[微分方程]分離變數法

分離變數法

我們希望解微分方程\displaystyle\frac{dy}{dx}=f(x,y).在一般的情況下，我們不知道該如何的去解他。如果f(x,y)可以分解成兩個函數的乘積f(x,y)=g(x)/h(y).則我們稱此時的函數為可分離的常微分方程。同時，我們把微分方程改寫為

\displaystyle h(y)dy=f(x)dx

兩邊同時積分之後，就可以得到微分方程的解。

範例1.解\displaystyle\frac{dy}{dx}=xy.

解:把方程改寫為dy/y = xdx,兩邊同時積分之後得到\ln y=x^{2}/2+C.同取\exp之後可以得到y=Ce^{x^{2}/2}.

範例2.(動力方程)解\displaystyle\frac{dx}{dt}=-kx^{n}。

解:n=1與n不等於1的情況有些不同，但是解法相當類似。解這個問題，我們使用分離變數法。我們把方程改寫如下:(兩邊同時除x^{n}) \displaystyle \frac{dx}{x^{n}}=-kdt。那麼兩邊同時積分可以得到\displaystyle\int \frac{dx}{x^{n}}=-kt+C。重點來了，當n=1時，左式的積分為\displaystyle\int\frac{dx}{x}=ln |x|+C，當n不等於1時，\displaystyle\int x^{-n}dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1}+C。所以當n=1時，解可以寫為x=Ce^{-kt}。當n不等於1時，解就是\displaystyle\frac{x^{-n+1}}{-n+1}=-kt+C。(當然你也可以做進一步的化簡)。要解出C就是把初始條件給帶進去就是了。

範例3.試求出\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{1-y^{2}}.

解:把方程改寫為(1-y^{2})dy=x^{2}dx兩邊同時積分之後得到y-y^{3}/3=x^{3}/3+C.

範例4.試求出\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y\cos x}{1+2y^{2}}.

解:把方程改寫為\displaystyle\frac{1+2y^{2}}{y}dy=\cos xdx兩邊積分之後推得\ln y+y^{2}=\sin x+c.

發表留言