個開集合若且唯若存在 $\mathbb{R}^{n}$ 中的開集合 $U'$ 使得 $U=U'\cap M$ 。因此 $M$ 成了一個拓樸空間。如果存在 $M$ 的一個開覆蓋 $\{U_{\alpha}\}$ 使得每個 $U_{\alpha}$ 都是參數化曲面(意思就是:任給一個 $\alpha,$ 存在滿足參數化曲面的映射 $X_{\alpha}:D_{\alpha}\subset\mathbb{R}^{k}\to U_{\alpha}$ )則我們稱 $M$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的 $k$ 維曲面。

範例: $S^{2}=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的一個二維曲面。

光滑流形的一般定義

嚴謹的流形定義如下:假設 $X$ 是一個拓樸空間，如果此拓樸空間滿足下列條件，則我們稱此拓樸空間為一個拓樸流形:任給一個 $X$ 上的點 $x$ ，存在 $x$ 的開鄰域 $U$ 與歐氏空間 $\mathbb{R}^{n}$ 中的開集合 $V$ 使得 $U$ 與 $V$ 是拓樸同胚。換句話說，存在一個一對一且映成的連續函數 $\varphi:U\subset X\to V\subset\mathbb{R}^{n},$ 使得 $\varphi^{-1}:V\to U$ 也是連續函數。任取 $U$ 上的點 $p,$ 則 $\varphi(p)=(x_{1}(p),\cdots,x_{n}(p))$ 。我們稱函數組 $\{x_{1},\cdots,x_{n}\}$ 是 $x$ 點附近的一個局部座標系。而 $\varphi^{-1}:V\to U$ 則稱為 $U$ 的參數化(parametrization)。

假設 $X$ 是一個拓樸流形，並且存在 $X$ 上的開覆蓋 $\{U_{\alpha}\},$ 以及 $U_{\alpha}$ 上的局部座標系 $\varphi_{\alpha}$ 使得當 $U_{\alpha}\cap U_{\beta}\neq\phi$ 時，

$\varphi_{\beta}\circ\varphi_{\alpha}^{-1}:\varphi_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})\to\varphi_{\beta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})$

是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的微分同胚，則我們稱 $X$ 為光滑流形。而 $\{U_{\alpha},\varphi_{\alpha}\}$ 就稱為 $X$ 的地圖集(atlas)。

以下我們談到的 $X$ 指的均是光滑流形。附註:如果 $\varphi_{\alpha}:U_{\alpha}\to V_{\alpha}\subset\mathbb{C}^{n}$ 且 $\varphi_{\beta}\circ\varphi_{\alpha}^{-1}$ 是 $\mathbb{C}^{n}$ 上的複解析函數，那麼我們稱 $X$ 是一個複流形。

定理: (Whitney Embedding Theorem) 假設 $M$ 是一個 $n$ 微流形，則存在 $N>0$ 使得 $M$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ 的 $n$ 維曲面。

這個定理告訴我們，所有的光滑流形都是某個歐氏空間中的光滑曲面。

光滑流形的環空間定義方式

令 $U$ 是 $X$ 中的開集合，並且 $f:U\to \mathbb{R}$ 是一個連續函數。如果對任意的 $\alpha$ 使得 $U\cap U_{\alpha}\neq\phi$ ，合成函數

$f\circ \varphi_{\alpha}^{-1}:\varphi_{\alpha}(U\cap U_{\alpha})\to\mathbb{R}$

是定義在 $\varphi_{\alpha}(U\cap U_{\alpha})\subset\mathbb{R}^{n}$ 上的光滑函數，則我們稱 $f:U\to\mathbb{R}^{n}$ 是定義在 $U$ 上的一個光滑函數。令 $C_{X}^{\infty}(U)$ 表示所有定義在 $U$ 上的實值光滑函數所形成的集合。

定理:函數空間 $C_{X}^{\infty}(U)$ 構成實交換環。

如果 $V$ 是 $U$ 的開子集並且 $f$ 是 $U$ 上的光滑函數，令 $f|_{V}$ 表示 $f$ 限制在 $V$ 上的函數。換句話說，我們定義 $f|_{V}:V\to\mathbb{R}$ 為 $f|_{V}(P)=f(P),$ $P\in V.$ 利用光滑函數的定義，我們可以證明 $f|_{V}$ 是 $V$ 上的光滑函數。因此 $f|_{V}\in C_{X}^{\infty}(V).$ 我們很自然的得到了一個環的同態映射(homomorphism)

$r_{U,V}:C_{X}^{\infty}(U)\to C_{X}^{\infty}(V),$ $f\mapsto f_{V}.$

假如 $W\subset V\subset U,$ 我們還可以證明

$r_{U,W}=r_{V,W}\circ r_{U,V}.$

如果 $f$ 是定義在 $U$ 上的光滑函數，假設 $\{U_{\alpha}\}$ 是 $U$ 的開覆蓋，並且 $f|_{U_{\alpha}}=0,$ 利用連續函數的性值，我們可以推得 $f=0.$ 假設 $f_{\alpha}\in C_{X}^{\infty}(U_{\alpha}),$ 並且

$f_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}=f_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}},$

我們定義 $f:U\to\mathbb{R}$ 為 $f(x)=f_{\alpha}(x),$ $x\in U_{\alpha}.$ 那麼 $f:U\to\mathbb{R}$ 是一個良定的函數，並且

$f|_{U_{\alpha}}=f_{\alpha}.$

層(sheaf)的概念便從此而生。層的定義煩請閱讀:層sheaf。

定義:如果 $X$ 是一個拓樸空間， $\mathcal{O}_{X}$ 是 $X$ 上的層環，那麼我們稱序對 $(X,\mathcal{O}_{X})$ 是一個環空間。

定理: $C_{X}^{\infty}$ 是光滑流形 $X$ 上的一個層(sheaf)。而 $(X,C_{X}^{\infty})$ 構成了一個環空間。

假設 $X$ 是一個拓樸空間，並且 $\mathcal{O}_{X}:\mbox{Top}(X)\to\mbox{Rings}$ 是一個定義在 $X$ 上的環層(sheaf of rings)。則我們稱序對 $(X,\mathcal{O}_{X})$ 是一個環空間。

換句話說，環空間除了具有拓樸空間的概念外，我們也定義了他上面由環層 $\mathcal{O}_{X}$ 所構成的函數空間族。接著，我們來談談光滑流形之間的映射。假設 $\varphi:X\to Y$ 是光滑流形之間的一個連續函數。如果對任意的光滑函數 $f:V\subset Y\to\mathbb{R}$ ，合成函數

$f\circ\varphi:\varphi^{-1}(V)\subset X\to \mathbb{R}$

也是一個光滑函數，則我們稱映射 $\varphi$ 是一個光滑映射。

任給一個 $Y$ 上的光滑函數 $f:V\subset Y\to \mathbb{R}$ ，我們定義

$\varphi^{*}(f):\varphi^{-1}(V)\subset X\to\mathbb{R}.$

則我們有一環同態(ring homomorphism) $\varphi^{*}:C_{Y}^{\infty}(V)\to C_{X}^{\infty}(f^{-1}(V)).$ 換句話說，光滑映射 $\varphi:X\to Y$ 誘導了一個環層同態

$\varphi^{*}:C_{Y}^{\infty}\to \varphi_{*}C_{X}^{\infty}.$

定理:光滑流形與其上的光滑映射構成了一個範疇。

基本上來說，光滑流形可以視為某一類的環空間 $(X,C_{X}^{\infty})$ 滿足:存在一個 $X$ 開覆蓋 $\{U_{\alpha}\}$ 使得對任意的 $\alpha$ ，環空間 $(U_{\alpha},C_{X|U_{\alpha}}^{\infty})$ 與環空間 $(\mathbb{R}^{n},C_{\mathbb{R}^{n}}^{\infty})$ 是同構的。換句話說，光滑流形局部上來說，他跟歐氏空間一樣，他上面的函數空間跟歐氏空間上的光滑函數所形成的空間也是一樣的(在同構意義下)。換句話說呢，如果給一個 $X$ 上的可微分函數，我們取局部座標系 $(x_{1},\cdots,x_{n}),$ 那麼 $f$ 就可以寫成歐氏空間中的可微分函數 $y=f(x_{1},\cdots,x_{n}).$ 這樣的對應關係

$f\mapsto f(x_{1},\cdots,x_{n})$

是一個代數上的同構關係。不僅如此，透過這樣的代數關係，我們把歐氏空間中的微積分學就這樣的搬到了光滑流形上。局部上來說，由於光滑流形看起來就是歐氏空間，流形上的光滑函數就是歐氏空間中的光滑函數。你當然希望你的微積分在座標變換下的意義是不變的，因此，你會要求你的函子 $C_{X}^{\infty}$ 是一個層。基本上來說，層的概念就是透過微分流形才產生的。而層的一些條件就是在告訴你，微分流形上的微積分學是良定(well-defined)的(在座標變換的意義下不變)。從現在開始，你知道的微分流形的概念，把古典微積分學套入，你就可以開始研究微分幾何。

光滑流形(Smooth Manifold) 有 “ 36 則迴響 ”

morph 說道：

08/31/2012 於 7:39 上午

“光滑流形的一般定義"附註定義複流形有個地方寫 $\phi_\beta\circ\phi_\beta^{-1}$ 應該是 $\phi_\beta\circ\phi_\alpha^{-1}$

回應
1. frankliou 說道：
  
  09/03/2012 於 12:39 下午
  
  謝謝~~
  
  回應
morph 說道：

09/05/2012 於 6:19 上午

還有想請問一下，那個Whitney Embedding Theorem敘述裡
的manifold是不是要Housdorff該定理才會對?(因為這裡的mainfold好像沒有特別說是Housdorff)

回應
1. frankliou 說道：
  
  09/05/2012 於 8:48 上午
  
  是Hausdorff~~除非是代數幾何的裡的拓樸空間，通常我的拓樸空間都是假設Hausdorff。
  
  回應
david 說道：

03/14/2013 於 4:38 下午

“另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为另一个微分算子是 Θ 算子，定义为有时候这也称为齐次算子，"—-http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%AE%97%E5%AD%90
——
thanks for your this post with picture, very good, and I have to read it again, but I like it a lot. I understand 微分算子 as 拉普拉斯算子, what is 齐次算子 as quoted in the above wiki? a good article:物理激发的数学 – 中国科学院数学研究所www.math.ac.cn/index_E/post/…/PPT110907.pdf

形的A- 亏格恰好是黎曼流形上狄拉克算子. 的指标。几何分析中许多有效的方法都是受物理学家. 启发的如. 启发的如平均曲率流是物上首先. 平均曲率流是物上首先 …

回應
1. frankliou 說道：
  
  03/14/2013 於 5:56 下午
  
  你給的WIKI中的其次算子是某ㄧ類的微分算子。
  
  回應
david 說道：

03/14/2013 於 4:53 下午

now, question about the picture in the post
you have three dark areas:
1 in the top: dark area=overlap of 開覆蓋 Ua and 開覆蓋 Ub?
2. this " overlap" is 微分同胚 of Rn’s two dark areas, in the lower part of the picture, which is 一個拓樸流形 X?

回應
1. frankliou 說道：
  
  03/14/2013 於 5:54 下午
  
  上面的才是流形 $X$
  
  回應
david 說道：

03/14/2013 於 8:23 下午

thanks, the bottom 2=2 local Rn space, I like this picture a lot=a thousands of words

http://www.dimensions-math.org/, you know that site, I think, a very good one

回應
david 說道：

03/14/2013 於 9:19 下午

more question about the picture:

1. the bottom 2 dark areas: 2 Rn space, or “local coordinate system"
the left one: lines more like x horizontal type (of 2d coordinate system, x horizontal, y vertial);

the right one: lines more like y vertial type,
individually
2
together, they (bottom 2 dark areas) have to “work out" “a common gauge or measure system" as in the darked area in the top (流形)?

回應
1. frankliou 說道：
  
  03/15/2013 於 7:03 上午
  
  我覺得你想問的是怎麼樣透過底下的piece去建構流形上的測度對吧?我會找時間寫一篇這個文章的。
  
  回應
david 說道：

03/14/2013 於 10:16 下午

if you can write about 共形几何, when you have time, thanks

共形几何就是研究保角变换群下的不变量. 它介乎于拓扑和黎曼几何之间"共形映射就是保角映射, 如图1所示. 在无穷小邻域, 共形映射就是放缩变换. 它保持局部形状, 比如它将无穷小圆周映成无穷小圆周. 如图2所示, 这个bunny 曲面通过一个共形映射映到平面. 如果平面有一个circle packing, 则通过拉回得到bunny 曲面上的一个circle packing. 如果给平面铺上棋盘格, 则同样得到bunny 曲面的棋盘格修饰, 其中直角和正方形都是保持的.曲面上的两个黎曼度量是共形的, 如果它们定义的角度是相同的. 共形结构就是指曲面上度量的共形等价类, 而黎曼曲面就是带有共形结构的光滑曲面. 因此在黎曼面上, 我们可以度量角度, 但不能度量长度. 每一个带有度量的曲面都自动成为一个黎曼曲
面。如果两个黎曼曲面之间存在共形映射, 则称它们是共形等价的. 显然, 共形等价是黎曼曲面间的一个自然的等价关系. 共形几何的目的就是在共形等价意义下对黎曼曲面进行分类, 这就是所谓的模空间问题. 给定一张光滑曲面, 考察它上面的所有共形结构在共形等价下的模, 这个集合被称为曲面的模空间. 对于具有正亏格的封闭曲面, 模空间是正维数的有限维空间."

回應
1. frankliou 說道：
  
  03/15/2013 於 7:05 上午
  
  模空間的研究是我的專業，我晚點告訴你。
  
  回應
2. frankliou 說道：
  
  03/15/2013 於 10:24 上午
  
  共形幾何是大陸的翻譯。我個人比較喜歡保角幾何。在複的解析函數的作用下，幾何圖形的夾角會被保持。舉例來說，如果高斯平面 $\mathbb{C}$ 上的曲線 $c_{1},c_{2}$ 在 $p$ 交於一點，我們用 $v_{1},v_{2}$ 分別表示 $c_{1},c_{2}$ 在 $p$ 的切向量。假設 $f$ 是定義在複數域上的複解析函數。合成函數 $d_{1}=f\circ c_{1}$ 與 $d_{2}=f\circ c_{2}$ 定義出了平面上的兩條曲線。假設 $f'(p)\neq 0$ 。則新的兩條曲線在 $f(p)$ 只會交於一點。如果令 $w_{1},w_{2}$ 分別是兩曲線在 $f(p)$ 的切向量。則 $w_{1},w_{2}$ 的交角等於 $v_{1},v_{2}$ 的交角。
  
  回應
david 說道：

03/15/2013 於 4:21 下午

“我覺得你想問的是怎麼樣透過底下的piece去建構流形上的測度對吧?我會找時間寫一篇這個文章的。"

yes, thanks

also: http://www.dimensions-math.org/, you know that site, I think, a very good one
if you could read their chapter 7,8,9 about 流形, very short writings, and tell me your comments, if you could, thanks

回應
david 說道：

03/15/2013 於 8:17 下午

“假設f'(p)\neq 0。則新的兩條曲線在f(p)只會交於一點。如果令w_{1},w_{2}分別是兩曲線在f(p)的切向量。則w_{1},w_{2}的交角等於v_{1},v_{2}的交角" thanks, how it can be put into a picture? I have to re-visit
http://www.dimensions-math.org/, chapter 7,8,9 about 流形"

I think those chapters have “在複的解析函數的作用下，幾何圖形的夾角會被保持" in their graphic presentation, 複函數 is critical to understand 流形 with high dimensions,

回應
1. frankliou 說道：
  
  03/15/2013 於 8:29 下午
  
  複函數 is critical to understand “complex manifolds" not all smooth manifolds.
  
  回應
david 說道：

03/15/2013 於 9:08 下午

about " http://www.dimensions-math.org/, chapter 7,8,9 from complex numbers to 流形"
they are very good conceptual and graphic presentations, but without " math" part, where do I find the math part, in your blog? do you have a table of contents?
thanks

回應
1. frankliou 說道：
  
  03/15/2013 於 9:27 下午
  
  要做table of content太花時間了，現在有點忙，大概還沒有時間可以做這件事情。
  
  回應
david 說道：

03/15/2013 於 9:14 下午

I will read the following and more, ..

———-
“[PDF]

REAL AND COMPLEX SMOOTH MANIFOLDS

http://www.math.psu.edu/katok_a/TOPOLOGY/Chapter4.pdf

File Format: PDF/Adobe Acrobat – Quick View
In this course, we do not go deeply into the theory of complex manifolds, limiting our study to some illustrative examples. EXAMPLE 4.9.1. The Riemann sphere …
“

回應
1. frankliou 說道：
  
  03/15/2013 於 9:30 下午
  
  你連結貼的note應該是可以看看。
  
  回應
david 說道：

03/16/2013 於 4:38 下午

《现代物理基础丛书:凝聚态、电磁学和引力中的多值场论》给出了多值场论的基本框架，并通过在不同领域的应用对此理论加以了详尽的阐述。本理论的一个重要特性是它包含一个新的具有奇异性的规范场。这个规范场为某个曲面上的δ函数，该曲面的形状是任意的，只有该曲面的边界具有物理意义，理论在曲面形变下的不变性可看作是一种新的规范对称性。在本理论中多值映射起了十分重要的作用。正是由此，我们可以从自由物质的物理定律推导出与规范场耦合的物质的物理定律以及带挠率的引力理论。《现代物理基础丛书:凝聚态、电磁学和引力中的多值场论》可作为研究人员、研究生学习掌握相变理论、量子场论、引力理论以及微分几何的参考书。

————
now, question:

“该曲面的形状是任意的，只有该曲面的边界具有物理意义"
曲面的边界," =local “切空间余切空间

where
"
1、切空间就是逆变基矢张成的空间，余切空间就是协变基矢张成的空间。

2、各逆变基矢之间的关系（投影）是逆变度量系数，各协变基矢之间的关系（投影）是协变度量系数。(统称为度规。)

3、逆变矢量与协变矢量可做对偶内积(对偶投影)。逆变基矢与协变基矢的关系是对偶内积(投影)为δ. （克罗内克尔符号。附标相同时为1，附标不同时为0).

4、投影为0，可图示为正交；否则示为斜交。
"

http://www.fxkz.net/forum.php?mod=viewthread&tid=7120

graphically:
“一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列"
phymath999: phymath01 一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的 …

phymath999.blogspot.com/…/phymath01-jacobi.html – 轉為繁體網頁

2013年2月28日 – phymath01 一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的 …

回應
david 說道：

03/16/2013 於 4:48 下午

“流形M上相同階次的張量組成一個以 M為底的纖維叢(張量叢)，張量場是它的截面，切叢、余切叢、向量場、一次微分形式都是它們的特例。"切叢、余切叢、向量場都是張量場的特例"切叢、余切叢、向量場都是張量場的特例=都是规范场的特例"切叢、余切叢、向量場=kind of local 物理意义, but @"local" level, it has 物理意义, but because of localitiy, they are not 全息理論,where 规范场 kind of global,全息理論, but it is hard to figure out its 物理意义, such as 规范场量子化 issue, etc

my question:I hope I am not too much off, in terms of basic conceptual understanding of those basic but critical concepts?

这个规范场为某个曲面上的δ函数，该曲面的形状是任意的，只有该曲面的边界具有物理意义，理论在曲面形变下的不变性可看作是一种新的规范对称性。

回應
1. frankliou 說道：
  
  03/16/2013 於 6:31 下午
  
  你POST的這些comment似乎是來自某些blog。個人並不是很理解他們的想法，所以並不同意這麼解讀。
  
  回應
david 說道：

03/16/2013 於 6:14 下午

曲面="超曲面"只有该曲面的边界具有物理意义, where we have 歐幾里德空間, normal life and" sense", but it is not “全息" at all, we are actually losing information, if we don’t have 规范场 in our mind
——
这个规范场为某个曲面上的δ函数，该曲面的形状是任意的，只有该曲面的边界具有物理意义，理论在曲面形变下的不变性可看作是一种新的规范对称性

回應
1. frankliou 說道：
  
  03/16/2013 於 6:28 下午
  
  曲面不一定是超曲面。超曲面是餘維度為一的曲面。舉例來說，如果 $M$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的微分子流形，且 $\dim M=n-1$ ，則我們稱 $M$ 為超曲面。
  
  回應
2. frankliou 說道：
  
  03/16/2013 於 6:29 下午
  
  並不是所有的幾何都可以具有物理意義。你的問題問反了。是甚麼樣的物理具有幾何意義，同時可以用甚麼樣的幾何描述。電磁場論可以使用幾何去描述，這是H. Weyl的工作，把電磁場看成是某種規範的曲率。物理學家稱呼"規範"，數學家稱為"聯絡"這兩種是同樣的東西。
  
  回應
david 說道：

03/16/2013 於 6:37 下午

“庞加莱猜想-附录三：低维拓扑 “http://phymath999.blogspot.com/2012/08/blog-post_4.html" any comment about “低维拓扑 is more difficult “part?

I will think about your answer about “你的問題問反了" “把電磁場看成是某種規範的曲率", I like wely, and remember Einstein’s comment on this.

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1. frankliou 說道：
  
  03/17/2013 於 11:42 上午
  
  其實你問的問題都很好，有很多可以仔細討論的。但能不能一次一個問題，這樣我才不會miss掉你問的問題。
  
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david 說道：

03/17/2013 於 3:56 下午

that’s ok, they are kind of my notes, and food for thought for you and myself, not expecting you/or another SINGLE person to answer all those questions;

here is another article, a good one, but kind of difficult for me to read, in terms of math, and I hope some day you can write an “easier" one

[PDF]

规范场与主纤维丛上的联络*

wulixb.iphy.ac.cn/EN/…/downloadArticleFile.do?…id… – 轉為繁體網頁

檔案類型: PDF/Adobe Acrobat – 快速檢視
由 KH LOOK 著作 – 2005 – 相關文章
本文较详细地给出物理上的规范场与数学上的主纤维丛上的联络论之间的对应关系, 从. 而以联络论的观点 … 作为切向量丛的一截面(Scction). 然后我们指出薰一般的 …

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david 說道：

03/17/2013 於 4:36 下午

I was reading dimensions.math.org, man, a great work, and I was thinking of the following:

作为切向量丛的一截面(Scction):规范场

截面曲率:规范场强,

“當一個多面體在空間中運動，遇到蜥蜴的平面時，多面體與平面的截面是個多邊形。當多面體運動，多邊形變形，當多面體穿過平面時它最終消失 (假設多面體能穿過平面，就像 Marcel Aymé 的「穿牆術」！)。蜥蜴只看見動態變化的多邊形：關注他們如何變形。通過一點經驗他們（也許）能最終對多面體有個直覺的感受，即使他們不能在空間中看到多面體。"

for most of us whose logic and sense are based on our local living experiences, very often at a single point of a 平面:

1) measuring “動態變化的多邊形" is difficult, we often only see part of 多邊形.

2) measuring 截面(“曲面不一定是超曲面")曲率: even more difficult

3) even we did 1) and 2) well, we may have a group of 偏微分方程 like 爱因斯坦方程, which will give us some ideans about 规范场 (as represented by Marcel Aymé in the above “background " or analogy )

4)数值解 of “爱因斯坦方程" already difficult, not to mention 解析解

I’m an application person;the following folks are professional, like you; “sage" , one of the folks in the following forum, works and teaches in 普林斯頓 Univ, if I remember “http://www.fxkz.net/forum.php?mod=viewthread&action=printable&tid=6062″

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david 說道：

03/17/2013 於 7:09 下午

The following is a great piece about KH LOOK 著作, etc, a much easier read for me; 1974. 规范场与主纤维丛上的联络*, a about 40 years ago, amazing。规范场与主纤维丛上的联络* KH LOOK 著作 – 2005 – 相關文章
第23 卷第4 期物学voL 23, No. 4. 1974 年7 月AcTA PHYSICA SINIcA July， 1974. 规范场与主纤维丛上的联络*. (中国科学院数学研究所). 提要. 本文较详细地给出。有关规范场与纤维丛关系问题的三次阐释。和现代微分几何中的纤维丛理论有关,并让杨振宁. 去读斯廷罗 … 一研究结果“不可积相因子和规范场的整体表. 示”[5] 。 … 和曲率张量局部坐标变换公式(1. 8): F′a … 规范势Bμ. 主纤维丛上的联络Γa μ. 场强Fμv. 曲率张量Fa μv。规范场的变换。曲率张量

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1. frankliou 說道：
  
  03/18/2013 於 8:12 上午
  
  其實我的blog裡面有稍微講聯絡的概念。如果你能夠理解一般的切叢上的聯絡怎麼做，一般主纖維叢上的聯絡也是相同的做法。
  
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david 說道：

03/19/2013 於 8:16 下午

http://sec.ncu.edu.tw/ncunews/166/invited_101.html
幾何，弦論與量子環的不便性／王金龍 – 中大校訊

sec.ncu.edu.tw/ncunews/166/invited_101.html

最著名者如費因曼的路徑積分，這個理論必須在無窮維度的路徑空間中進行積分。 …. 這些向量空間以及其相關的Dolbeault上同調群構成了這個量子理論的希爾伯特 …
this is your area, I guess.

同調群, what a beautiful concept, many apps will come out of it

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david 說道：

03/19/2013 於 8:21 下午

“希爾伯特空間H僅涉及場的種類與數量，完整的量子理論尚需涵蓋場a，b，c，ˇ之間的交互作用函數(correlation functions) 。其中的函數的變數是弦論模空間的參數。根據費因曼的路徑積分原理，交互作用可以表示成所有弦的可能路徑(world sheets)上的加權積分，而每一路徑的權重依賴於一個作用泛函(action functional)。如前所述，這個無窮維度的積分(Lagrangian)至今仍缺乏數學的嚴格定義。然而對於保角不變的場論，利用局部化原理，弦論學家可以將積分化簡為有限維度模空間上的問題。這使得問題得以透過嚴格的代數幾何來呈現。"

“將積分化簡為有限維度模空間上的問題"

模空間 to help provide qm, qft, etc with a solid math logic foundation

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david 說道：

03/19/2013 於 8:27 下午

“其實我的blog裡面有稍微講聯絡的概念。如果你能夠理解一般的切叢上的聯絡怎麼做，一般主纖維叢上的聯絡也是相同的做法"

yes, I will read it.

this young Chinese graduate student did a great job in “picturing" it for me, I copied a few his post in the below.

http://topologyandgeometry.blogspot.com/

now, with AI and computer graphics advancing rapidly everyday, differential geometry etc will pick up by many people with apps coming out of it in many areas

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