十月 2013 – 尼斯的靈魂

[代數Ｋ理論]Milnor K_2

任給群 $G$ ，如果群正合序列

$1\to K\to X\to G\to 1$

滿足 $K\subset Z(X),$ 其中 $Z(X)$ 是群 $X$ 的中央(center)，我們稱此正合序列為 $G$ 的一個中央擴張．如果 $1\to K_{U}\to U\to G\to 1$ 是群 $G$ 的一個中央擴張，且任給一個 $G$ 的中央擴張 $1\to K\to X\to G\to 1$ 存在唯一群同態 $U\to X$ 使得 $U\to G$ 可以分解成 $U\to X\to G$ ，則我們稱 $U$ 是 $G$ 的宇中央擴張(universal central extension)．

今天我們要來研究一下基本矩陣所構成的群的宇中央擴張．

任給環 $A$ 我們令 $E_{n}(A)$ 是由係數在 $A$ 的 $n\times n$ 基本矩陣所構成的群．我們令 $E(A)=\lim_{n\to\infty}E_{n}(A).$ ．

定義：如果群 $G=[G,G]$ 我們稱群 $G$ 是完美群(perfect group)．

命題：如果 $G$ 是完美群，則 $G$ 存在唯一（同構意義下）的宇中央擴張．

由於任何的基本矩陣都可以表示成其他的基本矩陣的對易子(commutator)，我們不難發現 $E(A)$ 是完美群．我們記 $\mbox{St}(A)$ 是群 $E(A)$ 的宇中央擴張．於是我們得到正合序列

$1\to K_{2}(A)\to \mbox{St}(A)\to E(A)\to 1.$

所以我們定義Milnor $K_{2}$ -群為 $\mbox{St}(A)\to E(A)$ 的核(kernel)．利用同調代數，群的同調我們可以知道中央擴張的分類是由群得 $H_{2}$ 所給定，因此我們得到

$K_{2}(A)=H_{2}(E(A),\mathbb{Z}).$

另一方面，因為 $K_{1}(A)=GL(A)/E(A),$ 所以我們可以把上述正合序列改寫為

$1\to K_{2}(A)\to\mbox{St}(A)\to GL(A)\to K_{1}(A)\to 1.$

我們便聯繫了 $K_{1}(A)$ 與 $K_{2}(A).$

我們回到 $A$ 是Banach代數的例子，我們知道 $E_{n}(A)$ 是局部可壓縮(locally contractible)的路徑連通群（請洽上一篇文章）．於是此群的宇覆蓋空間(universal covering space)存在，且我們有以下的正合序列：

$1\to \pi_{1}(E_{n}(A))\to\widetilde{E}_{n}\to E_{n}(A)\to 1$

我們不難發現此正合序列為 $E_{n}(A)$ 的中央擴張．事實上，透過 $E_{n}(A)$ 的生成元，我們可以得到 $\widetilde{E}_{n}$ 中的生成元的關係．進而得到了一個映成的群同態

$\mbox{St}_{n}(A)\to \widetilde{E}_{n}$

同時我們還得到了 $\mbox{St}_{n}(A)\to GL_{n}(A)$ 的核(kernel)被送至基本群 $\pi_{1}(E_{n}(A))=\pi_{1}(SL_{n}(A))$ ．取極限後，我們得到了一個自然的映成群同態：

$K_{2}(A)\to \pi_{1}(SL(A)).$

當 $A=C(X,\mathbb{R})$ 時，我們知道

$\pi_{1}(SL_{n}(C(X,\mathbb{R})))=\pi_{1}(C(X,SO(n))).$

當然我們知道 $\pi_{1}(C(X,SO(n)))=[X,\Omega(SO(n))],$ 其中 $\Omega(SO(n))$ 是 $S^{1}\to SO(n)$ 的連續函數所構成的空間．我們取 $n\to\infty$ 我們得到了以下推論：

推論： $K_{2}(C(X,\mathbb{R}))\to [X,\Omega(SO)]$ 是映成的群同態．

當 $X=\{pt\}$ 為單點拓樸空間時， $C(X,SO(n))=SO(n).$ ．而 $\pi_{1}(C(X,SO(n)))=\pi_{1}(SO(n)).$ 所以我們得到了一個自然地映成同態

$K_{2}(\mathbb{R})\to \pi_{1}(SO).$

附註：當我們研究拓樸群的覆蓋空間時，我們自然取群的單位元為我們的基點（based point）．

[代數Ｋ理論]Whitehead group

假設 $A$ 是環，我們定義過 $A$ 的Grothendieck 群 $K_{0}(A)$ ．今天我們要來定義 $A$ 的Whitedhead 群 $K_{1}(A)$ ．

我們令 $GL_{n}(A)$ 表示所有係數在 $A$ 的 $n\times n$ 可逆矩陣所構成的群．任給 $a\in GL_{n}(A)$ 我們可以定義一個 $(n+1)\times (n+1)$ 矩陣為 $a\oplus 1$ 則我們可以把 $GL_{n}(A)$ 可以被視為 $GL_{n+1}(A)$ 的子群．於是我們定義

$\displaystyle GL(A)=\bigcup_{n\geq 1}GL_{n}(A).$

我們令 $E_{n}(A)$ 是所有 $n\times n$ 基本矩陣所生成的群．類似的， $E_{n}(A)\subset E_{n+1}(A)$ ．我們令

$E(A)=\bigcup_{n\geq 1}E_{n}(A).$

則我們可以發現 $E(A)$ 是 $GL(A)$ 的對易子群（commutator subgroup）．於是商群 $GL(A)/E(A)$ 稱為Whitehead 群記為 $K_{1}(A).$

當 $A$ 是可換的Banach代數時， $GL(A)$ 是拓樸群．因為 $A$ 是交換環的，所以我們可以定義矩陣的行列式

$\det:GL(A)\to A^{*}$

此時 $\det GL(A)$ 是連續群同態．同時， $\ker\det =SL(A)$ ．於是我們有以下的直和分解

$K_{1}(A)=A^{*}\oplus SL(A)/E(A).$

我們記 $SL(A)/E(A)=SK_{1}(A)$ ． $SL(A)$ 是拓樸群，我們可以證明 $E(A)$ 是 $SL(A)$ 的單位元連通單元(identity component)，（他是既開且閉，包含單位元的路徑連通正規子群），於是 $SL(A)/E(A)=\pi_{0}(SL(A))$ ．換句話說 $SK_{1}(A)=\pi_{0}(SL(A))$ ．

假設 $A=C(X,\mathbb{C})$ 是所有定義在緊致Hausdorff空間 $X$ 上所有複值連續函數所構成的 $C^*$ -代數而我們知道

$SL(C(X,\mathbb{C}))=C(X,SL(\mathbb{C}))$

由於 $SU(\mathbb{C})$ 是 $SL(\mathbb{C})$ 的變型縮回(deformation retract)我們可以推得

$\pi_{0}(C(X,SL(\mathbb{C})))=\pi_{0}(C(X,SU(\mathbb{C}))).$

在傳統上我們記 $\pi_{0}(C(X,SU(\mathbb{C})))$ 為 $[X,SU]$ (所有從 $X$ 至 $SU(\mathbb{C})$ 的映射同倫類)．於是

$K_{1}(C(X,\mathbb{C}))=C(X,\mathbb{C}^{*})\oplus [X,SU].$

當 $A=C(X,\mathbb{R})$ 時，我們可以得出類似的結論：

$K_1(C(X,\mathbb{R}))=C(X,\mathbb{R}^{*})\oplus [X,SO].$

[複變]橢圓函數與橢圓曲線

假設 $\tau$ 是屬於上半平面的複數，令 $L$ 表示所有 $m+n\tau$ 複數所構成的加法群（格子點）其中 $m,n\in\mathbb{Z}$ ．我們定義Weierstrass $\wp$ 函數如下：

$\displaystyle\wp(z)=\frac{1}{z^{2}}+\sum_{\omega\in L\setminus\{0\}}\left(\frac{1}{(z-\omega)^{2}}-\frac{1}{\omega^{2}}\right)$

則很顯然的， $\wp$ 為具有週期為 $1,\tau$ 的橢圓函數．今天我們希望證明 $\wp(z)$ 滿足以下微分方程

$\displaystyle (\wp'(z))^{2}=4(\wp(z))^{3}-g_{2}\wp(z)-g_{3},$

其中 $g_{2},g_{3}$ 滿足

$\displaystyle g_{2}=60\sum_{\omega\in L\setminus\{0\}}\frac{1}{\omega^{4}},\quad g_{3}=140\sum_{\omega\in L\setminus\{0\}}\frac{1}{\omega^{6}}.$

首先我們考慮 $\wp(z)$ 在 $z=0$ 地展開：

$\displaystyle\wp(z)=\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{20}g_{2}z^{2}+\frac{1}{28}g_{3}z^{4}+O(z^{6}).$

則我們計算一下此函數微分與三次方後可以推得

$\displaystyle\wp'(z)=\frac{-2}{z^{3}}+\frac{1}{10}g_{2}z+\frac{1}{7}g_{3}z^{3}+O(z^{5}),$

$\displaystyle\{\wp(z)\}^{3}=\frac{1}{z^{6}}+\frac{3}{20}\frac{g_{2}}{z^{2}}+\frac{3}{28}g_{3}+O(z^{2})$

因此

$\displaystyle (\wp'(z))^{2}=\frac{4}{z^{6}}-\frac{2}{5}g_{2}z^{-2}-\frac{4}{7}g_{3}+O(z^{2})$

於是我們可以推得

$\displaystyle (\wp'(z))^{2}-4(\wp(z))^{3}+g_{2}\wp(z)+g_{3}=O(z^{2}).$

換句話說 $\displaystyle (\wp'(z))^{2}-4(\wp(z))^{3}+g_{2}\wp(z)+g_{3}$ 是定義在 $\mathbb{C}$ 上的雙週期的整域函數(entire function)．由Liouville定理可知， $(\wp'(z))^{2}-4(\wp(z))^{3}+g_{2}\wp(z)+g_{3}$ 為常數函數．透過 $z\to 0$ 我們知道此函數為零．因此

$\displaystyle (\wp'(z))^{2}-4(\wp(z))^{3}+g_{2}\wp(z)+g_{3}=0.$

假設 $\displaystyle y=f(z)$ 滿足

$(f'(z))^{2}=4(f(z))^{3}-g_{2}f(z)-g_{3}$

則 $f(z)=\wp(\pm z+c_{0})$ 其中 $c_{0}\in\mathbb{C}.$

證明：假設 $u:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ 是一個複數上的座標變換使得 $y=\wp(u(z)).$ 則

$\displaystyle\frac{dy}{dz}=u'(z)\wp'(u).$

因為 $dy/dz=f'(z)$ 滿足上述微分方程，則 $(u'(z))^{2}=1$ ．換句話說 $u'(z)=\pm 1$ ．於是 $u(z)=\pm z+c_{0}$ ．我們便推得結論．

應用：橢圓曲線

在 $\mathbb{C}^{2}$ 中由

$E:Y^{2}=4X^{3}-g_{2}X-g_{3}$

定義出來的稱為（複數域上的）仿射橢圓曲線，其中我們要求 $g_{2}^{3}\neq 27g_{3}^{2}$ ．我們把無窮遠點加進去後 $E=E\cup\{\infty\}$ ，我們稱 $E$ 為橢圓曲線．任給一點 $p\in E$ 我們定義路徑積分

$\displaystyle\int_{p}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}.$

則此積分與路徑選取有關．如果 $\gamma_{1},\gamma_{2}$ 為 $p$ 至 $\infty$ 兩條路徑，那麼 $\gamma_{1}-\gamma_{2}$ 就是橢圓曲線上的封閉路徑．橢圓曲線以拓樸上來說他是輪胎面．他是兩個單位圓的乘機所構成的曲面．我們取 $a,b$ 分別為上面的大圓與小圓（相交數 $=1$ ）我們可以取 $a,b$ 使得

$\displaystyle\int_{a}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}=1,\quad \displaystyle\int_{a}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}=\tau.$

如此一來 $\gamma_{1}-\gamma_{2}=ma+nb$ （基本上封閉路徑可以由 $a,b$ 去構成，繞大圓幾圈，繞小圓幾圈）於是

$\displaystyle\int_{\gamma_{1}-\gamma_{2}}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}=m\int_{a}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}+n\int_{b}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}$

$=m+n\tau.$

換句話說不同路徑積分出來的差異為 $m+n\tau\in L$ ．所以

$\displaystyle A(w)=\int_{w}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}\mod L$

是一個良定的函數，這個良定的函數 $A:E\to \mathbb{C}/L$ 稱為Abel-Jacobi-map．如果我們記

$\displaystyle z=\int_{w}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}$

則我們可以證明

$\displaystyle \left(\frac{dw}{dz}\right)^{2}=4z^{3}-g_{2}z-g_{3}.$

換句話說利用前一個部分的結果我們可以知道 $w=\wp(\pm z+c_{0})$ ．當 $w=\infty$ 時，$late z=0$．也就是說 $\wp(c_{0})=\infty$ ．換句話說 $c_{0}$ 是 $\wp(z)$ 的極點(pole)．所以 $c_{0}\in L$ ．利用 $\wp(z)$ 的週期性與偶函數的性質可知 $w=\wp(\pm z+c_{0})=\wp(\pm z)=\wp(z).$ 所以 $w=p(z)$ 換句話說