十二月 2009 – 尼斯的靈魂

拉普拉斯變換

拉普拉斯變換的來源是機率論。早在十八世紀尤拉想要用積分變換

$\displaystyle z=\int_{0}^{\infty} X(x)e^{ax}dx$

的方法來研究微分方程的解，接著拉格朗日把尤拉的想法用來研究機率論，在機率論中，你學習到的動差母函數(moment generating function)基本上就是對機率密度函數的拉普拉斯變換。後來拉普拉斯把這個方法發揚光大並且發現他可以用此變換去解一些微分方程的問題。至於為什麼積分是從零到無限大，因為當時科學家認為時間應該從零開始，所以解微分方乘的時候都會假設 $t\geq 0$ 。

定義:給定一個定義在 $[0,\infty)$ 有界連續函數 $y=f(x)$ ， $y=f(x)$ 的Laplace變換

$\displaystyle\mathcal{L}(f)(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt$ 。

Fourier解熱方程的方法

Fourier當初解的是有限區間上的熱傳導方程。讓我們來討論一下Fourier的想法。熱方程是下列二階線性偏微分方程:

$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.$

考慮Dirichlet邊界條件 $u(0,t)=u(l,t)=0$ 與初始條件 $u(x,0)=f(x)$ 。其中 $u$ 代表的是溫度函數。Fourier利用分離變數的方法假設函數可以分解成兩個變數的函數相乘: $u(x,t)=X(x)T(t)$ ，帶入熱方程之後得到了兩個常微分方程:

$X''+\lambda X=0,$ $T'=-\lambda T$ 。

由於 $T'/T=-\lambda,$ 我們可以得到 $T(t)=e^{-\lambda t}.$ 由邊界條件與二階常微分方程，得知 $y=X(x)$ 滿足:

$y''+\lambda y=0,\quad y(0)=y(l)=0$ 。

這個方程只有在 $\lambda=n^{2}\pi^{2}/l^{2}$ 時才有解，並且解為 $\displaystyle y_{n}(x)=\sin\frac{n\pi}{l}x.$ 所以我們知道 $\displaystyle u_{n}(x,t)=e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}t}{l^{2}}}\sin\frac{n\pi x}{l}$ 是熱傳導方程且滿足邊界條件 $u(0,t)=u(l,t)=0$ 的解。在不考慮收斂的情況下，我們發現任意 $\{u_{n}(x,t)\}$ 的線性組合也會是熱方程且滿足Dirichlet邊界條件的解。於是我們假設

$\displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-n^{2}\pi^{2}t/l^{2}}\sin\frac{n\pi x}{l}$

是熱方程的解。利用 $u(x,0)=f(x)$ 可推得(在不考慮收斂的情況下)

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\sin\frac{n\pi x}{l}.$

所以，只要把 $a_{n}$ 用 $f(x)$ 表示，則我們就可以得到熱方程的解。但為了要讓這樣的理論嚴謹化，我們必須引入平方可積分空間:

$\displaystyle L^{2}[0,l]=\{f:[0,l]\to\mathbb{R}:\int_{0}^{l}|f(x)|^{2}dx<\infty\}.$

數學家利用無限維內積空間的概念證明了 $\{y_{n}\}$ 構成了 $L^{2}[0,l]$ 的一組直交基底，換句話說， $\{y_{n}\}$ 生成了整個空間，並且 $y_{n}\perp y_{m},$ $n\neq m.$ 於是我們可以求出 $a_{n}.$ 這我們在另外一篇文章中會提及。

Fourier在解熱傳導方程的時候可能沒有向量空間與特徵值問題的概念，但這樣的概念卻隱藏在他的數學裡。然而Fourier並沒有解決實軸上的熱傳導方程。拉普拉斯意識到他的積分變換的方法可以用來解決實軸上的熱傳導問題，因而改善了Fourier只能解有限區間這個限制。所以拉普拉斯變換是可以定義在實軸的，如果在令 $s=-ik$ ，就變成複立葉變換。實軸上的Fourier 變換為

$\displaystyle\hat{f}(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx$ 。

令 $f^{(r)}$ 表示函數 $f$ 的 $r$ 次微分，那麼可知

$\hat{f^{(r)}}(k)=(-ik)^{r}\hat{f}(k)$ 。

我們讓 $u_{t}=u_{xx}$ 對著變數 $x$ 做Fourier 變換之後得到

$\displaystyle \frac{d\hat{u}}{dt}=-k^{2}\hat{u}(x,k)$ 。

於是解出此常微分方程可得 $\hat{u}(k,t)=\hat{u}(k,0)e^{-k^{2}t}$ 。利用Fourier變換的逆變換我們便可以解出 $u=u(x,t)$ 來:(假設初始條件 $u(x,0)=f(x)$ )

$\displaystyle u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4t}}f(y)dy.$

拉普拉斯變換與Fourier級數的歷史註記

(1)Fourier是在1807年發展熱傳導(有限區間上)的解的問題，

(2)Laplace在1809年發表熱傳導在實軸上的解的問題。但是在1782~1785年間拉普拉斯就已經有拉普拉斯變換初步的概念。以歷史上來說，拉普拉斯變換的歷史比複立葉變換的歷史早。所以不能說拉普拉斯變換是為了改進複立葉變換產生的。但拉普拉斯變換的確解決了複立葉變換只能解有限區間時的情況。

(3)Fourier在1807年發表那篇(熱傳播)文章的時候，審稿人是Lagrange，Laplace，Legendre。他們當時認為在Fourier的文章中有很多的漏洞，所以一開始並沒有接受Fourier的文章。理由就在於Fourier認為所有有限區間上的函數都可以寫成正餘弦函數的和。但他們還是繼續鼓勵Fourier把想法寫得更清楚，在1812年時定熱傳導問題為大獎問題。(這也可以解釋為什麼拉普拉斯會知道Fourier的工作，當時拉普拉斯在法國科學院。)以下是官方資料http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/index.php

(4)Laplace的師傅是Jean Le Rond d’Alembert 並不是Fourier。拉普拉斯的年記比Fourier大。

(5)Fourier的學生是Dirichlet與Giovanni。

$e^{ikx}$ 並不存在於 $L^{2}(\mathbb{R})$ 中，他其實是定義了這個空間上的一個分配(distribution)。物理學家繼續延用特徵函數的概念來說明 $e^{ikx}$ ，正確來說應該稱之為廣義特徵函數。

設數列 $(a_{n})$ 滿足 $a_{n+1}^{2}+a_{n}^{2}=2(a_{n+1}a_{n}+a_{n+1}+a_{n}),\quad a_{1}=1$ 且 $a_{n+1}>a_{n}$ ， $\forall n\in\mathbb{N}$ 。令 $s_{n}$ 表示數列的前 $n$ 項之和。求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{s_{n}}{na_{n}}$ 。

解:可以解得數列有下列遞迴關係:

$a_{n}=1+a_{n-1}+\sqrt{4a_{n-1}+1},\quad n\geq 2$ .

觀察一下，發現 $1^{2}\leq a_{1}$ 且 $2^{2}<a_{2}$ 。於是我們猜

$k^{2}\leq a_{k},\quad k\geq 1$ 。

由歸納法可以馬上證明上式成立。另一方面，觀察 $a_{1}\leq 1$ ， $a_{2}\leq 1+4$ ， $a_{3}\leq 1+4+6$ 。於是我們猜 $a_{k}\leq 1+2(2+\cdots+k)$ 。由歸納法可以再次證明

$a_{k}\leq k(k+1)-1,\quad k\geq 1$ .

於是 $k^{2}\leq a_{k}\leq k^{2}+k-1$ ， $\forall k\in\mathbb{N}$ 。由夾擊定理可知

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{s_{n}}{na_{n}}=\frac{1}{3}$ 。

附註:利用求和公式可以得到

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}\approx \frac{n^{3}}{3}$ 所以 $\sum_{i=1}^{n}(i^{2}-i+1)$ 差不多就是 $n^{3}/3.$ 於是 $s_{n}$ 差不多就是 $n^{3}/3$ 。由於 $n^{2}\leq a_{n}\leq n^{2}+n-1$ 所以 $na_{n}$ 差不多就是 $n^{3}$ 。所以我們知道