[線性代數]張量

張量，對稱張量，反對稱張量

假設V,W是有限維的向量空間。任給v\in V且w\in W。我們定義ㄧ個函數

v\otimes w:V^{*}\times W^{*}\to\mathbb{R}

 為(v\otimes w)(f,g)=f(v)g(w),其中f\in V^{*}, g\in W^{*}.我們稱v\otimes w是v與w的張量積。令V\otimes W是由\{v\otimes w:v\in V,w\in W\}所生成的向量空間。如果\{v_{i}:1\leq i\leq n\}與\{w_{j}:1\leq j\leq m\}分別是$latrex V$與W的基底。則\{v_{i}\otimes w_{j}\}是V\otimes W的ㄧ組基底。於是\dim(V\otimes W)=mn。利用歸納的方式我們定義

 V^{\otimes r}=(V^{\otimes r-1})\otimes V^{r}.

 我們也可以考慮V^{*\otimes s}其中V^{*}是V的對偶空間。我們記

T^{r,s}(V)=V^{\otimes r}\otimes V^{r\otimes s}

而T^{r,s}(V)中的向量稱為(r,s)型張量。如果v\otimes w\in V\otimes W,那麼我們發現

(1) (v\otimes w)(af_{1}+bf_{2},h)=a(v\otimes w)(f_{1},h)+b(v\otimes w)(f_{2},h)

(2) (v\otimes w)(f,ch_{1}+dh_{2})=c(v\otimes w)(f,h_{1})+d(v\otimes w)(f,h_{2}),

其中f_{1},f_{2},f\in V^{*}且h_{1},h_{2},h\in W^{*}.

定義:假設B:V^{*}\times W^{*}\to\mathbb{R}滿足上述(1),(2)的條件(把v\otimes w換成B)則我們稱B是ㄧ個雙線性型。

定理:B:V^{*}\times W^{*}\to\mathbb{R}是雙線性型的充要條件是B\in V\otimes W。 現在我們來看看V=W的情況。假設B\in V^{\otimes 2}, f,g\in V^{*}。

(1)如果B(f,g)=B(g,f)，我們稱B是ㄧ個二階對稱張量。

(2)如果B(f,g)=-B(g,f)，我們稱B是ㄧ個二階反對稱張量。

假設t:\bigoplus_{i=1}^{r}V^{*}\to \mathbb{R}是ㄧ個函數，並且，對每個座標來說，它都是線性函數，我們稱t是ㄧ個多重線性函數。那麼如同上面類似的結果，我們可以證明t是多重線性函數的充要條件是t是ㄧ個r階張量。 假設t是ㄧ個r階張量並滿足對任意的\sigma\in S_{r}與f_{1},\cdots,f_{r}\in V^{*}恆有

 t(f_{\sigma_{1}},\cdots f_{\sigma_{r}})=t(f_{1},\cdots,t_{r})

 我們稱t是ㄧ個r階對稱張量。所有的r階反對稱張量構成一個向量空間，我們把此向量空間記為\mbox{Sym}^{r}(V)。如果

 t(f_{\sigma_{1}},\cdots,f_{\sigma_{r}})=\mbox{sgn}(\sigma)t(f_{1},\cdots,f_{r})

則我們稱t是ㄧ個r階反對稱張量。而r階反對稱張量也構成一個向量空間，我們記為\Lambda^{r}(V)。如果r=\dim V我們會記\Lambda^{\dim V}(V)=\mbox{Det}(V)。接下來我們主要會來研究\Lambda^{r}V。 假設v,w\in V。我們定義

v\wedge w=v\otimes w-w\otimes v

則我們得到一個反對稱張量，稱為v與w的wedge product。如果f,g\in V^{*}我們發現

 (v\wedge w)(f,g)=f(v)g(w)-f(w)g(w)

於是我們發現我們可以利用行列式的方法來定義wedge product。令v_{1},\cdots,v_{r}\in V, f_{1},\cdots,f_{r}\in V^{*}我們定義

 \displaystyle (v_{1}\wedge\cdots\wedge v_{r})(f_{1},\cdots,f_{r})=\det [f_{i}(v_{j})]_{i,j=1}^{r}.

定理:假設\{v_{1},\cdots,v_{n}\}是向量空間V的ㄧ組基底，則 \{v_{i_{1}}\wedge\cdots\wedge v_{i_{r}}:1\leq i_{1}<\cdots<i_{r}\leq n\}是\Lambda^{r}V的ㄧ組基底。因此\dim \Lambda^{r}(V)={n\choose r}。之後我們談Hodge *算子的時候，我們會用到這個重要的結果。

矩陣與張量的關係

我們來看看V\otimes V^{*}與矩陣空間gl(V)之間的關係。假設

\displaystyle x=\sum_{i,j}a_{ij}v_{i}\otimes f^{j}\in V\otimes V^{*},

其中\{v_{i}\}與\{f^{j}\}分別是V與V^{*}的基底。我們定義函數A_{x}:V\to V如下:

\displaystyle A_{x}(v)=\sum_{i,j}a_{ij}f^{j}(v)v_{i}.

 於是我們推得A_{x}是ㄧ個線性變換。我們還可以證明

 A:V\otimes V^{*}\to gl(V), x\mapsto A_{x}

 是ㄧ個線性同構。於是gl(V)\cong V\otimes V^{*}。所以任何的矩陣都可以看成是ㄧ個(1,1)型的張量。 舉例來說，V=\mathbb{R}^{2}。令e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)且\pi^{1}(x,y)=x,\pi^{2}(x,y)=y。則\{e_{1},e_{2}\}是V的基底(標準基底)，\{\pi^{1},\pi^{2}\}是V^{*}中\{e_{1},e_{2}\}的對偶基底。那麼令f=e_{1}\otimes \pi_{1}。我們來看A_{f}是甚麼:

A_{f}(x,y)=\pi^{1}(x,y)e_{1}=xe_{1}=(x,0)

以A_{f}矩陣就是\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}\right)。同理，我們讓讀者計算看看e_{2}\otimes \pi^{1}與e_{1}\otimes \pi^{2}與e_{2}\otimes \pi^{2}分別對應的矩陣。所以一般來說，如果f=a_{11}\pi^{1}\otimes e_{1}+a_{12}\pi^{1}\otimes e_{2}+a_{21}\pi^{2}\otimes e_{1}+a_{22}\pi^{2}\otimes e_{2}。則A_{f}對應的矩陣就是[a_{ij}]_{i,j=1}^{2}。如果我們記E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}是矩陣空間gl(2)的標準基底，則\pi^{1}\otimes e_{1}\mapsto E_{11}, \pi^{1}\otimes e_{2}\mapsto E_{12}, \pi^{2}\otimes e_{1}\mapsto E_{21}, \pi^{2}\otimes e_{2}\mapsto E_{22}.

張量的基底表示

如果\{e_{i}\}是V的基底，\{f^{j}\}是V^{*}中對應於\{e_{i}\}的對偶基底。我們可以證明存在實數t_{\mu_{1}\cdots\mu_{s}}^{\nu_{1}\cdots\nu_{s}}使得

\displaystyle t=\sum_{\mu,\nu}t_{\mu_{1}\cdots\mu_{s}}^{\nu_{1}\cdots\nu_{r}}e_{\nu_{1}}\otimes\cdots\otimes e_{\nu_{r}}\otimes f^{\mu_{1}}\otimes\cdots\otimes f^{\mu_{s}}.

物理學家通常不會把summation寫出來，也不會把基底寫出來。所以物理學家喜歡用下面的方式來表示張量:

\displaystyle t=t_{\mu_{1}\cdots\mu_{s}}^{\nu_{1}\cdots\nu_{r}}.

關於張量場的定義，我們會在以後提。

One thought on “[線性代數]張量”

  1. 引用通告： 張量(Tensor) – Math.py

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