[閒聊]初微和高微的差別？

(update: 07/26/2012)

初等微積分跟高等微積分的差別就在於"研究的微積分所在的空間維數不同"。初等微積分主要以實數線，平面，三維空間的微積分為主。高等微積分所希望研究的對象是n\geq 3或是無窮維的向量空間。為了研究微分方程或積分方程，在函數空間引入微積分的概念是必要的。例如，我們常談到的熱方程的解跟無窮三角級數有關係(也就是Fourier級數)，而某些線性積分方程的解利用了函數級數去構造出來的。舉例來說，如果\{a_{n}\}是實數列，我們在微積分裡學到了如何去定義\sum_{n}a_{n}。但如果\{f_{n}(x)\}是函數列，我們會在高等微積分中學到如何去定義\sum_{n}f_{n}(x).

在學習微積分的時候我們知道:如果y=f(x)是定義在實軸上的函數，我們定義函數的微分為下列極限

\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to\infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

在學習高等微積分的時候，我們希望定義賦範空間中映射的微分。假設V,W是賦範空間(具有範數概念的向量空間)，令f:V\to W為一映射。函數f在x\in V可微的充要條件是:存在(有界)線性轉換T:V\to W使得

\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\|f(x+h)-f(x)-Th\|_{W}}{\|h\|_{V}}=0。

此時我們稱線性轉換T:V\to W是映射f在x點的微分。

在向量微積分學中我們知道如何去計算曲面積分與體積分。假設S^{2}表示空間中的單位球面，f是連續函數，我們知道如何計算\iint_{S^{2}}fdA。在高等微積分學中，我們會知道如何去計算\int_{S^{n}}f(x)dx,其中 n\geq 3。在初等微積分學中，我們研究曲線的切向量，法向量，平面的法向量，物體的幾何學。在高等微積分裡，我們將學習如何更高維度的幾何學(利用隱函數與反函數定理)。

如果你要說高等微積分抽取出了初等微積分抽象的部分然後只去學習其抽象的理論，那麼你可能很容易的就會迷失在數學的證明之中。高等微積分存在的目的並不在於我們只想要抽象化微積分，更重要的是我們希望把微積分的概念推廣到一般的空間上(這我已經重複說了幾次)。高等微積分抽象的原因就在於:空間維數超過三時，你已經無法去想像空間的幾何形狀。但，知道了學習高等微積分的目標後，你就比較可以接受高等微積分的理論。

在高等微積分學中另一個需要被談到的(但是沒有被明顯得指出)是拉格朗日力學的一些概念。牛頓力學告訴我們，

\displaystyle -m\ddot{q}=\frac{\partial V}{\partial q}   (*)

其中V是物體的潛能函數(potential function,)q=q(t)告訴我們時間跟位置的函數。這個微分方程等價於思考下列泛函(functional)的極值問題

\displaystyle S=\int L(q(t),\dot{q}(t))dt.

其中L(q,\dot{q})=m\dot{q}^{2}/2-V(q).那麼在高等微積分裡學到的微分概念可以推得:

\displaystyle\delta S=m\ddot{q}+\frac{\partial V}{\partial q}.

其中\delta S是泛函S的一次微分。由微積分中學到的概念可以知道，函數y=f(x)在x=a有極值則f'(a)=0.在泛函的極值研究中也有類似的觀念。你希望研究泛函的極值，那麼你必須先解出滿足\delta S=0的解。所以我們發現\delta S=0若且唯若(*)成立。當然函數空間本身是無窮維的，一般的微積分概念是無法討論維窮維的現象，所以就需要高等微積分來補充。而為何我們需要研究無窮維的函數空間?物理學提供了很多很好的裡由，例如上述說的牛頓力學，熱方程，近代物理學中的量子物理都提供了很好的例子。如果你從數學史的角度來看也可以了解高等微積分學跟物理學的發展有極大的相關。

註:泛函指的是定義在函數空間的函數。換句話說，如果V是某個函數空間，S:V\to\mathbb{R}是一個函數，則我們稱S為一個泛函。

隨堂練習1:

(1)令S^{1}=\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\}。試求出S^{1}的弧長。

(2)令S^{2}=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}。試求出S^{2}的表面積。

(3)令S^{3}=\{(x,y,z,w):x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=1\}。試求出S^{3}的體積。

(4)令S^{n-1}=\{(x_{1},\cdots,x_{n}):x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=1\}。試求出S^{n}的體積。

隨堂練習2. 令L(q,\dot{q})=m\dot{q}^{2}/2-V(q)。試利用

\displaystyle \delta S=\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}

證明\delta S=0等同於(*) 。

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  2. 你說錯了，高微不只是"實分析"，可以參考一下rudin的高微課本，高微(數學分析的基礎、古典分析)真正的意涵是導引學生開始用一般嚴謹的觀點處理分析的問題。具體來說是用topology的觀點(限制在metric space之下)，說明"附近"(開閉集)、"緊緻"、"連通"，搭配實數完備性，以此為基礎(導出拓譜意義下的連續可以保持緊緻連通，從而導出介值定理和最大最小值定理還有均勻連續的保持性)，導出微積分經典結果的推廣(
    比較變態的課本會附上測度)。當然分析著重的不是只有實(多維)變數函數，但以此為基礎，同法推廣，日後可以處理復變函數、一般拓譜線性空間(如泛函或是算子)或是(區域緊緻)群的(如傅利葉)分析問題。所以高微乃是進入分析領域研究的入門。而且這些"進階"的分析領域都沒有要求原始的線性空間維度必須是"有限維"，而高微學到的很多觀念，都可以適當的推廣到這些進階課程所分析的一般的線性(賦範or度量)空間去。顯然高微跟微積分的真正差異不再於此。

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