[數學物理]Dirac Delta函數的註記

導論

假設 $g$ 是一個在 $[-c,c]$ 區間才有值的連續函數，給定一個 $\mathbb{R}$ 上得可積分函數 $f$ ，我們可以考慮積分

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)dx.$

由於積分是線性的，我們知道

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\{ag(x)+bh(x)\}dx=a\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)dx+b\int_{-\infty}^{\infty}f(x)h(x)dx,$ (*)

其中 $h$ 是在某個區間上才有值的連續函數。如果我們記

$\displaystyle T_f(g)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(x)dx$

那麼上述積分式(*)等價於

$\displaystyle T_{f}(ag+bh)=aT_{f}(g)+bT_{g}(h).$

我們知道可積分函數 $f$ 定義出線性算子 $T_{f}$ 。但線性算子未必可以給你某個可積分函數。如果 $T$ 是某個線性泛函(如果線性算子值域是實數或複數，我們稱此線性算子為線性泛函)，物理學家還是把 $T$ 表示成積分的樣子:

$\displaystyle T(g)=\int_{-\infty}^{\infty}T(x)g(x)dx$

由於 $T(x)$ 並不一定是實際上存在的，我們就稱 $T(x)$ 是廣義函數，為線性泛函的(積分)符號表示，如果存在可積分函數 $T=T(x)$ 使得上述成立，我們暫且稱此線性泛函是可表的，反之，則稱為不可表。舉例來說，Dirac算子就不是可表。如果 $x_{0}\in\mathbb{R}$ 我們定義線性泛函

$\delta_{x_{0}}(g)=g(x_{0}).$

那麼 $\delta_{x_{0}}$ 就是不可表的泛函。然而，我們可以用符號來表示這個線性算子，我們用 $\delta(x-x_{0})$ 來表示這個線性算子，換句話說，

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_{0})g(x)dx=g(x_{0}).$

在線性泛函所構成的向量空間上，我們可以定義極限的概念:假設 $\{T_n\}$ 是線性泛函構成的序列。如果存在線性泛函 $T$ 使得對任意得連續(光滑)函數 $g$ ，使得

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_{n}(g)=T(g)$

我們就說 $\{T_n\}$ 收斂到 $T$ ，並且記為 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_{n}=T$ 。假如 $T_{n}(x)$ 與 $T(x)$ 分別是泛函 $T_{n}$ 與 $T$ 得符號表示，我們記 $\lim_{n\to\infty}T_{n}(x)=T(x)$ 。

我們定義函數列 $\{f_{n}\}$ 如下:

$\displaystyle f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix} n & ;x\in [-1/2n,1/2n]\\ 0&;\mbox{otherwise}\end{matrix}\right.$

我們定義 $T_{n}=T_{f_{n}}$ 。任給一連續(光滑)函數 $g$ 我們考慮 $T_{n}(g)$ 於是:

$\displaystyle T_{n}(g)=\int_{-1/2n}^{1/2n}g(x)dx.$

利用積分均值定理，我們可以找到 $c_{n}\in [-1/2n,1/2n]$ 使得

$\displaystyle \int_{-1/2n}^{1/2n}ng(x)dx=g(c_{n}).$

當 $n\to\infty,$ $c_{n}\to 0$ 。利用 $g$ 得連續性我們推得 $\lim_{n\to\infty}g(c_{n})=g(0)$ 。換句話說，

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_{n}(g)=g(0).$

由於 $\delta_{0}(g)=g(0)$ 。所以上述極限可以改為

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}T_{n}(g)=\delta_{0}(g).$

由於 $g$ 是任意得，我們得知 $\lim_{n\to\infty}T_{n}=\delta_{0}$ 。換句話說，用符號表示就是:

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=\delta(x).$

另一方面，我們觀察 $f_{n}$ 得逐點極限發現了:當 $x\neq 0$ 時， $\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=0$ ，當 $x=0$ 時， $\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=\infty$ 。於是物理學家就習慣把 $\delta(x)$ 寫成:

$\displaystyle\delta(x)=\left\{\begin{matrix} \infty & ;x=0\\ 0&;\mbox{otherwise}\end{matrix}\right.$

理論

令 $\mathcal{D}=C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$ 所有定義在 $\mathbb{R}$ 上且具有緊緻支集的光滑函數所構成的向量空間。在 $\mathcal{D}$ 上我們定義收歛的概念如下。假設 $\{\varphi_{n}\}$ 是 $\mathcal{D}$ 中的函數列且 $\varphi\in\mathcal{D}$ 。我們說 $\{\varphi_{n}\}$ 收斂於 $\varphi$ 若且唯若

(1)存在一個緊緻集合 $K$ 使得 $\mbox{supp}(\varphi_{n})\subset K$

(2)對任意的 $k,$ 函數列 $\{\varphi_{n}^{(k)}\}$ 一致收斂到 $\varphi^{(k)}$ 。在這裡 $\psi^{(k)}$ 表示函數 $\psi$ 的第 $k$ 階導函數。

所以 $\mathcal{D}$ 成了拓樸向量空間。如果 $T:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ 是一個線性泛函，並且對任意的收斂函數列 $\{\varphi_{n}\}$ 恆有

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}T(\varphi_{n})=T(\lim_{n\to\infty}\varphi_{n})$

我們稱 $T$ 是連續的線性泛函。所有連續的線性泛函所構成的拓樸空間記為 $\mathcal{D}'$ 。 $\mathcal{D}'$ 中的成員就稱為廣義函數。

命題.令 $a\in\mathbb{R}$ 。則Dirac函數 $\delta_{a}\in\mathcal{D}'$ 。

証明:由於 $\delta_{a}$ 已經是線性算子，我們只需驗證他是連續的即可。假設 $\varphi_{n}\to\varphi$ 是 $\mathcal{D}$ 上收歛的函數列。則 $\{\varphi_{n}\}$ 一致收斂到 $\varphi$ 。也因此 $\varphi_{n}(a)\to\varphi(a)$ 。換句話說， $\delta_{a}(\varphi_{n})\to\delta_{a}(\varphi)$ 。於是我們証明了 $\delta_{a}$ 是連續的，因此 $\delta_{a}\in\mathcal{D}'.$