[高中數學]已知兩邊長與三角形面積，求第三邊長

假設\triangle ABC的兩邊長a，且b，與三角形面積\Delta。試求出三角形第三邊長。

這個問題有兩種解法，你可以用海龍公式

\Delta=\sqrt{s(s-a)(s- b)(s-c)}.

去解，其中s=\frac{a+b+c}{2}。當然你也可以用三角形的面積公式得到

\Delta=\frac{1}{2}ab\sin C。

利用\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1的性質推得

\displaystyle\cos C=\pm\sqrt{1-\left(\frac{2\Delta}{ab}\right)^{2}}.

另一方面，由於弦定理可知

\displaystyle\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}。

比較兩個式子推得

\displaystyle\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\pm \sqrt{1-\left(\frac{2\Delta}{ab}\right)^{2}}.

移項之後可得

c^{2}=a^{2}+b^{2}\pm 2\sqrt{a^{2}b^{2}-4\Delta^{2}}.

由於c>0，所以

c=\sqrt{a^{2}+b^{2}\pm 2\sqrt{a^{2}b^{2}-4\Delta^{2}}}.

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