[複變]橢圓函數與橢圓曲線

假設\tau是屬於上半平面的複數,令L表示所有m+n\tau複數所構成的加法群(格子點)其中m,n\in\mathbb{Z}.我們定義Weierstrass \wp函數如下:

\displaystyle\wp(z)=\frac{1}{z^{2}}+\sum_{\omega\in L\setminus\{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega)^{2}}-\frac{1}{\omega^{2}}\right)

則很顯然的,\wp為具有週期為1,\tau的橢圓函數.今天我們希望證明\wp(z)滿足以下微分方程

\displaystyle (\wp'(z))^{2}=4(\wp(z))^{3}-g_{2}\wp(z)-g_{3},

其中g_{2},g_{3}滿足

\displaystyle g_{2}=60\sum_{\omega\in L\setminus\{0\}}\frac{1}{\omega^{4}},\quad g_{3}=140\sum_{\omega\in L\setminus\{0\}}\frac{1}{\omega^{6}}.

首先我們考慮\wp(z)z=0地展開:

\displaystyle\wp(z)=\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{20}g_{2}z^{2}+\frac{1}{28}g_{3}z^{4}+O(z^{6}).

則我們計算一下此函數微分與三次方後可以推得

\displaystyle\wp'(z)=\frac{-2}{z^{3}}+\frac{1}{10}g_{2}z+\frac{1}{7}g_{3}z^{3}+O(z^{5}),

\displaystyle\{\wp(z)\}^{3}=\frac{1}{z^{6}}+\frac{3}{20}\frac{g_{2}}{z^{2}}+\frac{3}{28}g_{3}+O(z^{2})

因此

\displaystyle (\wp'(z))^{2}=\frac{4}{z^{6}}-\frac{2}{5}g_{2}z^{-2}-\frac{4}{7}g_{3}+O(z^{2})

於是我們可以推得

\displaystyle (\wp'(z))^{2}-4(\wp(z))^{3}+g_{2}\wp(z)+g_{3}=O(z^{2}).

換句話說\displaystyle (\wp'(z))^{2}-4(\wp(z))^{3}+g_{2}\wp(z)+g_{3}是定義在\mathbb{C}上的雙週期的整域函數(entire function).由Liouville定理可知,(\wp'(z))^{2}-4(\wp(z))^{3}+g_{2}\wp(z)+g_{3}為常數函數.透過z\to 0我們知道此函數為零.因此

\displaystyle (\wp'(z))^{2}-4(\wp(z))^{3}+g_{2}\wp(z)+g_{3}=0.

假設\displaystyle y=f(z)滿足

(f'(z))^{2}=4(f(z))^{3}-g_{2}f(z)-g_{3}

f(z)=\wp(\pm z+c_{0})其中c_{0}\in\mathbb{C}.

證明:假設u:\mathbb{C}\to\mathbb{C}是一個複數上的座標變換使得y=\wp(u(z)).

\displaystyle\frac{dy}{dz}=u'(z)\wp'(u).

因為dy/dz=f'(z)滿足上述微分方程,則(u'(z))^{2}=1.換句話說u'(z)=\pm 1.於是u(z)=\pm z+c_{0}.我們便推得結論.

應用:橢圓曲線

 

\mathbb{C}^{2}中由

E:Y^{2}=4X^{3}-g_{2}X-g_{3}

 定義出來的稱為(複數域上的)仿射橢圓曲線,其中我們要求g_{2}^{3}\neq 27g_{3}^{2}.我們把無窮遠點加進去後E=E\cup\{\infty\},我們稱E為橢圓曲線.任給一點p\in E我們定義路徑積分

\displaystyle\int_{p}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}.

則此積分與路徑選取有關.如果\gamma_{1},\gamma_{2}p\infty兩條路徑,那麼\gamma_{1}-\gamma_{2}就是橢圓曲線上的封閉路徑.橢圓曲線以拓樸上來說他是輪胎面.他是兩個單位圓的乘機所構成的曲面.我們取a,b分別為上面的大圓與小圓(相交數=1)我們可以取a,b使得

\displaystyle\int_{a}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}=1,\quad \displaystyle\int_{a}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}=\tau.

如此一來\gamma_{1}-\gamma_{2}=ma+nb(基本上封閉路徑可以由a,b去構成,繞大圓幾圈,繞小圓幾圈)於是

\displaystyle\int_{\gamma_{1}-\gamma_{2}}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}=m\int_{a}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}+n\int_{b}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}

=m+n\tau.

換句話說不同路徑積分出來的差異為m+n\tau\in L.所以

\displaystyle A(w)=\int_{w}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}\mod L

是一個良定的函數,這個良定的函數A:E\to \mathbb{C}/L稱為Abel-Jacobi-map.如果我們記

\displaystyle z=\int_{w}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}

則我們可以證明

\displaystyle \left(\frac{dw}{dz}\right)^{2}=4z^{3}-g_{2}z-g_{3}.

換句話說利用前一個部分的結果我們可以知道w=\wp(\pm z+c_{0}).當w=\infty時,$late z=0$.也就是說\wp(c_{0})=\infty.換句話說c_{0}\wp(z)的極點(pole).所以c_{0}\in L.利用\wp(z)的週期性與偶函數的性質可知w=\wp(\pm z+c_{0})=\wp(\pm z)=\wp(z).所以w=p(z)換句話說

\displaystyle z=\int_{\wp(z)}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}.

也就是說如果我們考慮

\psi:\mathbb{C}/L\to E

z\mapsto (\wp(z),\wp'(z)).則\psiA的反函數.並且我們知道這映射是雙全純的,換句話說我們證明了E\mathbb{C}/L是複同構的.

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