極限 – 尼斯的靈魂

一題極限

設數列 $(a_{n})$ 滿足 $a_{n+1}^{2}+a_{n}^{2}=2(a_{n+1}a_{n}+a_{n+1}+a_{n}),\quad a_{1}=1$ 且 $a_{n+1}>a_{n}$ ， $\forall n\in\mathbb{N}$ 。令 $s_{n}$ 表示數列的前 $n$ 項之和。求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{s_{n}}{na_{n}}$ 。

解:可以解得數列有下列遞迴關係:

$a_{n}=1+a_{n-1}+\sqrt{4a_{n-1}+1},\quad n\geq 2$ .

觀察一下，發現 $1^{2}\leq a_{1}$ 且 $2^{2}<a_{2}$ 。於是我們猜

$k^{2}\leq a_{k},\quad k\geq 1$ 。

由歸納法可以馬上證明上式成立。另一方面，觀察 $a_{1}\leq 1$ ， $a_{2}\leq 1+4$ ， $a_{3}\leq 1+4+6$ 。於是我們猜 $a_{k}\leq 1+2(2+\cdots+k)$ 。由歸納法可以再次證明

$a_{k}\leq k(k+1)-1,\quad k\geq 1$ .

於是 $k^{2}\leq a_{k}\leq k^{2}+k-1$ ， $\forall k\in\mathbb{N}$ 。由夾擊定理可知

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{s_{n}}{na_{n}}=\frac{1}{3}$ 。

附註:利用求和公式可以得到

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}\approx \frac{n^{3}}{3}$ 所以 $\sum_{i=1}^{n}(i^{2}-i+1)$ 差不多就是 $n^{3}/3.$ 於是 $s_{n}$ 差不多就是 $n^{3}/3$ 。由於 $n^{2}\leq a_{n}\leq n^{2}+n-1$ 所以 $na_{n}$ 差不多就是 $n^{3}$ 。所以我們知道

$\displaystyle\frac{s_{n}}{na_{n}}\approx\frac{n^{3}/3}{n^{3}}\approx\frac{1}{3}.$