假設是屬於上半平面的複數,令表示所有複數所構成的加法群(格子點)其中.我們定義Weierstrass 函數如下:
則很顯然的,為具有週期為的橢圓函數.今天我們希望證明滿足以下微分方程
其中滿足
首先我們考慮在地展開:
則我們計算一下此函數微分與三次方後可以推得
因此
於是我們可以推得
換句話說是定義在上的雙週期的整域函數(entire function).由Liouville定理可知,為常數函數.透過我們知道此函數為零.因此
假設滿足
則其中
證明:假設是一個複數上的座標變換使得則
因為滿足上述微分方程,則.換句話說.於是.我們便推得結論.
應用:橢圓曲線
在中由
定義出來的稱為(複數域上的)仿射橢圓曲線,其中我們要求.我們把無窮遠點加進去後,我們稱為橢圓曲線.任給一點我們定義路徑積分
則此積分與路徑選取有關.如果為至兩條路徑,那麼就是橢圓曲線上的封閉路徑.橢圓曲線以拓樸上來說他是輪胎面.他是兩個單位圓的乘機所構成的曲面.我們取分別為上面的大圓與小圓(相交數)我們可以取使得
如此一來(基本上封閉路徑可以由去構成,繞大圓幾圈,繞小圓幾圈)於是
換句話說不同路徑積分出來的差異為.所以
是一個良定的函數,這個良定的函數稱為Abel-Jacobi-map.如果我們記
則我們可以證明
換句話說利用前一個部分的結果我們可以知道.當時,$late z=0$.也就是說.換句話說是的極點(pole).所以.利用的週期性與偶函數的性質可知所以換句話說
也就是說如果我們考慮
為.則是的反函數.並且我們知道這映射是雙全純的,換句話說我們證明了與是複同構的.