範疇論 – 尼斯的靈魂

[代數Ｋ理論]Whitehead group

假設 $A$ 是環，我們定義過 $A$ 的Grothendieck 群 $K_{0}(A)$ ．今天我們要來定義 $A$ 的Whitedhead 群 $K_{1}(A)$ ．

我們令 $GL_{n}(A)$ 表示所有係數在 $A$ 的 $n\times n$ 可逆矩陣所構成的群．任給 $a\in GL_{n}(A)$ 我們可以定義一個 $(n+1)\times (n+1)$ 矩陣為 $a\oplus 1$ 則我們可以把 $GL_{n}(A)$ 可以被視為 $GL_{n+1}(A)$ 的子群．於是我們定義

$\displaystyle GL(A)=\bigcup_{n\geq 1}GL_{n}(A).$

我們令 $E_{n}(A)$ 是所有 $n\times n$ 基本矩陣所生成的群．類似的， $E_{n}(A)\subset E_{n+1}(A)$ ．我們令

$E(A)=\bigcup_{n\geq 1}E_{n}(A).$

則我們可以發現 $E(A)$ 是 $GL(A)$ 的對易子群（commutator subgroup）．於是商群 $GL(A)/E(A)$ 稱為Whitehead 群記為 $K_{1}(A).$

當 $A$ 是可換的Banach代數時， $GL(A)$ 是拓樸群．因為 $A$ 是交換環的，所以我們可以定義矩陣的行列式

$\det:GL(A)\to A^{*}$

此時 $\det GL(A)$ 是連續群同態．同時， $\ker\det =SL(A)$ ．於是我們有以下的直和分解

$K_{1}(A)=A^{*}\oplus SL(A)/E(A).$

我們記 $SL(A)/E(A)=SK_{1}(A)$ ． $SL(A)$ 是拓樸群，我們可以證明 $E(A)$ 是 $SL(A)$ 的單位元連通單元(identity component)，（他是既開且閉，包含單位元的路徑連通正規子群），於是 $SL(A)/E(A)=\pi_{0}(SL(A))$ ．換句話說 $SK_{1}(A)=\pi_{0}(SL(A))$ ．

假設 $A=C(X,\mathbb{C})$ 是所有定義在緊致Hausdorff空間 $X$ 上所有複值連續函數所構成的 $C^*$ -代數而我們知道

$SL(C(X,\mathbb{C}))=C(X,SL(\mathbb{C}))$

由於 $SU(\mathbb{C})$ 是 $SL(\mathbb{C})$ 的變型縮回(deformation retract)我們可以推得

$\pi_{0}(C(X,SL(\mathbb{C})))=\pi_{0}(C(X,SU(\mathbb{C}))).$

在傳統上我們記 $\pi_{0}(C(X,SU(\mathbb{C})))$ 為 $[X,SU]$ (所有從 $X$ 至 $SU(\mathbb{C})$ 的映射同倫類)．於是

$K_{1}(C(X,\mathbb{C}))=C(X,\mathbb{C}^{*})\oplus [X,SU].$

當 $A=C(X,\mathbb{R})$ 時，我們可以得出類似的結論：

$K_1(C(X,\mathbb{R}))=C(X,\mathbb{R}^{*})\oplus [X,SO].$

假設 $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ 與 $g:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{k}$ 是光滑函數（無窮次可微分）．則我們知道 $g\circ f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{k}$ 是光滑函數．假設 $x\in\mathbb{R}^{n},$ 我們用 $T_{x}(f)$ 來表示函數 $f$ 在 $x$ 的微分．由定義可知 $T_{x}(f):\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ 是線性轉換．連鎖律指的是

$T_{f(x)}(g)\circ T_{x}(f)=T_{x}(g\circ f).$

其實這代表著：我們可以把微分看成是光滑流形到向量空間的函子．更具體來說：

我們令 $\mathcal{M}$ 表示由以下成員所構成的範疇

(1)物件： $(M,x)$ 其中 $M$ 是光滑流形且 $x$ 是其上的一點．

(2)態射： $f:(M,x)\to (N,y)$ 是由光滑映射 $f:M\to N$ 所構成且 $y=f(x)$ ．

接著我們考慮範疇 $\mathcal{V}$

(1)物件：所有的有限維實向量空間

(2)態射：向量空間的線性轉換

我們定義一對應關係如下 $T:\mathcal{M}\to\mathcal{V}$ 如下：

(1) $T(M,x)=T_{x}M,$

(2) $T(f:(M,x)\to (N,f(x))=T_{x}(f).$

其中 $T_{x}M$ 表示流形 $M$ 在點 $x$ 的切空間．於是 $T(\mbox{id}:(M,x)\to (M,x))=\mbox{id}_{T_{x}M}$ 與微分的連鎖律告訴我們，映射 $T$ 是函子(functor)．所以微分是很有趣的一個概念，他聯繫了流形與向量空間的範疇．當然這樣的說法太潮了，實際上翻譯成大家都懂的語言是：微分（線性化）就是在彎曲的空間上（曲線曲面）求該點的切空間（切線，切平面）．

[同調代數]Categories of Complexes in Abelian Category

阿貝爾範疇中的複形與他們的上同調(Complexes in Abelian Category and their Cohomology)

導讀:在模的範疇中有同調群的概念，而這樣的概念可以推廣到更一般的阿貝爾範疇中。阿貝爾範疇可以想成是模的範疇的推廣。在這個範疇中，具有有限直和， $\ker,\mbox{coker}$ 的概念。同時態射集合 $\mbox{Hom}$ 具有阿貝爾群的結構。在阿貝爾範疇中，我們可以定義同調的概念。如果我們只需要考慮複形(complex)不考慮甚麼叫上同調(cohomology)的話，我們只需考慮加法範疇(additive category)即可。

令 $\mathfrak{A}$ 表示一個阿貝爾範疇。 Complex $A$ 指的是 $\mathfrak{A}$ 中的成員 $A^{i}$ 與其上的態射 $d_{A}^{i}:A^{i}\to A^{i+1}$ 使得 $d_{A}^{i+1}\circ d_{A}^{i}=0.$ 這些態射 $\{d_{A}^{i}\}$ 通常稱為這個複形的微分。給定兩個複形 $A$ 與 $B$ 如果存在 $\{f^{i}:A^{i}\to B^{i}\}$ 使得對任意的 $i,$ 恆有 $d_{B}^{i}\circ f^{i}=f^{i+1}\circ d_{A}^{i}$ 我們稱 $f=\{f_{i}\}$ 是由 $A$ 至 $B$ 的態射。於是我們得到了 $\mathfrak{A}$ 上的複形的範疇 $C(\mathfrak{A}).$

在阿貝爾範疇中，由於態射的 $\ker$ 與 $\mbox{coker}$ 均存在。我們定義任何一個complex的上同調為以下的quotient object:

$H^{i}(A)=\ker d_{A}^{i}/\mbox{Im} d_{A}^{i-1}.$

如果 $f:A\to B$ 是複形(complex)之間的態射，並且 $H^{i}(f):H^{i}(A)\to H^{i}(B)$ 是其誘導出來的態射。如果對任意的 $i,$ 態射 $H_{i}(f)$ 是同構，則我們稱 $f:A\to B$ 是準同構(quasi-isomorphism)。

假設 $A$ 是一個複形，並且當 $|n|$ 足夠大的時候， $A^{n}=0$ ，我們稱 $A$ 是一個有界的複形。我們記 $C^{b}(\mathfrak{A})$ 表示 $C(\mathfrak{A})$ 中所有有界複形(bounded complexes)所構成的完整子範疇(full subcategory)。

定理: (上同調的長正合序列)任給一個複形上的正合序列 $0\to A\to B\to C\to 0,$ 我們可以構造出一個長正合序列:

$\cdots\to H^{n}(A)\to H^{n}(B)\to H^{n}(C)\to H^{n+1}(A)\to\cdots.$

任給一個複形 $A$ 與一個整數$layex n$我們可以截斷 $A$ 構成新的複形 $\tau^{\leq n}(A)$ 與 $\tau^{\geq n}(A)$ 如下。

$\tau^{\leq n}(A):\cdots A^{n-2}\to A^{n-1}\to\ker d_{A}^{n}\to 0\cdots$

$\tau^{\geq n}(A):\cdots 0\to \mbox{coker}d_{A}^{n-1}\to A^{n+1}\to A^{n+2}\to\cdots.$

命題: 我們有以下的關係

(1) $H^{k}(\tau^{\leq n}(A))\cong H^{k}(A)$ 其中 $k\leq n$ 並且 $H^{k}(\tau^{\leq n}(A))=0$ for $k>n.$

(2) $H^{k}(A)\cong H^{k}(\tau^{\geq n}(A))$ 其中 $k\geq n$ 並且 $H^{k}(\tau^{\geq n}(A))=0$ for $k<n.$

接著我們定義平移的概念。任給整數 $k$ 與複形 $A$ 我們可以定義一個新的複形 $A[k]$ 如下:

(1) $A[k]^{n}=A^{k+n}$

(2) $d_{A[k]}^{n}=(-1)^{k}d_{A}^{n+k}.$

任給一個複形的態射 $f:A\to B$ 我們定義 $f[k]:A[k]\to B[k]$ 為 $f[k]^{n}=f^{n+k}.$ 則函子 $[k]:C(\mathfrak{A})\to C(\mathfrak{A})$ 稱為 $k$ 次平移函子。

有時候我們會把平移函子 $[1]$ 記為 $T.$ 換句話說 $T(A)^{i}=A^{i+1}$ 且 $T(f)^{i}=f^{i+1}.$ 則 $T:C(\mathfrak{A})\to C(\mathfrak{A})$ 。

同倫的複形所構成的範疇(Category of Homotopic Complexes)

導讀:給定兩個拓樸空間 $X,Y$ 並且考慮其上的singular homology $H_{i}(X)$ 與 $H_{i}(Y)$ 。如果 $f,g:X\to Y$ 是連續映射我們會希望了解 $H_{i}(f)$ 與 $H_{i}(g)$ 之間的關係為何。當 $f,g$ 是homotopic的時候，我們可以驗證對任意的 $i$ 恆有 $H_{i}(f)=H_{i}(g)$ 。我們可以把homotopic的概念推廣到阿貝爾範疇中的同調。而 $K(\mathfrak{A})$ 中的態射集合把 $C(\mathfrak{A})$ 中homotopic的態射都視為等同。換句話說在 $K(\mathfrak{A})$ 中我們不區別homotopic的態射，把他們都視為同一個。

假設 $f:A\to B$ 是一個複形上的態射，如果存在一序列的阿貝爾範疇中的態射 $s^{n}:A^{n}\to B^{n-1}$ 使得

$f^{n}=s^{n+1}\circ d_{A}^{n}+d_{B}^{n-1}\circ s^{n}.$

我們稱 $f$ 是一個同倫到 $0$ 的態射。如果 $f,g:A\to B$ 是兩個複形上的態射，並且 $f-g$ 同倫到 $0$ ，則我們稱 $f$ 同倫至 $g$ ( $f$ is homotopic to $g$)。我們令 $Ht(A,B)$ 是 $\mbox{Hom}(A,B)$ 中所有同倫的態射所構成的子群。於是我們可以引入一個新的範疇 $K(\mathfrak{K})$ 如下。

範疇 $K(\mathfrak{A})$ 與範疇 $C(\mathfrak{A})$ 具有相同的成員。任給 $A,B$ 我們定義 $\mbox{Hom}_{K(\mathfrak{A})}(A,B)$ 為商群 $\mbox{Hom}(A,B)/Ht(A,B).$ 同理我們可以考慮子範疇 $K^{b}(\mathfrak{A})$ (the category of homotopic bounded complexes.)

如果 $f:A\to B$ 同倫至 $0$ 則 $H^{k}(f):H^{k}(A)\to H^{k}(B)$ 是零態射(zero morphism)。因此上同調函子(the cohomological functor) $H^{i}$ 是一個從 $K(\mathfrak{A})\to\mathfrak{A}$ 良定的函子。因此如果 $f,g$ 是同倫的態射，則他們在上同調中誘導出相同的態射: $H^{i}(f)=H^{i}(g)$ 其中 $i$ 是任意的整數。